知識梳理
eq \a\vs4\al(1.簡單幾何體,?1?多面體的結(jié)構(gòu)特征)
①特殊的四棱柱
eq \x(四棱柱)eq \(――→,\s\up7(底面為),\s\d5(平行四邊形))eq \x(\a\al( 平行,六面體))eq \(――→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\d5(于底面))eq \x(\a\al(直平行,六面體))eq \(――→,\s\up7(底面為),\s\d5(矩形))eq \x(長方體)eq \(――→,\s\up7(底面),\s\d5(邊長相等))eq \x(正四棱柱)eq \(――→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\d5(邊長相等))eq \x(正方體)
②多面體的關(guān)系：
eq \x(棱柱)eq \(――――――→,\s\up7(一個底面退化),\s\d5(為一個點))eq \x(棱錐)eq \(―――――――→,\s\up7(用平行于底面的),\s\d5(平面截得))eq \x(棱臺)
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4．空間幾何體的表面積與體積公式
題型歸納
題型1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【例1-1】給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D.3
【跟蹤訓練1-1】下列命題正確的是( )
A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺
D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
【跟蹤訓練1-2】(多選)給出下列命題，其中真命題是( )
A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形
B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直
C．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D．存在每個面都是直角三角形的四面體
【名師指導】
辨別空間幾何體的2種方法
題型2 空間幾何體的表面積
【例2-1】(1)(2019·四川瀘州一診)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A．(5＋eq \r(2))π B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π D.(3＋eq \r(2))π
(2)(2020·河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為( )
A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3)
C．12 D.8＋4eq \r(2)
【跟蹤訓練2-1】在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.
【名師指導】
求解幾何體表面積的類型及求法
題型3 空間幾何體的體積
【例3-1】(2019·江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為________．
【例3-2】(1)(2019·全國卷Ⅲ)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．
【例3-3】如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為( )
A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),4)
【跟蹤訓練3-1】如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2eq \r(3) cm，側(cè)面積為8eq \r(3) cm2，則它的體積為________cm3.
【跟蹤訓練3-2】如圖，已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點，則四棱錐P-AA1C1C的體積為________．
【名師指導】
求空間幾何體的體積的常用方法
題型4 與球有關(guān)的切、接問題
【例4-1】(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為( )
A．8eq \r(6)π B．4eq \r(6)π
C．2eq \r(6)π D.eq \r(6)π
【例4-2】(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq \f(V1,V2)的值是________．
(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq \r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．
【跟蹤訓練4-1】(2019·四川成都一診)如圖，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.現(xiàn)分別沿EF，GH將矩形折疊使得AD與BC重合，則折疊后的幾何體的外接球的表面積為( )
A．24π B．6π
C.eq \f(16,3)π D.eq \f(8,3)π
【跟蹤訓練4-2】(2019·廣東中山一中七校聯(lián)合體聯(lián)考)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在這個四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為________．
【名師指導】
解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且相等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
互相平行且相等
相交于一點，但不一定相等
延長線交于一點
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球▲
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
長度相等且相交于一點
延長線交于一點
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
定義法
緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定
反例法
通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可
求多面體的表面積
只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積
求旋轉(zhuǎn)體的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系
求不規(guī)則幾何體的表面積時
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積
公式法
對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解
割補法
把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積
等體積法
一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積

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