第15講 幾何初步及平行線、相交線（練透）-【講通練透】中考數(shù)學(xué)二輪（全國(guó)通用）

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?【2022講通練透】二輪
第十五講 幾何初步及平行線、相交線
考點(diǎn)一 線段的計(jì)算 2
考點(diǎn)二 角的計(jì)算 2
考點(diǎn)三 定理與命題 4
考點(diǎn)四 平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題 5
考點(diǎn)五 平行的性質(zhì)與判定 8
















考點(diǎn)一 線段的計(jì)算

1．如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，若AC＝5cm，BD＝2cm，則CD＝　3　cm．

【解答】解：∵點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，
∴BC＝AC＝5cm，
∴CD＝BC﹣BD＝3cm．
2．長(zhǎng)度12cm的線段AB的中點(diǎn)為M，C點(diǎn)將線段MB分成MC：CB＝1：2，則線段AC的長(zhǎng)度為　8cm?。?br />
【解答】解：∵線段AB的中點(diǎn)為M，
∴AM＝BM＝6cm
設(shè)MC＝x，則CB＝2x，
∴x+2x＝6，解得x＝2
即MC＝2cm．
∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．
3．如圖，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中點(diǎn)，則AC＝　6　cm．

【解答】解：CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3cm，
AC＝2CD＝2×3＝6cm．
故答案為：6．
4．如圖，C是線段BD的中點(diǎn)，AD＝3，AC＝7，則AB的長(zhǎng)等于　11?。?br /> 【解答】解：∵AD＝3，AC＝7∴CD＝4．
∵點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn)∴BD＝2CD＝8
AB＝BD+AD＝3+8＝11．故應(yīng)填11．
5．點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)，若線段AB＝18cm，則線段BD的長(zhǎng)為 　15cm或12cm　．
【解答】解：∵C是線段AB的中點(diǎn)，AB＝18cm，
∴AC＝BC＝AB＝×18＝9cm，
點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)，
①當(dāng)AD＝AC時(shí)，如圖，

BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+6＝15cm；
②當(dāng)AD＝AC時(shí)，如圖，

BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+3＝12cm．
所以線段BD的長(zhǎng)為15cm或12cm．
故答案為：15cm或12cm．．


考點(diǎn)二 角的計(jì)算

6．如圖，OC是∠AOB的平分線，．則∠AOB等于（　　）

A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：設(shè)∠BOD為x°，則∠COD為3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分線，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠BOD＝15°，
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故選：D．
7．如圖，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，則∠MOB的度數(shù)為（　?。?br />
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+50°＝140°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝＝70°，
∴∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝90°﹣70°＝20°，
故選：A．
8．如圖，OC是∠AOB的平分線，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，則∠AOB的度數(shù)為（　?。?br />
A．100° B．80° C．60° D．40°
【解答】解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，
∴∠BOC＝∠BOD＝20°，
∵OC是∠AOB的角平分線，
∴∠AOB＝2∠BOC＝40°，
故選：D．
9．如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若FH平分∠BFE，則∠GFH的度數(shù)α是（　?。?br />
A．0°＜α＜90°
B．α＝90°
C．90°＜α＜180°
D．α隨折痕GF位置的變化而變化
【解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE．
∠GFH＝∠EFG+∠EFH
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故選：B．
10．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC為射線，且∠AOC＝∠BOC，則∠BOC的度數(shù)是（　　）

A．150° B．135° C．120° D．30°
【解答】解：∵點(diǎn)O在直線AB上，OC為射線，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝150°．
故選：A．
11．如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，則∠GFH的度數(shù)是（　?。?br />
A．85° B．90° C．95° D．100°
【解答】解：∵將長(zhǎng)方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部點(diǎn)E處，
∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFE＝120°，
∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH
∴∠EFH＝40°，
∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．
故選：D．
12．如圖，把一長(zhǎng)方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在∠BAC內(nèi)部．若∠CAE＝∠BAD'＝α，則∠DAE的度數(shù)為（　　）

A．2α B．90°﹣3α C．30°+ D．45°﹣
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠DAE＝∠D'AE＝（90°﹣∠BAD'）＝45°﹣；
故選：D．
13．在同一平面上，若∠BOA＝60°，∠BOC＝20°，則∠AOC的度數(shù)是（　?。?br /> A．80° B．40° C．20°或 40° D．80°或 40°
【解答】解：（1）如圖所示：當(dāng)OC邊在∠BOA的外部時(shí)，

