?【2022講通練透】二輪
第三講 分式與二次根式
一、10個必備知識點 2
考點一 分式的概念與性質(zhì) 4
考點二 分式的運算--求值 6
考點三 分式的混合運算 9
考點四 分式--化簡求值 12
考點五 二次根式的概念及性質(zhì) 14
考點六 二次根式的運算 17
考點七 二次根式化簡求值 20















知識導航


一、10個必備知識點
1．分式的定義
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無意義；③若A=0且B≠0，則=0．
2．分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．
用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．
3．約分及約分法則
（1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．
（2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，然后約分．
【注】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關鍵是找出分子和分母的公因式．
4．最簡分式
分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．
【注】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結果有時可能成為整式．
5．通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．
（2）通分法則
把兩個或者幾個分式通分：
①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；
②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；
③若分母是多項式，則先分解因式，再通分．
【注】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母．
6．最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．
7．分式的運算
（1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
用式子表示為：．
（2）分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．
（3）分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．
用式子表示為：．
（4）分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．
（5）分式的混合運算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．
混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．
8．二次根式的有關概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．
【注】被開方數(shù)只能是非負數(shù)．即要使二次根式有意義，則a≥0．
（2）最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
（3）同類二次根式： 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．
9．二次根式的性質(zhì)
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
10．二次根式的運算
（1）二次根式的加減
合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法則：；除法法則：．
（3）二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．
在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用．

考點一 分式的概念與性質(zhì)

1．若分式無意義，則x的值是（　?。?br /> A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【解答】解：由題意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故選：B．
2．若分式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞2 B．x≠0 C．x≠0且x≠2 D．x≠2
【解答】解：∵2﹣x≠0，
∴x≠2，
故選：D．
3．分式，，，中，最簡分式有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：的分子和分母中不含有公因式，是最簡分式；
的分子和分母中含有公因式（a+b），不是最簡分式；
的分子和分母中含有公因數(shù)3，不是最簡分式；
的分子和分母中不含有公因式，是最簡分式；
最簡分式有2個，
故選：B．
4．分式，，的最簡公分母是（　?。?br /> A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2
【解答】解：，，的分母分別是3xy、2x2、6xy2，故最簡公分母為6x2y2．
故選：D．
5．下列說法正確的是（　?。?br /> A．形如的式子叫分式
B．分式不是最簡分式
C．分式與的最簡公分母是a3b2
D．當x≠3時，分式有意義
【解答】解：A、B中含有字母的式子才是分式，故本選項不符合題意．
B、分式的分子、分母中不含有公因式，是最簡分式，故本選項不符合題意．
C、分式與的最簡公分母是a2b，故本選項不符合題意．
D、x≠3時，分子x﹣3≠0，分式有意義，故本選項符合題意．
故選：D．

考點二 分式的運算--求值

6．如果m2+3m﹣1＝0，那么代數(shù)式（m﹣）?的值是（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝（m+3）m，
＝m2+3m，
∵m2+3m﹣1＝0，
∴m2+3m＝1，
故選：C．
7．若，則的值為（　?。?br /> A． B．3 C．5 D．7
【解答】解：法1：∵+＝，
∴5＝（+）（a+b）＝2++，
則+＝5﹣2＝3；
法2：已知等式變形得：＝，
即（a+b）2＝5ab，
整理得：a2+2ab+b2＝5ab，即a2+b2＝3ab，
則+＝＝＝3．
故選：B．
8．如果a2﹣ab﹣1＝0，那么代數(shù)式的值是（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【解答】解：
＝
＝
＝a（a﹣b）
＝a2﹣ab，
∵a2﹣ab﹣1＝0，
∴a2﹣ab＝1，
∴原式＝1，
故選：B．
9．若＝≠0，則代數(shù)式（+1）÷的值為（　?。?br /> A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：（+1）÷
＝
＝
＝，
∵＝≠0，
∴2b＝3a，
∴原式＝＝＝2，
故選：A．
10．已知x2﹣3x﹣4＝0，則代數(shù)式的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：已知等式整理得：x﹣＝3，
則原式＝＝＝，
故選：D．
11．已知，則代數(shù)式的值是（　?。?br /> A．3 B．2 C． D．
【解答】解：，∵＝x﹣1﹣
又∵，
∴＝x﹣1﹣＝4﹣1＝3
∴＝
故選：C．
12．已知＝3，則代數(shù)式的值為　?。?br /> 【解答】解：∵＝3，
∴，
∴2b+a＝6ab，
∴＝＝＝，
故答案為：．
13．已知＝+，則實數(shù)A＝　1?。?br /> 【解答】解：+
＝+
＝，
∵＝+，
∴，
解得：，
故答案為：1．
考點三 分式的混合運算

