2.4.2　平面向量及運算的坐標表示新課程標準學業(yè)水平要求借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示，會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.1.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算．(數(shù)學運算)2．能將向量的幾何運算和代數(shù)運算靈活地結(jié)合起來，解決一些平面向量的計算．(直觀想象)3．理解用坐標表示的平面向量共線的條件，并能正確地進行有關(guān)應(yīng)用．(邏輯推理) 課前篇·自主學習預(yù)案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.平面向量的坐標在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于平面內(nèi)的任意向量a，以坐標原點O為起點作＝a，有且只有一對實數(shù)x，y使得a＝xi＋yj，我們把實數(shù)對(x，y)叫作向量a的坐標，記作a＝________________.2.平面向量的坐標運算 文字符號加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________數(shù)乘向量實數(shù)與向量積的坐標分別等于實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標的乘積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝________重要結(jié)論一個向量的坐標等于其終點的相應(yīng)坐標減去始點的相應(yīng)坐標已知向量的起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則＝________ 3.向量平行的坐標表示設(shè)a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)當a∥b時，有________．(2)當a∥b且b不平行于坐標軸，即x2≠0，y2≠0時，有________．即若兩個向量(與坐標軸不平行)平行，則它們相應(yīng)的坐標成比例；若兩個向量相對應(yīng)的坐標成比例，則它們平行．答案：1.(x，y)2.(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx，λy)　(x2－x1，y2－y1)3.(1)x1y2－x2y1＝0　＝課堂篇·研習討論導(dǎo)案研習1  平面向量的坐標表示[典例1]　在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分別計算出它們的坐標．[自主記][分析]　題目的圖示中給出了向量a，b，c的方向及與坐標軸的夾角，要想求出向量的坐標，則需先將向量a，b，c正交分解成橫、縱坐標的形式，進而再寫出它們的坐標表示．[解]　設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)．則x1＝|a|·cos 45°＝，y1＝|a|·sin 45°＝.同理x2＝－，y2＝；x3＝2，y3＝－2.所以a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．[巧歸納]　1.向量的坐標表示實質(zhì)上是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標表示后，可使向量運算代數(shù)化，將數(shù)和形緊密結(jié)合起來，從而使許多幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算．2.求點和向量坐標的常用方法(1)求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．(1)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．[練習1]　如圖，已知在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標．解：由題意知，B，D分別是30°，120°角的終邊與以點O為圓心的單位圓的交點．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，所以B；x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，所以D.所以＝，＝.研習2  平面向量的坐標運算[典例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值；(3)求M，N的坐標及向量的坐標．[自主記][分析]　先根據(jù)已知條件中點的坐標求出向量a，b，c的坐標，再利用向量坐標的運算法則進行計算求解．[解]　由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴解得(3)設(shè)O為坐標原點，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．[巧歸納]　向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．其主要運算法則為：(1)若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及數(shù)乘的運算法則進行．(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，用終點坐標對應(yīng)減去起點坐標，然后再進行向量的坐標運算．(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行．[練習2]　1.已知平面向量a＝(0,1)，b＝(－1,2)，則向量2a－b等于(　　)A.   B.C.   D.答案：D　解析：2a－b＝2(0,1)－(－1,2)＝(0,2)－＝.2.平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三點，點C在直線AB上，且＝，連接DC延長至E，使||＝||，則點E的坐標為________．答案：　解析：∵＝，∴A為BC中點，∴點C坐標為(3，－6)，又||＝||，且E在DC的延長線上，∴＝－，設(shè)E(x，y)，則(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)．∴解得∴點E的坐標為.研習3  向量共線的坐標表示及運算[典例3]　(1)若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，則與a＋2b共線的向量可以是(　　)A.(，－1) B．(－1，－)C.(－，－1) D．(－1，)(2)已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，當λ為何值時，λa－b與a＋2b平行？平行時，它們是同向還是反向？[自主記](1)[分析]　利用向量a，b的坐標計算出a＋2b的坐標，再結(jié)合選項給出正確結(jié)論．[答案]　D[解析]　因為a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，所以×－(－1)×(－3)＝0，所以(－1，)與a＋2b是共線的向量．(2)[分析]　先求出λa－b與a＋2b的坐標表示，再根據(jù)向量平行條件構(gòu)造關(guān)于λ的方程，求出λ的值，最后由λ與0的大小關(guān)系判斷方向．[解]　λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)．∵(λa－b)∥(a＋2b)，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.∴－a－b＝＝，即λa－b＝－(a＋2b)．故當λ＝－時，λa－b與a＋2b平行，且兩向量方向相反．[巧歸納]　1.向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)得出a∥b.(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0進行判斷．2.利用向量共線的坐標運算可證明三點共線問題及線線平行問題等．[練習3]　已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝(　　)A.(－2，－4) B．(－3，－6)C.(－4，－8) D．(－5，－10)答案：C　解析：由a∥b?m＝－4，得b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故選C.達標篇·課堂速測演習　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a與b共線，則x等于(　　)A.－3 B．3C.1 D．－1答案：A　解析：因為a與b共線，則－3x－3×3＝0，解得x＝－3.2.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，則k，l的值為(　　)A.－2,3 B．－2，－3C.2，－3 D．2,3答案：D　解析：∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)．即解得k＝2，l＝3.3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub與a＋b共線，則λ與u的關(guān)系為________．答案：λ＝u　解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u.4.平面內(nèi)給定三個向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m和n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴解得∴m＝，n＝.(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．又∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－.[規(guī)范解題]　利用向量共線證明線線平行[示例]　已知A，B，C三點的坐標分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝，求證：EF∥AB.[條件分析]　欲證明結(jié)論中的EF∥AB需從兩點入手：一是證明∥，二是強調(diào)EF∥AB無公共點．利用條件求出點E，F坐標，然后由向量共線的坐標運算x1y2－x2y1＝0，得∥.[規(guī)范解答]　設(shè)E(x1，y1)，F(x2，y2)，由題意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．∵＝，∴＝.∵＝，∴＝.　　∵(x1＋1，y1)＝，∴E.∵(x2－3，y2＋1)＝，∴F.∴＝.又∵4×－×(－1)＝0，∴∥.又∵EF與AB無公共點，∴EF∥AB.[題后總結(jié)]1.注意區(qū)別向量平行與線線平行的聯(lián)系與區(qū)別，兩向量平行時，只有兩向量所在的直線無公共點時，才有兩直線平行，應(yīng)用此知識點時一定要細心．2.有關(guān)向量的坐標運算一定要準確．熟練的掌握和應(yīng)用向量的坐標的線性運算法則是解決好此類問題的基本前提． 