∠AOC＝∠BOA+∠BOC
＝60°+20°
＝80°；
（2）如圖所示：當(dāng)OC邊在∠BOA的內(nèi)部時(shí)，

∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC
＝60°﹣20°
＝40°．
故選：D．
14．如圖，點(diǎn)B、O、D在同一直線上，∠COD＝105°，∠AOC為直角，則∠AOB的度數(shù)為（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵點(diǎn)B、O、D在同一直線上，∠COD＝105°，
∴∠BOC＝180°﹣105°＝75°，
∵∠AOC＝90°，∠AOB+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOB＝90°﹣75°＝15°．
故選：B．



考點(diǎn)三 定理與命題

15．下列命題為真命題的是（　?。?br /> A．兩個(gè)銳角之和一定是鈍角
B．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等
C．如果x2＞0，那么x＞0
D．平行于同一條直線的兩條直線平行
【解答】解：A、20°和30°都是銳角，20°+30°＝50°，50°是銳角，
∴兩個(gè)銳角之和一定是鈍角，是假命題；
B、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，不一定相等，
∴兩直線平行，同旁內(nèi)角相等，是假命題；
C、（﹣1）2＞0，﹣1＜0，
∴如果x2＞0，那么x＞0，是假命題；
D、平行于同一條直線的兩條直線平行，是真命題；
故選：D．
16．下列命題是真命題的是（　?。?br /> A．同位角相等
B．算術(shù)平方根等于自身的數(shù)只有1
C．直角三角形的兩銳角互余
D．如果a2＝b2，那么a＝b
【解答】解：A、同位角相等，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意．
B、算術(shù)平方根等于自身的數(shù)只有1，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意．
C、直角三角形的兩銳角互余，是真命題，本選項(xiàng)符合題意．
D、如果a2＝b2，那么a＝b，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
17．下列命題是真命題的是（　?。?br /> A．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等
B．相等的角是對(duì)頂角
C．三角形的外角大于任一內(nèi)角
D．直角三角形的兩銳角互余
【解答】解：A、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
B、相等的角不一定是對(duì)頂角，錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
C、三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
D、直角三角形的兩銳角互余，正確，是真命題，符合題意，
故選：D．
18．下列命題中：①長(zhǎng)度相等的弧是等弧；②有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似；③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形；④有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．真命題的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：①長(zhǎng)度相等的弧是等弧，錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
②一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，例如頂角為40°的等腰三角形與底角為40°的等腰三角形不相似，所以原命題說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
④有兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．
真命題的個(gè)數(shù)是0，
故選：D．


考點(diǎn)四 平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題

19．如圖，直線AB∥CD，直線AB，EG交于點(diǎn)F，直線CD，PM交于點(diǎn)N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120° C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60°
【解答】解：延長(zhǎng)HG交直線AB于點(diǎn)K，延長(zhǎng)PM交直線AB于點(diǎn)S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝α，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝180°﹣γ，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝α+90°，
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣α﹣90°﹣180°+γ﹣30°，
∴α+β﹣γ＝60°，
故選：C．

20．如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過(guò)，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是（　?。?br />
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，
∴∠2＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故選：D．

21．如圖，已知AB∥EF，∠BAC＝p，∠ACD＝x，∠CDE＝y(tǒng)，∠DEF＝q，則用p、q、y來(lái)表示x．得（　?。?br />
A．x＝p+y﹣q+180° B．x＝p+q﹣y+180°
C．x＝p+q+y D．x＝2p+2q﹣y+90°
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM平行AB、過(guò)點(diǎn)D作ND平行EF，
則∠BAC＝∠ACM，
∠MCD+∠NDC＝180°，
∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝x﹣p，
∠NDE＝∠DEF＝q，
∴∠NDC＝∠CDE﹣∠NDE＝y(tǒng)﹣q，
∴x﹣p+y﹣q＝180°，
即x＝p+q﹣y+180°．
故選：B．