14．計算
（1）；
（2）（1﹣）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
＝a﹣b；
（2）（1﹣）
＝×
＝．
15．計算：
（1）+（ab﹣b2）?；
（2）（﹣x﹣1）÷．
【解答】解：（1）原式＝?+b（a﹣b）?
＝﹣+
＝0；

（2）原式＝?
＝?
＝?
＝﹣（x+2）（x﹣1）
＝﹣（x2+x﹣2）
＝﹣x2﹣x+2．
16．計算：．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝﹣．
17．化簡：
（1）（a﹣1﹣）÷；
（2）（﹣）÷．
【解答】解：（1）原式＝?
＝
＝?
＝?
＝；

（2）原式＝[﹣]?
＝?
＝
＝
＝
＝．
18．分式化簡：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝+
＝
＝．
19．上課時老師在黑板上書寫了一個分式的正確化簡結果，隨后用手掌蓋住了一部分，形式如下：
?﹣＝
（1）聰明的你請求出蓋住部分化簡后的結果；
（2）當x＝2時，y等于何值時，原分式的值為5．
【解答】解：（1）∵（+）÷
＝[+]×
＝×
＝﹣
∴蓋住部分化簡后的結果為﹣；
（2）∵x＝2時，原分式的值為5，
即，
∴10﹣5y＝2
解得y＝
經(jīng)檢驗，y＝是原方程的解．
所以當x＝2，y＝時，原分式的值為5．

考點四 分式--化簡求值

20．先化簡+÷，再從1，﹣1，﹣2，2四個數(shù)字中選取一個合適的數(shù)作為m代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵，
∴m≠±1且m≠2，
當m＝﹣2時，
原式＝．
21．先化簡，再求值：（1﹣）?，其中x＝2．
【解答】解：原式＝（）
＝
＝，
當x＝2時，
原式＝＝﹣2．
22．如果m2+2m﹣3＝0，求的值．
【解答】解：
＝?
＝m（m+2）
＝m2+2m，
∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3
當m2+2m＝3時，原式＝3．
23．已知：a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)．求代數(shù)式÷（）的值．
【解答】解：原式＝﹣÷[﹣]
＝﹣÷
＝﹣?
＝﹣
＝﹣，
由題意可知：a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，
∴（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式＝＝．
24．已知反比例函數(shù)y＝的圖象分別位于第二、第四象限，化簡：﹣+．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象分別位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k﹣1＜0，
∴﹣+＝+＝k+4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．

考點五 二次根式的概念及性質(zhì)
1．二次根式中x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥6 B．x≤6 C．x＜6 D．x＞6
【解答】解：由題意得：6﹣x≥0，
解得：x≤6，
故選：B．
2．若實數(shù)x，y滿足，則x﹣y的值是（　?。?br /> A．1 B．﹣6 C．4 D．6
【解答】解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x≥5，x≤5，
∴x＝5，
∴y＝﹣1，
∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
故選：D．
3．下列計算正確的是（　?。?br /> A．＝± B．＝ C．±＝ D．±＝±
【解答】解：A：原式＝，∴不符合題意；
B：原式不成立，∴不符合題意；
C：原式＝±，∴不符合題意；
D：原式＝±，∴符合題意；
故選：D．
4．下列各式中，錯誤的是（　　）
A． B．（a﹣b）2＝（b﹣a）2
C．|﹣a|＝a D．
【解答】解：A：∵﹣＝﹣a，＝﹣a，
∴﹣＝，∴不符合題意；
B：（a﹣b）2＝（b﹣a）2，∴不符合題意；
C：∵﹣a的取值范圍無法確定，
∴|﹣a|＝﹣a或a，∴符合題意；
D：∵＝a，不符合題意；
故選：C．
5．在下列各式中，是最簡二次根式的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C、被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
故選：D．
6．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B．是最簡二次根式，故本選項符合題意；
C．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：B．
7．與根式不是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．﹣2
【解答】解：A．＝，即化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同（都是2a），所以是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B．＝2，即化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同（都是2a），所以是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C．＝，即化成最簡二次根式后被開方數(shù)不相同，所以不是同類二次根式，故本選項符合題意；
D．﹣2＝﹣2a|b|，即化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同（都是2a），所以是同類二次根式，故本選項不符合題意；
故選：C．
8．若最簡二次根式與可以合并，則m的值為（　　）
A．2019 B．﹣2019 C．2023 D．﹣2023
【解答】解：∵最簡二次根式與可以合并，即最簡二次根式與是同類二次根式，
∴m+2021＝2，
∴m＝﹣2019，
故選：B．

