1.3　簡單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))2．能運(yùn)用球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來判斷、描述現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物模型．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對(duì)旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)．2．借助于與旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開圖相關(guān)的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1. 球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)   球 圓柱、圓錐和圓臺(tái)定義以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面．球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球 分別以矩形的一邊OO1、直角三角形的一條直角邊SO、直角梯形垂直于底邊的腰OO1所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體分別稱為圓柱、圓錐、圓臺(tái)相關(guān)概念(1)半圓的圓心稱為球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱為球的半徑；(2)連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段稱為球的直徑(1)在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為它們的高；(2)垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為它們的底面；(3)不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為它們的側(cè)面；無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都稱為側(cè)面的母線圖形及表示球用表示它球心的字母來表示，如球O圓柱、圓錐、圓臺(tái)用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示，如圓柱O1O、圓錐SO、圓臺(tái)O1O性質(zhì)(1)球面上所有的點(diǎn)到球心的距離都等于球的半徑；(2)用任何一個(gè)平面去截球面，得到的截面都是圓，其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大，等于球的半徑(1)平行于圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面的截面都是圓；(2)過圓柱、圓錐、圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形2. 旋轉(zhuǎn)體(1)旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面．(2)旋轉(zhuǎn)體：封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體．思考：1.連接圓錐底面上任意一點(diǎn)和頂點(diǎn)的連線都是圓錐的母線．圓柱上底面圓周上任一點(diǎn)與下底面圓周上任一點(diǎn)的連線是圓柱的母線嗎？提示：不一定．圓柱的母線與軸是平行的．2．用一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓嗎？提示：不是，得到的是一個(gè)圓面，球是一個(gè)幾何體，包括表面及其內(nèi)部．1．如圖所示的圖形中有(　　)A．圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球B．圓柱、球和圓錐C．球、圓柱和圓臺(tái)D．棱柱、棱錐、圓錐和球B　[根據(jù)題中圖形可知，(1)是球，(2)是圓柱，(3)是圓錐，(4)不是圓臺(tái)，故應(yīng)選B．]2．圓錐的母線有(　　)A．1條　　　　　　 B．2條C．3條 D．無數(shù)條D　[圓錐底面上任意一點(diǎn)和圓錐頂點(diǎn)的連線都是圓錐的母線，所以圓錐的母線有無數(shù)條．]3．下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(　　)A　[圖中幾何體由圓錐、圓臺(tái)組合而成，可由A中圖形繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)360°得到．]旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】　下列命題正確的是________(只填序號(hào))．①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)180°形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段．④⑥　[①以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓臺(tái)；③它們的底面為圓面；④正確；作球的一個(gè)截面，在截面的圓周上任意取四個(gè)不同的點(diǎn)，則這四點(diǎn)就在球面上，故⑤錯(cuò)誤；根據(jù)球的半徑定義，知⑥正確．]簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略?1?準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵.?2?解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.1．下列結(jié)論正確的是(　　)A．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B．經(jīng)過球面上不同的兩點(diǎn)只能作一個(gè)最大的圓C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線D　[須用平行于圓錐底面的平面截才能得到圓錐和圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤；若球面上不同的兩點(diǎn)恰為最大的圓的直徑的端點(diǎn)，則過此兩點(diǎn)的大圓有無數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)誤；正六棱錐的側(cè)棱長必然要大于底面邊長，故C錯(cuò)誤．故選D．]旋轉(zhuǎn)體中的截面問題有關(guān)計(jì)算【例2】　一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長．[解]　(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由題意知腰長為12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．(2)如圖所示，延長BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20(cm). 即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20 cm.用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)?與底面全等或相似?，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面?軸截面?的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解.2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12π cm，如圖所示，則該地球儀的半徑是________cm.4　[如圖所示，由題意知，北緯30°所在小圓的周長為12π，則該小圓的半徑r＝6，其中∠ABO＝30°，所以該地球儀的半徑R＝＝4 cm.]旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算[探究問題]1. 圓柱的底面半徑和高分別是r，h，其側(cè)面展開圖是什么(指出其尺寸)?提示：圓柱的側(cè)面是矩形，兩邊長分別為h和2πr.2. 圓錐的底面半徑和高分別是r，h，其側(cè)面展開圖是什么(指出其尺寸)?提示：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是，弧長是2πr.【例3】　如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A．求：(1)繩子的最短長度的平方f(x)；(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；(3)f(x)的最大值．[思路點(diǎn)撥]　→→→[解]　將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長，∴L＝2πr＝2π.∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.(1)由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．(2)繩子最短時(shí)，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長度為頂點(diǎn)S到繩子的最短距離，在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，∴SR＝＝(0≤x≤4)，即繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離為(0≤x≤4)．(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函數(shù)，∴f(x)的最大值為f(4)＝32.求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離的步驟?1?將幾何體沿著某棱?母線?剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖；?2?將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；?3?結(jié)合已知條件求得結(jié)果.3．如圖所示，已知圓柱的高為80 cm，底面半徑為10 cm，軸截面上有P，Q兩點(diǎn)，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點(diǎn)爬到Q點(diǎn)，問：螞蟻爬過的最短路徑長是多少？[解]　將圓柱側(cè)面沿母線AA1展開，得如圖所示矩形．∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．過點(diǎn)Q作QS⊥AA1于點(diǎn)S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)．∴PQ＝＝10(cm)．即螞蟻爬過的最短路徑長是10 cm.1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)是分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體．球是以半圓面的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)過圓錐軸的截面是全等的等邊三角形． (　　)(2)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐． (　　)(3)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球． (　　)[提示]　(1)錯(cuò)誤．不一定是等邊三角形，但一定是等腰三角形．(2)錯(cuò)誤．直角三角形只有繞一直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．(3)錯(cuò)誤．半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成是球面，而不是球．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為(　　)A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體B　[圓面繞著直徑所在的軸旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱. 故選B．]3．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是三角形，這個(gè)幾何體可能是(　　)A．圓柱　　　　　　　 B．圓臺(tái)C．球體 D．棱臺(tái)D　[圓柱、圓臺(tái)和球體無論怎樣截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圓柱)，不可能截出三角形．只有棱臺(tái)可以截出三角形，故選D．]4．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，求這個(gè)圓錐的母線長．[解]　如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.故圓錐的母線長為2.  

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

1.3 簡單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊

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