高中數(shù)學(xué)高考第12講 解析幾何通解研究（解析版）

這是一份高中數(shù)學(xué)高考第12講 解析幾何通解研究（解析版），共24頁。試卷主要包含了已知橢圓，已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
類型一：以夾角為銳角、直角、鈍角為背景的向量翻譯
1．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，求拋物線的方程；
（Ⅱ）證明：是定值．
【解析】解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，
所以，，
所以拋物線的方程；
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線有斜率時(shí)，，設(shè)直線的方程為，則，
將（1）代入（2）得，，化簡得，
設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，則，
因?yàn)辄c(diǎn)，都在拋物線上，所以，，
所以，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)，分布在軸的兩側(cè)，所以，所以，
所以，，所以，是定值．
當(dāng)直線無斜率時(shí)，，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，則，代入拋物線方程得，，，
所以，因?yàn)辄c(diǎn)，分布在軸的兩側(cè)，所以，所以，
所以，，所以，是定值．
綜上，，是定值．
2．已知橢圓．
（1）求橢圓的短軸長和離心率；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)，判斷與的大小，并證明你的結(jié)論．
【解析】解：（1）由題，橢圓可變形為，，
故短軸長為，
（2）當(dāng)為時(shí)，代入可得，
此時(shí)，，，，
當(dāng)為斜率存在時(shí)，設(shè)
代入到，得，
，
令，，，
則，，
此時(shí)，，，，
．
，點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)部．
所以，
綜上所述，．
3．如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若直線繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
因?yàn)闉檎切?，所以?br>即，解得．，因此，橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)，，，．
（ⅰ）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，
，，
因此，恒有．
（ⅱ）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，
設(shè)直線的方程為：，代入，
整理得，
所以
因?yàn)楹阌?，所以恒為鈍角．
即恒成立．
．
又，所以對恒成立，
即對恒成立．
當(dāng)時(shí)，最小值為0，所以．
，，
因?yàn)椋?，所以，即?br>解得或（舍去），即，
當(dāng)與軸垂直時(shí)，，，
因此，恒有．
綜合，的取值范圍為，．
4．已知橢圓過點(diǎn)，、為其左、右焦點(diǎn)，且△的面積等于．
（1）求橢圓的方程；
（2）若、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，問以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，請給予證明；若不是，請說明理由．
【解析】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則
△的面積等于，
，、，
橢圓過點(diǎn)，，
橢圓的方程為；
（2）設(shè)，，則，
，
，
以為直徑的圓的圓心為，，半徑為
圓的方程為
即
令，整理得
或
以為直徑的圓必過定點(diǎn)和．
5．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
【解析】解：（1）橢圓過點(diǎn)，且離心率為，則，．則
橢圓的方程；
（2）方法一：當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然，與以線段為直徑的圓的外面，
當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)的方程為：，點(diǎn)，，，，中點(diǎn)為，．
由，得，所以，，從而，
所以，
，
故，
所以，故，在以為直徑的圓外．
解法二：當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然，與以線段為直徑的圓的外面，
當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)的方程為：，設(shè)點(diǎn)，，，，
則，，，，
由，得，
，，
，
，，
又，不共線，所以為銳角，
故點(diǎn)，在以為直徑的圓外．
6．已知拋物線，過點(diǎn)的直線交與、兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓．
（Ⅰ）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；
（Ⅱ）設(shè)圓過點(diǎn)，求直線與圓的方程．
【解析】（1）證明：法一：由題意知直線斜率必存在，設(shè)的方程為，，，，，
聯(lián)立，消去，整理，△，
，，
，，
則以為直徑的圓的方程為，即，
因此滿足此方程，所以坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上．（6分）
法二：，
，
原點(diǎn)在以為直徑的圓上．
綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上．
（2）解：由（1）知以為直徑的圓的方程為：，
由于在此圓上，代入上述方程，可得：，
得或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，圓的方程為：．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，圓的方程為：．
類型二：以共線為背景的向量翻譯
7．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，并且滿足，．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設(shè)、是這個(gè)橢圓上的兩點(diǎn)，并且滿足，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍．
【解析】解：（1）由于，（3分）
解得，從而所求橢圓的方程為．（5分）
（2），，，三點(diǎn)共線，而點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的方程為，
其中為直線的斜率，依條件知．
由消去得，
即．（6分）
根據(jù)條件可知
解得．（7分）
設(shè)，，，，則根據(jù)韋達(dá)定理，得
又由，得，，
從而
消去得．（10分）
令，任取，則．是區(qū)間上的減函數(shù)，（12分）
從而，
即，，
解得或，適合．
因此直線的斜率的取值范圍是．（14分）
8．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，設(shè)，若，，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，則，由中垂線的性質(zhì)知
化簡得的方程為（3分）
（另：由知曲線是以軸為對稱軸，以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線
所以，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為
（Ⅱ）設(shè)，，，，由知①．
又由，，，在曲線上知②，
由①②解得，所以有，．（8分）
（10分）
設(shè)，有在區(qū)間，上是增函數(shù)，
