2.5　從力的做功到向量的數量積2.5.1　向量的數量積新課程標準學業(yè)水平要求通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，會計算進行平面向量數量積；通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義；會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.1.通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義．(數學抽象)2．體會平面向量數量積與向量射影的關系．(直觀想象)3．會進行平面向量數量積的運算．(數學運算)4．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．(數學運算)5．能運用數量積的運算性質和運算律解決涉及長度、夾角、平行、垂直的幾何問題．(數學運算，邏輯推理) 課前篇·自主學習預案1.向量的投影如圖所示：＝a，＝b，∠AOB＝θ叫作向量a與b的夾角，記為〈a，b〉與θ(0°≤θ≤180°)．過點B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則向量稱為向量b在a方向上的投影向量，OB1＝|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影數量．2.向量的數量積及運算性質定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角〈a，b〉＝θ，把|a||b|cos θ叫作a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝________.幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影數量|b|cos θ的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上的投影數量|a|·cos θ的乘積．  續(xù)表物理意義力對物體做功，就是力F與其作用下物體的位移s的數量積F·s.運算律交換律：a·b＝b·a.與數乘的結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．關于加法的分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.性質①若e是單位向量，則e·a＝a·e＝|a|·cos θ；②a⊥b?a·b＝0(其中a，b為非零向量)；③|a|＝，即a·a＝|a|2；④cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；⑤對任意兩個向量a，b，有|a·b|________|a|·|b|，當且僅當a∥b時等號成立． 答案：2.|a||b|cos θ　⑤≤課堂篇·研習討論導案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研習1  向量數量積的運算[典例1]　已知|a|＝3，|b|＝4，分別計算：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b夾角為120°時，a·b的值．[自主記][分析]　已知|a|與|b|，利用數量積的運算公式，只需再有向量a與b的夾角即可求值．[解]　(1)當a與b夾角為0°時，a·b＝|a||b|cos 0°＝12；當a與b夾角為180°時，a·b＝|a||b|cos 180°＝－12.(2)a⊥b，夾角為90°，此時a·b＝|a||b|·cos 90°＝0.(3)當a與b夾角為120°時，a·b＝|a|·|b|cos 120°＝3×4×＝－6.[巧歸納]　1.求兩向量數量積的步驟(1)確定向量a與b的夾角及模長；(2)套用公式a·b＝|a||b|cos θ進行計算．2.常見模型為：(1)非零向量共線的充要條件是a·b＝±|a||b|，因此，當a∥b時，有0°或180°兩種可能；(2)非零向量a⊥b?a·b＝0；(3)兩個向量的數量積a·b＝|a||b|cos θ，與它們的夾角有關，夾角范圍是[0°，180°]．[練習1]　已知|a|＝10，|b|＝12，a與b的夾角為120°，求：(1)a·b；(2)(3a)·；(3)(3b－2a)·(4a＋b)．解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.研習2  向量夾角及垂直問題[典例2]　已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．[自主記][分析]　利用已知條件中的兩組垂直關系可建立出關于a·b及|a|與|b|的關系式，再利用cos θ＝求解．[解]　由已知條件，得即②－①，得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.[巧歸納]　1.求向量夾角需應用向量數量積的變形公式cos θ＝，故應求兩個整體a·b與|a||b|.本題為求兩者的關系，轉化條件解方程組，特別要注意向量夾角的范圍．2.解決兩向量垂直問題常用的向量數量積的性質a⊥b?a·b＝0來解決，但應注意a≠0，b≠0.[練習2]　1.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a與b的夾角是(　　)A.  B.  C.  D.答案：B　解析：由題意，知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，所以a·b＝2.設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝，因為θ∈[0，π]，所以θ＝.故選B.2.已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，則a與b的夾角θ＝________.答案：　解析：∵(a－b)·(a＋2b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝1＋a·b－32＝－31＋a·b，∴－31＋a·b＝－29，∴a·b＝2，∴cos θ＝＝＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.