5.3.2　刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理(基本事實4、定理)新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助日常生活中的實物，認(rèn)識空間圖形的基本位置關(guān)系．2．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實、三個推論，理解三個基本事實和三個推論的地位與作用.1.能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關(guān)系．(直觀想象)2．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實，理解三個基本事實的地位與作用．(直觀想象、邏輯推理) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.基本事實4________同一條直線的兩條直線互相平行．用符號表示為?a∥c.2.異面直線(1)異面直線的定義和理解①定義：不同在任何一個平面內(nèi)(不共面)的兩條直線稱為異面直線．②特點：異面直線既不相交又不平行，即不同在任何一個平面內(nèi)．(2)異面直線的表示為了表示異面直線a，b不共面的特點，畫圖時，通常用一個或兩個平面襯托．如圖：(3)空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：3.等角定理定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別________，那么這兩個角相等或互補．4.異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a，b，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，這時a′，b′共面，我們把a′與b′所成的________________的角稱為異面直線a，b所成的角(或夾角)．若兩條異面直線a，b所成的角是直角，則稱這兩條直線________________，記作a⊥b.答案：1.平行于3.對應(yīng)平行4.不大于90°　互相垂直課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1　兩直線位置關(guān)系的判定[典例1]　(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)A．l至少與l1，l2中的一條相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D.l與l1，l2都不相交(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．[自主記](1)[答案]　A[解析]　l與l1，l2不一定都相交，也一定不能都平行．(2)[答案]　①平行　②異面　③相交　④異面[解析]　①在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C；②直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)；③直線D1D與直線D1C相交于點D1；④直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).[巧歸納]　1.判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷．2.判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．研習(xí)2　平行公理與等角定理的應(yīng)用[典例2]　在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點，求證：EE′∥FF′.[自主記][證明]　因為E，E′分別是AB，A′B′的中點，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四邊形EBB′E′是平行四邊形，所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.[巧歸納]　1.空間兩條直線平行的證明一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線、梯形、平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2.求證角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．研習(xí)3   異面直線所成的角[典例3]　如圖所示，正方體AC1中，E，F分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大?。?/span>[解]　如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1.所以∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．因為GA1＝GC1，O為A1C1的中點，所以GO⊥A1C1，所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.[延伸探究]本題條件不變，求異面直線EF與B1C所成的角．[自主記]解：異面直線EF與B1C所成的角為60°.[巧歸納]　求異面直線所成角的技巧兩直線必須平移相交，平移直線必須在一個平面內(nèi)實現(xiàn)平移．一種方法是在幾何體的表面上，借助面面平行，可以實現(xiàn)把一條直線平移到另一個平面內(nèi)．另一種方法是：經(jīng)過一條直線作一個輔助平面，并且此輔助平面必與另一條直線相交，過交點，在輔助面內(nèi)實現(xiàn)直線的平移．達標(biāo)篇·課堂速測演習(xí)1.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是(　　)A．一定平行      B．一定相交C．一定異面      D．相交或異面答案：D　解析：不可能平行，不然的話兩直線將會在同一平面內(nèi).2.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR＝(　　)A．30°      B．30°或150°C．150°      D．以上結(jié)論都不對答案：B　解析：∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別對應(yīng)平行，但方向不能確定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線BA1與CC1所成的角為(　　)A．30°    B．45°C．60°    D．90°答案：B　解析：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是異面直線BA1與CC1所成的角，故為45°.4.空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形的各邊中點，所組成的四邊形是(　　)A．梯形      B．矩形C．平行四邊形      D．正方形答案：D　解析：如圖，因為BD⊥AC，且BD＝AC．又因為E，F，G，H分別為對應(yīng)邊的中點，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四邊形EFGH為正方形．5.如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是________．(填序號)答案：③　解析：①中PQ∥RS，②中PQ∥RS，④中PQ和RS相交.6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角為________．答案：90°　解析：如圖，過點M作ME∥DN交CC1于點E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補角)．設(shè)正方體的棱長為a，則A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線A1M與DN所成的角為90°.7.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，試求AA1.解：連接CD1，AC，由題意，得在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角，因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°，所以∠AD1C＝90°，因為在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC．因為底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2×sin 60°×2＝6，所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝＝＝.[誤區(qū)警示]　應(yīng)用異面直線所成的角時因考慮不全致誤[示例]　若線段AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，且AB＝BC＝CD，異面直線AB與CD成60°角，求異面直線AD與BC所成的角．①[錯解]　作DE綊CB，連接AE，BE(如圖①)．∵ BC＝CD，BC⊥CD，∴ 四邊形BCDE為正方形．∴ BE＝BC＝AB．∵ AB⊥BC，AB＝BC，AB與CD成60°的角，∴ ∠ABE＝60°，∴ △ABE是正三角形，∴ AE＝BE＝DE.又∵ DE⊥AE，∴ △ADE是等腰直角三角形，即∠ADE＝45°，異面直線AD與BC所成的角是45°.[錯因分析]　對與BC都垂直的線段AB，CD夾角為60°，畫圖應(yīng)有兩種情況，錯解只考慮到一種情況，因空間想象能力不強，考慮不周全所致．②[正解]　(1)同錯解．(2)對于圖②的情形可作DE綊CB，連接AE，BE.∵ BC＝CD，BC⊥CD，∴ 四邊形BCDE是正方形，又∵ AB⊥BC，AB＝BC，AB與CD成60°的角，∴ AB＝BE，∠ABE＝120°，又∵ DE⊥AE，設(shè)AB＝1，則AE＝，則在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，即AD與BC成60°的角．綜合上面兩種情況可知，異面直線AD與BC所成的角是60°或45°.[防范措施]　當(dāng)我們已知兩條直線所成的角而去推斷兩條相交直線所成的角時，依據(jù)等角定理兩者可能相等或者互補，所以我們應(yīng)當(dāng)考慮兩種情況． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

3.2 刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理

版本： 北師大版 (2019)

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