22．如圖，AB∥EF，∠BAC與∠CDE的角平分線交于點(diǎn)G，且GF∥DE，已知∠ACD＝90°，若∠AGD＝α，∠GFE＝β，則下列等式中成立的是（　?。?br />
A．α＝β B．2α+β＝90° C．3α+β＝90° D．α+2β＝90°
【解答】解：如圖，過(guò)D作DP∥EF，連接GC并延長(zhǎng)，
∵AB∥EF，
∴AB∥DP，
∴∠ACD＝∠BAC+∠PDC＝90°，
又∵∠ACH是△ACG的外角，∠DCH是△DCG的外角，
∴∠ACD＝∠CAG+∠CDG+∠AGD，
∴∠CAG+∠CDG＝90°﹣α，
∵∠BAC與∠CDE的角平分線交于點(diǎn)G，
∴∠BAC＝2∠GAC，∠CDG＝∠EDG，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣∠EDP）＝90°，
又∵DP∥EF，DE∥GF，
∴∠EDP＝∠F＝β，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣β）＝90°，
即2∠GAC+2∠CDG﹣β＝90°，
∴2（90°﹣α）﹣β＝90°，
∴2α+β＝90°，
故選：B．

23．如圖，已知AB∥CD，∠A＝56°，則∠1度數(shù)是（　?。?br />
A．56° B．124° C．134° D．146°
【解答】解：如圖，∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝56°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣56°＝124°．
故選：B．

24．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、γ的關(guān)系為（　　）

A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°
【解答】解：延長(zhǎng)DC交AB與G，延長(zhǎng)CD交EF于H．

直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故選：B．
25．如圖，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，則∠ABE與∠D的關(guān)系是（　?。?br />
A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°
C．∠ABE+3∠D＝180° D．∠ABE＝2∠D
【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于G，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠G，
∵BF∥DE，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠D＝∠ABF，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．
故選：D．

26．已知，如圖，AB∥CD，∠A＝70°，∠B＝40°，則∠ACD＝（　　）

A．55° B．70° C．40° D．110°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵∠A＝70°，
∴∠ACD＝70°．
故選：B．
27．如圖，BC⊥AE，垂足為C，過(guò)C作CD∥AB，若∠ECD＝43°，則∠B＝（　?。?br />
A．43° B．57° C．47° D．45°
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD＝∠A＝43°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝47°，
故選：C．
28．如圖，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，則∠CEF的度數(shù)為（　　）

A．95° B．105° C．110° D．115°
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝130°，
∴∠BCD＝∠ABC＝130°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝130°﹣55°＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣75°＝105°，
故選：B．
29．如圖，已知直線AB，CD被直線AC所截，AB∥CD，E是平面內(nèi)CD上方的一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線AB，CD，AC上），設(shè)∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度數(shù)可能是（　　）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【解答】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．

（2）如圖2，過(guò)E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．

（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．

（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．

（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時(shí)，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能是β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故選：C．
30．如圖，若AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝35°，則∠C的度數(shù)為（　?。?br />
A．80° B．85° C．90° D．95°
【解答】解：過(guò)C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE，
∴∠1+∠B＝180°，∠2＝∠D＝35°，
∵∠B＝130°，
∴∠1＝50°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝85°，
故選：B．

31．已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置（∠ABC＝30°），并且頂點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．22° C．28° D．38°
【解答】解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
過(guò)C作CD∥直線m，
∵直線m∥n，
∴CD∥直線m∥直線n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故選：B．

考點(diǎn)五 平行的性質(zhì)與判定

32．如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF＝∠ADG，求證：DG∥BA．

【解答】證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠BEF＝∠BAD，
∵∠BEF＝∠ADG，
∴∠ADG＝∠BAD，
∴AB∥DG．
33．如圖，若AB∥EF，AB∥CD．求證：∠2+∠3﹣∠1＝180°（關(guān)鍵步驟要寫(xiě)理由）．

【解答】證明：∵AB∥EF，AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠3＝∠CGE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠3﹣∠1＝∠CGE﹣∠1＝∠BGE（等式的性質(zhì)），
∵AB∥EG（已知），
∴∠2+∠BGE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
即∠2+∠3﹣∠1＝180°．
34．如圖，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F．求證：BC∥EF．

【解答】證明：∵∠A＝∠EDF（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，兩直線平行），
∴∠C＝∠CGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
又∵∠C＝∠F（已知），
∴∠CGF＝∠F（等量代換），
∴BC∥EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
35．如圖，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2．求證：DE∥AF．

【解答】證明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴CD∥AB，
∴∠CDA＝∠BAD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴DE∥AF．