?【2022講通練透】二輪
第十六講 三角形及其性質
考點一 三角形的三邊關系 2
考點二 三角形的內(nèi)角與外角 2
考點三 三角形的中線 7
考點四 三角形的角平分線 11















考點一 三角形的三邊關系

1．一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為偶數(shù)．則這個三角形的周長為（　?。?br /> A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：第三邊的取值范圍是大于4且小于8，又第三邊是偶數(shù)，故第三邊是6．
則該三角形的周長是14．
故選：B．
2．若a，b，c為△ABC的三條邊長，且滿足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，則c的值可以為（　?。?br /> A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：由題意得，a﹣5＝0，b﹣2＝0，
解得a＝5，b＝2，
∵5﹣2＝3，5+2＝7，
∴3＜c＜7，
∴c的值可以為6．
故選：A．

考點二 三角形的內(nèi)角與外角

3．如圖，∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，則∠A的度數(shù)為（　　）

A．80° B．30° C．50° D．無法確定
【解答】解：如圖所示：
連接BD并延長，
∵∠3是△ABD的外角，∠4是△BCD的外角，
∴∠1+∠A＝∠3①，∠2+∠C＝∠4②，
①+②得，（∠1+∠2）+∠A+∠C＝（∠3+∠4），即∠ABC+∠A+∠C＝∠ADC，
∵∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，
∴60°+∠A+40°＝3∠A，解得∠A＝50°．
故選：C．

4．如圖，BE和CE分別是∠ABD和∠ACB的平分線，若∠CEB＝46°，則∠BAE的度數(shù)是（　?。?br />
A．44? B．45? C．46? D．47?
【解答】解：如圖，延長CA到F．

∵BE和CE分別是∠ABD和∠ACB的平分線，
∴AE平分∠BAF，
設∠ECA＝∠ECB＝x，∠ABE＝∠DBE＝y(tǒng)，
則有，
可得∠CAB＝2∠CEB＝92°，
∴∠BAF＝88°，
∴∠BAE＝∠BAF＝44°，
故選：A．
5．如圖，△ABC中，∠A＝20°，沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，此時∠C′DB＝74°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（　　）

A．27° B．59° C．69° D．79°
【解答】解如圖，∵△ABC沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠ABC＝3∠3＝81°，
∠C＝106°﹣27°＝79°，
故選：D．

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝25°，則∠CDE的度數(shù)是（　　）

A．45° B．65° C．70° D．80°
【解答】解：由折疊可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠A＝25°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝25°+45°＝70°，
∴∠CDE＝70°，
故選：C．
7．給定下列條件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【解答】解：A、設∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴最大角∠C＝3×30°＝90°，
∴三角形是直角三角形，選項A不符合題意；
B、∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°÷2＝90°，
∴三角形是直角三角形，選項B不符合題意；
C、設∠C＝y(tǒng)，則∠A＝2y，∠B＝2y，
∴y+2y+2y＝180°，
解得：y＝36°，
∴最大角∠B＝2×36°＝72°，
∴三角形不是直角三角形，選項C符合題意；
D、設∠A＝z，則∠B＝z，∠C＝2z，
∴z+z+2z＝180°，
解得：z＝45°，
∴最大角∠C＝2×45°＝90°，
∴三角形是直角三角形，選項D不符合題意．
故選：C．
8．如圖，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分線，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，則∠E的度數(shù)是（　?。?br />
A．26° B．22° C．34° D．30°
【解答】解：∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，
∴∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACB＝2∠DCG＝132°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝132°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝26°，
故選：A．
9．如圖，在△ABC中，點D在邊BA的延長線上，∠ABC的平分線和∠DAC的平分線相交于點M，若∠BAC＝80°，∠C＝60°，則∠M的大小為（　?。?br />
A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ABC的平分線和∠DAC的平分線相交于點M，
∴∠ABM＝20°，∠CAM＝，
∴∠M＝180°﹣20°﹣50°﹣80°＝30°，
故選：C．


考點三 三角形的中線

10．如圖，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，點E是AB的中點，且△ABC的面積為9cm2，則△AED的面積為（　?。?br />
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【解答】解：∵點E是AB的中點，
∴△AED的面積＝△ABD的面積，
∵S△ABD：S△ACD＝2：1，
∴△ABD的面積＝△ABC的面積×，
∴△AED的面積＝△ABC的面積××＝9×＝3（cm2），
故選：C．
11．如圖，△ABF的面積是2，D是AB邊上任意一點，E是CD中點，F(xiàn)是BE中點，△ABC的面積是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：連接AE，如圖．
∵F為BE中點，S△ABF＝2，
∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，
又E為CD中點，
∴S△ADE＝，S△BDE＝，
∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE
＝+
＝（S△ADC+S△BDC）
＝S△ABC
＝4，
故S△ABC＝8．
故選：C．

12．如圖，在△ABC中，已知點D，E分別為BC，AD的中點，EF＝2FC，且△ABC的面積12，則△BEF的面積為（　?。?br />
A．5 B． C．4 D．
【解答】解：∵點D是BC的中點，△ABC的面積12，
∴△ABD的面積＝△ACD的面積＝S△ABC＝6，
∵E是AD的中點，
∴△ABE的面積＝△DBE的面積＝△ABC的面積＝3，
△ACE的面積＝△DCE的面積＝△ABC的面積＝3，
∴△BCE的面積＝△ABC的面積＝6，
∵EF＝2FC，
∴△BEF的面積＝×6＝4，
故選：C．