得，進(jìn)而有，
所以，的取值范圍是．（13分）
高考預(yù)測二：以弦長、面積為背景的條件翻譯
9．已知點(diǎn)，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．
【解析】解：（1）設(shè)，由條件知．
又，可得，，
橢圓的方程：．
（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，，，
將代入橢圓的方程：．得，
當(dāng)△，即．
，
從而．
又點(diǎn)到直線的距離．
所以的面積
設(shè)，則，．
當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足△，
所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為：或．
10．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，橢圓的左頂點(diǎn)為，斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，直線交軸于點(diǎn)
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為時(shí)，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求的取值范圍．
【解析】（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）直線的方程為
直線的方程為，令，（2分）
（3分）
于是，（5分）
（Ⅱ）直線的方程為，
聯(lián)立并整理得，
解得或，（7分）
（8分）
（9分）
因?yàn)椋?br>整理得，．（11分）
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸，所以，即，（13分）
整理得，解得．（14分）
11．如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，，滿足，的中點(diǎn)均在拋物線上
（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；
（2）設(shè)中點(diǎn)為，且，，，，證明：；
（3）若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值．
【解析】（1）解：由拋物線，得，則，
拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2；
（2）證明：，，設(shè)，，，，
中點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，則，，
拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上，
可得，，
化簡可得，為關(guān)于的方程的兩根，
可得，，
可得；
（3）解：若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，
可得，，，
由（2）可得，，
由垂直于軸，可得面積為
，
令，
得時(shí)，取得最大值．
時(shí)，取得最小值2，
即，
則在遞增，可得，，
面積的最小值為．
高考預(yù)測三：斜率為背景的條件翻譯
12．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線不與軸重合，求的值．
【解析】解：（1）由已知得，的方程為，
由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
所以的方程為或；
（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，，
當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，，，，
當(dāng)，直線，的斜率之和為，
由，得，
將代入，得，
所以．
則，
從而，故，的傾斜角互補(bǔ)，所以，
所以．
13．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（Ⅰ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo)及的值；
（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．
【解析】（Ⅰ）解：由已知得，的方程為．
由已知可得，點(diǎn)或．
（Ⅱ）證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，．
當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．
當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，，，，
則，直線，的斜率之和為．
由，得．
將代入得．
所以，．
則．
從而，故，的傾斜角互補(bǔ)，所以．
綜上，．
14．在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于、兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，分別求拋物線在點(diǎn)和處的切線方程；
（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．
【解析】解：（1）由題意知時(shí)，聯(lián)立，解得，．
設(shè)在點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立得：
由題意：△，
即，解得．切線方程：，即．
根據(jù)對稱性，在點(diǎn)的切線斜率為．切線方程：，即．
（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：
設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，，，，
直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方程，
得，故，，
從而
當(dāng)時(shí)，有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，
故，所以點(diǎn)符合題意．
15．已知曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，若過的動(dòng)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)
（1）說明曲線的形狀，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由
【解析】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為
點(diǎn)到直線的距離為．依題意可知，
則，
化簡得，
所以曲線是橢圓，它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由橢圓的對稱性可知，
又因?yàn)榈茫瑒t，
從而點(diǎn)必在軸上．
②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，則，，由①可設(shè)，，
由得，解得（舍去），或．
則點(diǎn)的坐標(biāo)只可能是．
下面只需證明直線斜率存在且時(shí)均有由即可．
設(shè)直線的方程為，代入得．
設(shè)，，，，
，，
，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，，
因?yàn)橹本€的斜率，
同理得直線的斜率，
，
，三點(diǎn)，，共線．
故由．
所以存在點(diǎn)滿足題意．
高考預(yù)測四：選用合適的方程形式或面積公式實(shí)現(xiàn)簡化計(jì)算
16．（1）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，，，兩點(diǎn)，證明：；
（2）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，，，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，證明：直線經(jīng)過原點(diǎn)．
