類型一：以夾角為銳角、直角、鈍角為背景的向量翻譯
1．已知為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點．
（Ⅰ）當拋物線過點時，求拋物線的方程；
（Ⅱ）證明：是定值．
2．已知橢圓．
（1）求橢圓的短軸長和離心率；
（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，，設的中點為，點，判斷與的大小，并證明你的結論．
3．如圖，橢圓的一個焦點是，為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點的直線交橢圓于、兩點．若直線繞點任意轉動，值有，求的取值范圍．
4．已知橢圓過點，、為其左、右焦點，且△的面積等于．
（1）求橢圓的方程；
（2）若、是直線上的兩個動點，滿足，問以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請給予證明；若不是，請說明理由．
5．已知橢圓過點，且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過的直線交橢圓于，兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由．
6．已知拋物線，過點的直線交與、兩點，圓是以線段為直徑的圓．
（Ⅰ）證明：坐標原點在圓上；
（Ⅱ）設圓過點，求直線與圓的方程．
類型二：以共線為背景的向量翻譯
7．已知、分別是橢圓的左、右焦點，其左準線與軸相交于點，并且滿足，．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設、是這個橢圓上的兩點，并且滿足，當時，求直線的斜率的取值范圍．
8．已知，分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點作直線交曲線于兩個不同的點和，設，若，，求的取值范圍．
高考預測二：以弦長、面積為背景的條件翻譯
9．已知點，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點的動直線與橢圓相交于，兩點．當的面積最大時，求直線的方程．
10．已知橢圓的焦點在軸上，橢圓的左頂點為，斜率為的直線交橢圓于、兩點，點在橢圓上，，直線交軸于點
（Ⅰ）當點為橢圓的上頂點，的面積為時，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）當，時，求的取值范圍．
11．如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點，，滿足，的中點均在拋物線上
（1）求拋物線的焦點到準線的距離；
（2）設中點為，且，，，，證明：；
（3）若是曲線上的動點，求面積的最小值．
高考預測三：斜率為背景的條件翻譯
12．設橢圓的右焦點為，過的直線與交于，兩點，點的坐標為．
（1）當與軸垂直時，求直線的方程；
（2）設為坐標原點，直線不與軸重合，求的值．
13．設橢圓的右焦點為，過的直線與橢圓交于，兩點，已知點的坐標為．
（Ⅰ）當與軸垂直時，求點、的坐標及的值；
（Ⅱ）設為坐標原點，證明：．
14．在直角坐標系中，拋物線與直線交于、兩點．
（1）當時，分別求拋物線在點和處的切線方程；
（2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由．
15．已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，若過的動直線與曲線相交于，兩點
（1）說明曲線的形狀，并寫出其標準方程；
（2）是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由
高考預測四：選用合適的方程形式或面積公式實現簡化計算
16．（1）直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，，，兩點，證明：；
（2）直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，，，兩點，點在拋物線的準線上，且軸，證明：直線經過原點．
17．設橢圓，直線過橢圓左焦點且不與軸重合，橢圓交于、，左準線與軸交于，．當與軸垂直時，．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線繞著旋轉，與圓交于，兩點，若，求△的面積的取值范圍為橢圓的右焦點）．
高考預測五：利用計算的對稱性避免重復計算
18．已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1．
（1）求證：點軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；
（2）大家知道，過圓上任意一點，任意作互相垂直的弦、，則弦必過圓心（定點）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
①過（1）中的拋物線的頂點任意作互相垂直的弦、，問：弦是否經過一個定點？若經過，請求出定點坐標，否則說明理由；
②研究：對于拋物線上頂點以外的定點是否也有這樣的性質？請?zhí)岢鲆粋€一般的結論，并證明．
19．設橢圓，其離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設曲線的上、下頂點分別為、，點在曲線上，且異于點、，直線，與直線分別交于點，．
（1）設直線，的斜率分別為，，求證：為定值；
（2）求線段長的最小值．
高考預測六：設而不求，整體代換
20．已知平面內一動點在軸的上方，點到的距離與它到軸的距離的差等于1．
（1）求動點軌跡的方程；
（2）設，為曲線上兩點，與的橫坐標之和為4．
①求直線的斜率；②設為曲線上一點，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．
21．已知拋物線的頂點為原點，其焦點，到直線的距離為，設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點．
（1）求拋物線的方程；
（2）當點，為直線上的定點時，求直線的方程；
（3）當點在直線上移動時，求的最小值．

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