13．如圖所示是一塊面積為28的三角形紙板，其中AD＝DF，BE＝ED，EF＝FC，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．5.6 B．4 C．3.5 D．2.8
【解答】解：連接AE，BF，CD，如圖所示，
∵AD＝DF，BE＝ED，EF＝FC，
則AE、BF、CD分別為△ABD、△BCE、△ACF的中線，
DE、EF、DF分別為△AEF、△BDF、△CDE的中線，
由三角形中線的性質可得：
S△ADC＝S△CDF，S△AED＝S△ABE，
S△BEF＝S△DEF，S△EBF＝S△BFC，
S△ABD＝S△BDF，S△AEF＝S△AFC，
∴△ABC被分為7個面積相等的三角形，中間陰影部分的面積為△ABC面積的，即為28×＝4．
故選：B．

14．如圖，D、E分別在△ABC的邊BC、AC上，CD＝BC，CE＝AC，AD與BE交于點O，已知△ABC的面積為12，則△ABO的面積為（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：連接OC，
∵CD＝BC，CE＝AC，
∴S△ACD＝S△BCE＝S△ABC＝＝4，
又∵S△ACD﹣S四邊形ODCE＝S△BCE﹣S四邊形ODCE，
即S△AOE＝S△BOD，
又∵AE：EC＝2：1＝BD：DC，
S△OEC＝S△AOE，S△ODC＝S△BOD，
∴S△OEC＝S△ODC，
∴S△BCE＝S△BOD+S△ODC+S△OEC＝4S△ODC＝4，
故S△ODC＝1，
∴S△AOE＝S△BOD＝2，
∴S△ABO＝S△ABC﹣S△ADC﹣S△BOD＝12﹣4﹣2＝6．
故選：C．

15．如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的中線，CE是△ADC的邊AD上的中線，若△ABD的面積為16cm2，則△CDE的面積為（　?。?br />
A．32 cm2 B．16cm2 C．8cm2 D．4cm2
【解答】解：∵AD是△ABC的邊BC上的中線，△ABD的面積為16cm2，
∴△ADC的面積為16cm2，
∵CE是△ADC的邊AD上的中線，
∴△CDE的面積為8cm2，
故選：C．



考點四 三角形的角平分線

16．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（　?。?br /> ①△ABE的面積＝△BCE的面積；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【解答】解：∵BE是△ABC的中線，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確；
∵AD是△ABC的高線，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF為△ABC的角平分線，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正確；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；
根據(jù)已知條件無法證明AF＝FB，故④錯誤，
故選：C．
17．下列說法：①直線外一點到該直線的垂線段，是這個點到該直線的距離；②同旁內(nèi)角互補；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④三角形三條高至少有一條在三角形的內(nèi)部；⑤垂直于同一條直線的兩條直線平行；⑥三角形的角平分線是線段．其中說法正確的有（　?。?br /> A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【解答】解：①直線外一點到該直線的垂線段的長度，是這個點到該直線的距離；故原命題錯誤；
②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；故原命題錯誤；
③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故原命題錯誤；
④三角形三條高至少有一條在三角形的內(nèi)部；故原命題正確；
⑤在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；故原命題錯誤；
⑥三角形的角平分線是線段．故原命題正確；
其中說法正確的有2個，
故選：A．
18．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，過點A的直線DE∥BC，∠ABC與∠ACB的平分線分別交DE于E，D，則DE的長為（　?。?br />
A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE．
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．
故選：A．
19．為了加快災后重建的步伐，我市某鎮(zhèn)要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個砂石場，如圖，要使這個砂石場到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址（　?。?br />
A．僅有一處 B．有四處 C．有七處 D．有無數(shù)處
【解答】解：滿足條件的點有一個，
三角形內(nèi)部：三個內(nèi)角平分線交點一個．
三角形外部，外角的角平分線三個（不合題意）．
故選：A．
20．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，過點O做EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于點D，下列四個結論：
①EF＝BE+CF；②點O到△ABC各邊的距離相等；③∠BOC＝90°+∠A；④設OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn．其中結論正確的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：過O作OQ⊥AB于Q，OR⊥BC于R，如圖1，
∵BN平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴OE＝BE，
同理CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正確；
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于O，OQ⊥AB，OD⊥AC，OR⊥BC，
∴OQ＝OR，OD＝OR，
∴OD＝OQ＝OR，
即點O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故③正確；
連接AO，如圖2，
∵OD＝OQ＝m，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝S△AEO+S△AFO
＝
＝
＝m（AE+AF）
＝mn，故④正確；
即正確的是①②③④，
故選：D．
21．如圖所示，點D在∠BAC的角平分線上，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF，BC⊥AD于點D，則下列結論中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正確的序號是（　　）

A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵點D在∠BAC的角平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，故①正確；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，故②正確；
∵BC⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠ADF，
即∠EDB＝∠FDC，故④正確；
∵∠ABD+∠EDB＝90°，∠ACD+∠FDC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD，故③正確；
綜上所述，正確的是①②③④．
故選：D．
22．如圖，△ABC的面積為16cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△PBC的面積為（　　）

A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【解答】解：延長AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分線BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，
又∵BP＝BP，∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
故選：B．

23．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是高，BE平分∠ABC交CD于點E，EF∥AC交AB于點F，交BC于點G．在結論：（1）∠EFD＝∠BCD；（2）AD＝CD；（3）CG＝EG；（4）BF＝BC中，一定成立的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：∵EF∥AC，∠BCA＝90°，
∴∠CGE＝∠BCA＝90°，
∴∠BCD+∠CEG＝90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED＝90°，
∵∠CEG＝∠FED（對頂角相等），
∴∠EFD＝∠BCD，故（1）正確；
只有∠A＝45°，即△ABC是等腰直角三角形時，AD＝CD，CG＝EG，故（2）（3）錯誤；
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF，
在△BCE和△BFE中，，
∴△BCE≌△BFE（AAS），
∴BF＝BC，故（4）正確，
綜上所述，正確的有（1）（4）共2個．
故選：B．


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