考點六 二次根式的運算
9．估計的值應在（　?。┲g．
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【解答】解：
＝﹣3，
∵3＜＜4，
∴0＜﹣3＜1，
故選：A．
10．估計（2﹣2）×的值是（　　）
A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3到4之間
【解答】解：原式＝2﹣2，
∵3＜2＜4，
∴1＜2﹣2＜2，
故選：B．
11．計算：
（1）+（+2）（﹣2）．
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣+5﹣4
＝2﹣+1
＝3﹣；
（2）原式＝5+2+2﹣×2
＝7+2﹣
＝7+．
12．計算：
（1）；
（2）|﹣|﹣+（﹣1﹣）2．
【解答】解：（1）
＝﹣+2
＝4+；

（2）|﹣|﹣+（﹣1﹣）2
＝﹣（﹣1）+1+2+2
＝﹣+1+1+2+2
＝4+2．
13．計算：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）原式＝6×+（3×3﹣2×2）÷
＝2+（9+4）÷
＝2+3+4
＝5+4；
（2）原式＝3﹣2+2﹣（2+6﹣6﹣3）
＝5﹣2+
＝5﹣．
14．計算：
（1）；
（2）﹣；
（3）；
（4）（1﹣）（+1）﹣（﹣1）2．
【解答】解：（1）原式＝﹣3﹣2+×2+5
＝﹣3﹣2++5
＝﹣2+3；

（2）原式＝﹣
＝﹣
＝﹣6；

（3）原式＝2﹣4×﹣（3×﹣4×）
＝2﹣﹣+2
＝+；

（4）原式＝1﹣5﹣（5+1﹣2）
＝1﹣5﹣6+2
＝﹣10+2．
15．觀察下列一組等式，解答后面的問題：
﹣1，
．
應用計算：
（1）利用上面的方法進行化簡：；
（2）歸納：根據(jù)上面的結論，找規(guī)律，請直接寫出下列算式的結果：＝　﹣　；
（3）拓展：+++…+＝　﹣10?。?br /> 【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝﹣；、
故答案為﹣；
（3）原式＝﹣+﹣+???+﹣
＝﹣
＝﹣10．
故答案為﹣10．

考點七 二次根式化簡求值
16．小明在解方程＝2時采用了下面的方法：由
（）（）＝＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有＝2，可得＝8，將這兩式相加可得，將＝5兩邊平方可解得x＝﹣1，經(jīng)檢驗x＝﹣1是原方程的解、請你學習小明的方法，解方程＝16，則x＝　±?。?br /> 【解答】解：∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝（x2+42）﹣（x2+10）＝32，
而+＝16，
∴﹣＝2，
兩式相減得2＝14，即＝7，
兩邊平方得到x2＝39，
∴x＝±，
經(jīng)檢驗x＝±為原方程的解．
故答案為±．
17．觀察下列各式：＝1+；＝1+；＝1+；…
請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：+++…+，其結果為 　?。?br /> 【解答】解：+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝2020+1﹣+﹣++…+﹣
＝2021﹣
＝．
故答案為：．
18．已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【解答】解：（1）當x＝，y＝時，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+）×（﹣）
＝2×（1﹣）
＝2﹣2；
（2）當x＝，y＝時，
原式＝（x﹣y）2
＝（﹣）2
＝（1﹣）2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
19．（1）已知ab＝，求a+b的值；
（2）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2+y2+2xy．
【解答】解：（1）a+b＝a?+b?
＝a?+b?，
∵ab＝，
∴當a、b都為正數(shù)時，原式＝+＝2＝2×＝2×＝3；
當a、b都為負數(shù)時，原式＝﹣+﹣＝﹣2＝﹣2×＝﹣2×＝﹣3；
（2）∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x+y＝2，
∴x2+y2+2xy＝（x+y）2＝（2）2＝20．
20．小明在解決問題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解答的：
∵a＝，∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
（1）填空：＝　　，＝　??；
（2）計算：；
（3）若a＝，求2a2﹣12a﹣5的值．
【解答】解：（1）＝＝，
＝，
故答案為：，；
（2）原式＝（﹣1++...+）
＝（）（）
＝2021﹣1
＝2020；
（3）當a＝＝時，
原式＝2（）2﹣12（）﹣5
＝2（10+6+9）﹣12﹣36﹣5
＝20+12+18﹣12﹣36﹣5
＝﹣3．


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