【2022講通練透】二輪第十七講  三角形全等考點(diǎn)一  手拉手模型證全等考點(diǎn)二  倍長(zhǎng)中線證全等考點(diǎn)三  手拉手+倍長(zhǎng)中線模型考點(diǎn)四  半角模型證全等考點(diǎn)五  三垂直模型證全等考點(diǎn)六  對(duì)角互補(bǔ)模型證全等             
 考點(diǎn)一  手拉手模型證全等 1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，點(diǎn)E、F分別在直線BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1），請(qǐng)說(shuō)明EF＝BE+FD的理由；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．如圖，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．（1）△ABC與△ADE全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若AF⊥CB，垂足為F，請(qǐng)說(shuō)明線段2CF＝CE；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，猜想線段BF，DE，CD存在的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論．3．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，連接EP，作等邊△EPQ，連接FQ，EF．（1）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為20，且∠BPE＝45°，求等邊△EPQ的邊長(zhǎng)；（2）求證：BP＝EF+FQ．  考點(diǎn)二  倍長(zhǎng)中線證全等 1．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連接DF、CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，若AD＝1，AC＝，求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出結(jié)果）．2．在△ABC中，點(diǎn)D是BC的上一點(diǎn)，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，且∠AEB＝90°，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AF，垂足為F，連接DE，DF．（1）如圖1，點(diǎn)D在AE上，D是BC中點(diǎn)，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)D不在AE上，連接AD，延長(zhǎng)CF至點(diǎn)G，連接GD且GD＝AD．若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB，求證：DE＝DF． 3．．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè)，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥DA交DC于點(diǎn)E，M為AB的中點(diǎn)，連接MD，ME．（1）如圖1，當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是　      　；（2）如圖2，當(dāng)∠ADC＝60°時(shí)，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)∠ADC＝α時(shí)，求的值． 考點(diǎn)三  手拉手+倍長(zhǎng)中線模型 1．△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，連接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如圖1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，F是BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線，分別交AD、AC于點(diǎn)G、H．求證：AH＝CH．2．如圖1，等邊△ABC中，CE平分∠ACB，D為BC邊上一點(diǎn)，且DE＝CD，連接BE．（1）若CE＝4，BC＝，求線段BE的長(zhǎng)；（2）如圖2，取BE中點(diǎn)P，連接AP，PD，AD，求證：AP⊥PD且AP＝PD；（3）如圖3，把圖2中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，然后連接BE，點(diǎn)P為BE中點(diǎn)，連接AP，PD，AD，問(wèn)第（2）問(wèn)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，若AB＝10，BF＝4，求PG的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想；并給予證明．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）問(wèn)中關(guān)系還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．  考點(diǎn)四  半角模型證全等 1．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①BG＝GC：②△ABG≌△AFG；③S△FGC＝3；④AG∥CF．其中正確結(jié)論是　①②④　．2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，對(duì)角線BD交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N．若AB＝4，BM＝2，則MN的長(zhǎng)為　　． 3．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．  考點(diǎn)五  三垂直模型證全等 1．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若AB＝8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，求S△BCD；（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB、AD、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若D、E是AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．2．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CB上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足CD＝CA，連接AD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)F是線段CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD，若∠F＝30°，求證：CF＝AE+DF；（3）如圖3，設(shè)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F，若∠F＝30°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF，AE，DF之間的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由． 3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝BD，且AD⊥BD，連接CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CD交BC于點(diǎn)F．（1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的長(zhǎng)；（2）若BD＝DE，求證：BF＝CF．   考點(diǎn)六  對(duì)角互補(bǔ)模型證全等 1．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射線AM交直線BC于點(diǎn)E，射線AN交直線CD于點(diǎn)F，連接EF，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）如圖1，求證：EC+FC＝AC；（2）將∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，如圖3，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EC，FC，AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，則CF＝　3或12　．2．（1）如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5 cm的正方形，E，F分別在AD，CD邊上，∠EBF＝45°．為了求出△DEF的周長(zhǎng)．小南同學(xué)的探究方法是：如圖2，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，先證△ABH≌△CBF，再證△EBH≌△EBF，得EF＝EH，從而得到△DEF的周長(zhǎng)＝　10　cm；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是線段BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是線段BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上，且2∠EAF＝∠BAD，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系． 3．（2018?阜新中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；（2）點(diǎn)M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB+AN＝AM；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A，D之間，且∠AMN＝30°時(shí)，已知AB＝2，直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng)．
 

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