知識梳理
eq \a\vs4\al(1.簡單幾何體,?1?多面體的結(jié)構(gòu)特征)
①特殊的四棱柱
eq \x(四棱柱)eq \(――→,\s\up7(底面為),\s\d5(平行四邊形))eq \x(\a\al( 平行,六面體))eq \(――→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\d5(于底面))eq \x(\a\al(直平行,六面體))eq \(――→,\s\up7(底面為),\s\d5(矩形))eq \x(長方體)eq \(――→,\s\up7(底面),\s\d5(邊長相等))eq \x(正四棱柱)eq \(――→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\d5(邊長相等))eq \x(正方體)
②多面體的關(guān)系：
eq \x(棱柱)eq \(――――――→,\s\up7(一個底面退化),\s\d5(為一個點))eq \x(棱錐)eq \(―――――――→,\s\up7(用平行于底面的),\s\d5(平面截得))eq \x(棱臺)
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4．空間幾何體的表面積與體積公式
題型歸納
題型1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【例1-1】給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D.3
【解析】 ①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等．
【答案】A
【跟蹤訓練1-1】下列命題正確的是( )
A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺
D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
【解析】 如圖所示，可排除A、B選項．對于D選項只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形或圓，否則截面為橢圓或橢圓的一部分，故選C.
【答案】C
【跟蹤訓練1-2】(多選)給出下列命題，其中真命題是( )
A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形
B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直
C．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D．存在每個面都是直角三角形的四面體
【解析】 A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個二面角都是直二面角；C正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形．
【答案】BCD
【名師指導】
辨別空間幾何體的2種方法
題型2 空間幾何體的表面積
【例2-1】(1)(2019·四川瀘州一診)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A．(5＋eq \r(2))π B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π D.(3＋eq \r(2))π
(2)(2020·河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為( )
A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3)
C．12 D.8＋4eq \r(2)
[解析] (1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱挖去一個底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐，∴該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.故選A.
(2)連接A1B.因為AA1⊥底面ABC，則AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(2).又AB⊥BC，則AB＝eq \r(2)，則該三棱柱的側(cè)面積為2eq \r(2)×2＋2×2＝4＋4eq \r(2).
[答案] (1)A (2)A
【跟蹤訓練2-1】在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.
【解析】將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq \f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．
【答案】2 600π
【名師指導】
求解幾何體表面積的類型及求法
題型3 空間幾何體的體積
【例3-1】(2019·江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為________．
[解析] 如圖，取BC中點O，連接AO.∵正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq \r(3).
∵AA1∥平面BCC1B1，∴點D到平面BCC1B1的距離為eq \r(3).
又Seq \a\vs4\al(△BB1C1)＝eq \f(1,2)×2×2＝2，∴Veq \a\vs4\al(D-BB1C1)＝eq \f(1,3)×2×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3).
[答案] eq \f(2\r(3),3)
【例3-2】(1)(2019·全國卷Ⅲ)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．
[解析] (1)由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱錐＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．
又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．
(2)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，則△BHC中BC邊的高h＝eq \f(\r(2),2).∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).
[答案] (1)118.8 (2)eq \f(\r(2),3)
【例3-3】如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為( )
A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),4)
[解析] 易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為eq \f(\r(3),2)，底面積為eq \f(1,2)，故其體積為eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12).
[答案] A
【跟蹤訓練3-1】如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2eq \r(3) cm，側(cè)面積為8eq \r(3) cm2，則它的體積為________cm3.
【解析】記正四棱錐P-ABCD的底面中心為點O，棱AB的中點為H，連接PO，HO，PH，則PO⊥平面ABCD，因為正四棱錐的側(cè)面積為8eq \r(3) cm2，所以8eq \r(3)＝4×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝eq \r(3)，所以PO＝1，所以VP-ABCD＝eq \f(1,3)·S正方形ABCD·PO＝4 cm3.
【答案】4
【跟蹤訓練3-2】如圖，已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點，則四棱錐P-AA1C1C的體積為________．
【解析】如圖，把三棱柱ABC-A1B1C1補成平行六面體A1D1B1C1-ADBC.設(shè)P到平面AA1C1C的距離為h，則Veq \a\vs4\al(P-AA1C1C)＝eq \f(1,3)Seq \a\vs4\al(AA1C1C)·h＝eq \f(1,3)Veq \a\vs4\al(AA1C1C-DD1B1B)＝eq \f(1,3)·2Veq \a\vs4\al(ABC-A1B1C1)＝eq \f(2V,3).