研習3  與向量模有關的問題[典例3]　已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求|3a－4b|.[自主記][分析]　利用向量數量積的運算公式先求出a·b的值，再結合a2＝|a|2求值．[解]　由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，∴|3a－4b|＝4.[巧歸納]　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性質常用來解決與向量模有關的題型，在求模問題中，一般轉化為求模的平方，常與向量的數量積聯系在一起，但在求出結論后不要忽略開方．[練習3]　1.已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝|b|＝1，c與a＋b共線，則|a＋c|的最小值為(　　)A.1  B.  C.  D.答案：D　解析：∵|a|＝|b|＝1，c與a＋b共線，∴a與c的夾角為60°或120°.當θ＝60° 時，|a＋c|＝＝＝，∴|a＋c|min＝1，當θ＝120°時，|a＋c|＝＝∴|a＋c|min＝.2.已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題：p1：|a＋b|>1?θ∈；p2：|a＋b|>1?θ∈；p3：|a－b|>1?θ∈；p4：|a－b|>1?θ∈.其中的真命題是(　　)A.p1，p4 B．p1，p3  C．p2，p3 D．p2，p4答案：A　解析：∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|>1，則a2＋2a·b＋b2>1，即a·b>－，∴cos θ＝＝a·b>－，∴θ∈；若|a－b|>1，同理求得a·b<，∴cos θ＝a·b<，∴θ∈，故p1，p4正確，應選A.達標篇·課堂速測演習　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為(　　)A.30° B．60°  C．120° D．150°答案：C　解析：設a與b的夾角為θ，則0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos θ＋|b|2，∵|a|＝|b|≠0，∴2cos θ＋1＝0，cos θ＝－，∴θ＝120°.2.設a，b，c是三個向量，有下列命題：①若a·b＝a·c，且a≠0，則b＝c；②若a·b＝0，則a＝0或b＝0；③設a，b都是非零向量，a，b反向?a·b＝－|a||b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的有(　　)A.1個 B．2個  C．3個 D．4個答案：B　解析：①中，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，又a≠0，則b＝c或a⊥(b－c)，即①不正確；②中，a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正確；③中，a，b是非零向量，a，b反向，即a，b夾角為180°，則a·b＝－|a||b|，若a·b＝－|a||b|，則a，b夾角為180°，a，b反向，故命題③是真命題；④中，左邊＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右邊，即④正確.3.已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________.答案：3　解析：|2a－b|＝?(2a－b)2＝10?4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10，解得|b|＝3.4.已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為60°，試問：當k為何值時，向量ka－b與a＋2b垂直？解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，∴k＝，∴當k＝時，向量ka－b與a＋2b垂直．[誤區(qū)警示一]　混淆向量數量積與實數的運算致誤　　[示例1]　已知|a|＝2，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求|a＋b|及|a－b|的值．[錯解]　由已知|a|2＝a2＝4，|b|2＝b2＝16，a·b＝|a||b|cos 120°＝－4，∴|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝12，∴|a＋b|＝±2.∵|a－b|2＝a2－2ab＋b2＝28，∴|a－b|＝±2.[錯因分析]　本例中的錯解為許多同學在初學模的計算中常出現的一種錯解，錯誤的類比應用了實數中的運算法則，而忽略了向量的運算性質．[正解]　由錯解知|a＋b|2＝12，∴|a＋b|＝2.|a－b|2＝28，∴|a－b|＝2.[方法總結]　如果求模的向量是用幾個向量的和或差來表示的，而這些問題的模及夾角均已知，則用向量數量積的性質，將求模問題轉化為求模的平方，即求向量自身的數量積．但在開方時不要忽略模的限制范圍，此時與實數的開方要注意區(qū)別開，如本例錯解中的±2.[誤區(qū)警示二]　對向量夾角判斷不當致誤[示例2]　在△ABC中，若·＝2，則△ABC是(　　)A.銳角三角形 B．直角三角形C.鈍角三角形 D．不確定[錯解]　因為 ·＝2，所以|A| ||cos B＝2，所以cos B>0，因此角B為銳角，故選A.[錯因分析]　本題錯解的原因在于沒有能夠正確理解向量夾角的定義．題目中與的夾角并不是角B，而是角B的補角．[答案]　C[正解]　∵·＝||||cos(π－B)＝2，∴cos(π－B)>0，即cos B<0.又∵0<B<π.∴∠B為鈍角，故選C.[方法總結]　在幾何圖形中求兩個向量數量積時，注意根據圖形特點，分析向量的夾角，一定要依據夾角的概念，以向量共起點為切入點．如本題中與的夾角為角B的補角. 

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