【解析】解（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線．此時(shí)，
當(dāng)斜率存在，設(shè)直線方程為：
消元得：所以
綜上所述
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)，
所以直線的斜率為
所以直線的方程為直線經(jīng)過原點(diǎn)
當(dāng)斜率存在，設(shè)直線方程為：
設(shè)，
由
消元得：；所以直線的斜率為
所以直線的方程：
所以直線經(jīng)過原點(diǎn)．
綜上所述，直線經(jīng)過原點(diǎn)
17．設(shè)橢圓，直線過橢圓左焦點(diǎn)且不與軸重合，橢圓交于、，左準(zhǔn)線與軸交于，．當(dāng)與軸垂直時(shí)，．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線繞著旋轉(zhuǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，若，求△的面積的取值范圍為橢圓的右焦點(diǎn)）．
【解析】解（1）設(shè)橢圓半焦距為，
，將代入橢圓方程得，
所以，
，所求橢圓方程為：
（3）設(shè)直線即，圓心到的距離
由圓性質(zhì)：，
又，得，
聯(lián)立方程組，消去得
設(shè)，，，
則
（令，，
設(shè)，
，對，恒成立，
在，上為增函數(shù)，，
所以，
高考預(yù)測五：利用計(jì)算的對稱性避免重復(fù)計(jì)算
18．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小1．
（1）求證：點(diǎn)軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；
（2）大家知道，過圓上任意一點(diǎn)，任意作互相垂直的弦、，則弦必過圓心（定點(diǎn)）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
①過（1）中的拋物線的頂點(diǎn)任意作互相垂直的弦、，問：弦是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說明理由；
②研究：對于拋物線上頂點(diǎn)以外的定點(diǎn)是否也有這樣的性質(zhì)？請?zhí)岢鲆粋€(gè)一般的結(jié)論，并證明．
【解析】（1）證明：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小1．
動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等．
根據(jù)拋物線的定義可知：點(diǎn)軌跡為拋物線，其軌跡方程為．
（2）①過（1）中的拋物線的頂點(diǎn)任意作互相垂直的弦、，弦是經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．下面給出證明：
證明：當(dāng)軸時(shí)，直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，，解得．
，同理，此時(shí)直線的方程為：，經(jīng)過定點(diǎn)．
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，的方程分別為：，，，
聯(lián)立，，解得，
同理可得，．
直線的方程為：，
令，解得．
直線經(jīng)過定點(diǎn)．
綜上可得：直線經(jīng)過定點(diǎn)．
②對于拋物線上頂點(diǎn)以外的定點(diǎn)也有這樣的性質(zhì)：設(shè)點(diǎn)，是拋物線上的定點(diǎn)，過點(diǎn)作相互垂直的兩條弦，，則直線過定點(diǎn)．
下面給出證明：設(shè)，，．
則，．
，
，
，
，
化為．．
直線的方程為：，
化為，
把代入可得，
令，可得．
直線過定點(diǎn)．
19．設(shè)橢圓，其離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線的上、下頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在曲線上，且異于點(diǎn)、，直線，與直線分別交于點(diǎn)，．
（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；
（2）求線段長的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）橢圓，其離心率為，
且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為．
，解得，，，
橢圓的方程為：（4分）
證明：（Ⅱ）（1）橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、，
由題意，，，令，，則，
直線的斜率，的斜率．
又點(diǎn)在橢圓上，，
從而有．
即為定值．（7分）
解：（2）由題設(shè)可以得到直線的方程為，
直線的方程為，
由，得，
由，得，
直線與直線的交點(diǎn)，，
直線與直線的交點(diǎn)，．
又，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
故線段長的最小值是．（13分）
高考預(yù)測六：設(shè)而不求，整體代換
20．已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)在軸的上方，點(diǎn)到的距離與它到軸的距離的差等于1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程；
（2）設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4．
①求直線的斜率；②設(shè)為曲線上一點(diǎn)，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．
【解析】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意為
因?yàn)?，化簡得：?br>所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為，，
（2）①設(shè)，，，，則，，，又，
直線的斜率，
②依題意設(shè)在處的切線方程可設(shè)為，聯(lián)立，
可得，
△ 得，
此時(shí)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)的方程為，
故線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
，聯(lián)立消去整理得：，
△，，，，
，
由題設(shè)知：，即，解得：
直線的方程為：
21．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，到直線的距離為，設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)，為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．
【解析】解：（1）焦點(diǎn)，到直線的距離，解得，
所以拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，
由（1）得拋物線的方程為，，
所以切線，的斜率分別為，，
所以①②
聯(lián)立①②可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，，
又因?yàn)榍芯€的斜率為，整理得，
直線的斜率，
所以直線的方程為，
整理得，即，
因?yàn)辄c(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，
所以，即，
所以直線的方程為．
（3）根據(jù)拋物線的定義，有，，
所以
，
由（2）得，，，
所以．
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．