一、直線與平面平行的性質(zhì)定理【問題思考】1.如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與這個平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是怎樣的?提示:平行或者異面.2.若直線a與平面α平行,則在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關(guān)系如何?提示:在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條,這些直線互相平行.
3.如果直線a與平面α平行,那么經(jīng)過直線a的平面與平面α有哪幾種位置關(guān)系?提示:經(jīng)過直線a的平面與平面α平行或相交.4.如果直線a∥平面α,經(jīng)過直線a的平面β與平面α相交于直線b,那么直線a,b的位置關(guān)系如何?為什么?提示:如答圖6-4-1,直線a,b的位置關(guān)系為平行.因為直線a∥平面α,所以直線a與平面α內(nèi)的任何直線無公共點.所以直線a與直線b無公共點.又a,b?β,所以a∥b.
5.直線與平面平行的性質(zhì)定理表6-4-1
6.已知直線l∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于l的直線(　　).A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.只有一條,在平面α內(nèi)C.有兩條,不一定都在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,不一定都在平面α內(nèi)
解析:如答圖6-4-2, 因為l∥平面α,P∈α,所以P為直線l外一點.所以直線l與點P確定一個平面β.設(shè)α∩β=m,則P∈m,所以l∥m,且m是唯一的.答案:B
二、直線與平面平行的判定定理【問題思考】1.如圖6-4-1,將課本ABCD的一邊AB緊貼桌面α,把課本繞AB轉(zhuǎn)動,在轉(zhuǎn)動過程中,AB的對邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系?為什么?提示:平行;因為沒有公共點,所以CD∥α.
2.直線與平面平行的判定定理表6-4-2
3.能保證直線a與平面α平行的條件是　　　　　.(填序號)?①b?α,a∥b;②b?α,c∥α,a∥b,a∥c;③b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD;④a?α,b?α,a∥b.解析:由線面平行的判定定理,可知④正確.答案:④
【例1】 如圖6-4-2,P是?ABCD所在平面外一點,E,F分別為AB,PD的中點,求證:AF∥平面PEC.
反思感悟 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.首先要看是否有直接可用的平行線,若無,則考慮根據(jù)已知條件作出所需要的平行線,其口訣是“見分點連分點,找出平行線”,有時的分點是中點,通?？紤]三角形中位線.
【例2】 如圖6-4-3,四邊形ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過點G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:PA∥GH.分析:要證線線平行,先證線面平行,再證另一線為過已知直線的平面與已知平面的交線.
證明:如答圖6-4-4,連接AC交BD于點O,連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是AC的中點.又M是PC的中點,∴AP∥OM.又OM?平面BMD,PA?平面BMD,∴由直線與平面平行的判定定理,得PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,∴由直線與平面平行的性質(zhì)定理,得PA∥GH.
反思感悟 線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用,也就是通過線線平行得到線面平行,再通過線面平行得線線平行.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的具體步驟:(1)確定(或?qū)ふ?一條直線平行于一個平面;(2)確定(或?qū)ふ?過這條直線且與這個平行平面相交的平面;(3)確定交線;(4)由性質(zhì)定理得出線線平行的結(jié)論.
【例3】 如圖6-4-4,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.分析:根據(jù)已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,由線面平行的性質(zhì)定理,找出經(jīng)過直線的平面與平面MNPQ的交線,轉(zhuǎn)化為線線平行即可得證.
證明:因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由直線與平面平行的性質(zhì)定理,得AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.
2.若本例中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.解:由上例知,四邊形MNPQ是平行四邊形,AB∥PQ,DC∥QM.∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四邊形MNPQ是矩形.∵BP∶PD=1∶1,且AB∥PQ,AB=10,∴PQ=5.又CD∥PN,且CD=8,∴PN=4.∴四邊形MNPQ的面積為5×4=20.

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.1 直線與平面平行

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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