相關(guān)學案

高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊第六章 平面向量及其應(yīng)用6.3 平面向量基本定理及坐標表示優(yōu)秀學案：

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊第六章 平面向量及其應(yīng)用6.3 平面向量基本定理及坐標表示優(yōu)秀學案，共1頁。

高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示學案：

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示學案，共13頁。

人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示導(dǎo)學案：

這是一份人教A版 (2019)必修 第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示導(dǎo)學案，共6頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學案 更多

高中數(shù)學4.2 平面向量及運算的坐標表示導(dǎo)學案及答案

高中數(shù)學4.2 平面向量及運算的坐標表示導(dǎo)學案及答案
高中數(shù)學人教版新課標A必修42.3 平面向量的基本定理及坐標表示優(yōu)秀導(dǎo)學案及答案

高中數(shù)學人教版新課標A必修42.3 平面向量的基本定理及坐標表示優(yōu)秀導(dǎo)學案及答案
數(shù)學第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐標表示優(yōu)質(zhì)學案

數(shù)學第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐標表示優(yōu)質(zhì)學案
高中數(shù)學人教版新課標A必修42.3 平面向量的基本定理及坐標表示優(yōu)秀學案

高中數(shù)學人教版新課標A必修42.3 平面向量的基本定理及坐標表示優(yōu)秀學案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.2 平面向量及運算的坐標表示

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部