【答案】eq \f(2V,3)
【名師指導】
求空間幾何體的體積的常用方法
題型4 與球有關(guān)的切、接問題
【例4-1】(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為( )
A．8eq \r(6)π B．4eq \r(6)π
C．2eq \r(6)π D.eq \r(6)π
[解析] 法一：∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∴EF∥PB.
∵∠CEF＝90°，∴EF⊥EC，∴PB⊥EC，
又∵三棱錐P-ABC為正三棱錐，∴PB⊥AC，從而PB⊥平面PAC，∴三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直．
∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴PA＝PB＝PC＝eq \r(2)，
則球O是棱長為eq \r(2)的正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，
則2R＝eq \r(3)×eq \r(2)，R＝eq \f(\r(6),2)，∴球O的體積V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \r(6)π.故選D.
法二：令PA＝PB＝PC＝2x(x>0)，則EF＝x，連接FC，由題意可得FC＝eq \r(3).在△PAC中，cs∠APC＝eq \f(4x2＋4x2－4,2×4x2)＝eq \f(2x2－1,2x2).
在△PEC中，EC2＝PC2＋PE2－2PC·PEcs∠EPC＝4x2＋x2－2×2x·x·eq \f(2x2－1,2x2)＝x2＋2，在△FEC中，∵∠CEF＝90°，∴FC2＝EF2＋EC2，即x2＋2＋x2＝3，∴x＝eq \f(\r(2),2)，∴PA＝PB＝PC＝2x＝eq \r(2).
∵AB＝BC＝CA＝2，∴三棱錐P-ABC的三個側(cè)面為等腰直角三角形，∴PA，PB，PC兩兩垂直，故球O是棱長為eq \r(2)的正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則2R＝eq \r(3)×eq \r(2)，R＝eq \f(\r(6),2)，∴球O的體積V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \r(6)π.故選D.
[答案] D
【例4-2】(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq \f(V1,V2)的值是________．
(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq \r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．
[解析] (1)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，
則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，
故eq \f(V1,V2)＝eq \f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).
(2)如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE，
∵△ABC是正三角形，
∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．
∵AB＝2eq \r(3)，∴S△ABC＝3eq \r(3)，DE＝1，PE＝eq \r(2).
∴S表＝3×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(2)＋3eq \r(3)＝3eq \r(6)＋3eq \r(3).
∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq \f(1,3)×3eq \r(3)×1＝eq \r(3).
設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，
則r＝eq \f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq \r(2)－1.
[答案] (1)eq \f(3,2) (2)eq \r(2)－1
【跟蹤訓練4-1】(2019·四川成都一診)如圖，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.現(xiàn)分別沿EF，GH將矩形折疊使得AD與BC重合，則折疊后的幾何體的外接球的表面積為( )
A．24π B．6π
C.eq \f(16,3)π D.eq \f(8,3)π
【解析】 由題意可知，折疊后的幾何體是底面為等邊三角形的三棱柱，底面等邊三角形外接圓的半徑為eq \f(2,3)×eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),3).因為三棱柱的高為BC＝2，所以其外接球的球心與底面外接圓圓心的距離為1，則三棱柱外接球的半徑為R＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＋12)＝eq \f(2\r(3),3)，所以三棱柱外接球的表面積S＝4πR2＝eq \f(16π,3).故選C.
【答案】C
【跟蹤訓練4-2】(2019·廣東中山一中七校聯(lián)合體聯(lián)考)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在這個四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為________．
【解析】由題意知，當球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時球的半徑最大．作出其側(cè)視圖，如圖所示．易知球的半徑r＝(2－eq \r(2))a.
【答案】(2－eq \r(2))a
【名師指導】
解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且相等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
互相平行且相等
相交于一點，但不一定相等
延長線交于一點
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球▲
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
長度相等且相交于一點
延長線交于一點
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
定義法
緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定
反例法
通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可
求多面體的表面積
只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積
求旋轉(zhuǎn)體的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系
求不規(guī)則幾何體的表面積時
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積
公式法
對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解
割補法
把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積
等體積法
一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積

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