數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)5.2 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2.5.2　向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 2.5.3　利用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度與角度新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角，能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題.1.掌握向量數(shù)量積，向量的模與夾角的坐標(biāo)表達(dá)式．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．能用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度與角度．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的夾角，判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理)4．用數(shù)量積解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題．(直觀想象，邏輯推理) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．數(shù)量積a·b＝x1x2＋y1y2模a2＝x＋y，即|a|＝________夾角設(shè)向量a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝(|a|≠0，|b|≠0)垂直a⊥b?________ 答案：2.　x1x2＋y1＝0課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研習(xí)1 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算[典例1]　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(－1,1)，則a·b＋b2＝(　　)A.3 B．5 C．1 D．－1(2)已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)的值．[自主記](1)[答案]　D[解析]　a·b＋b2＝2×(－1)＋(－1)×1＋(－1)2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1.(2)[分析]　先求出a·b，a2，b2，再對(duì)(3a－b)·(a－2b)展開求解．[解]　解法一：因?yàn)?/span>a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.[巧歸納]　數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的常用方法(1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：|a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo)，一般來說應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程組來進(jìn)行求解．[練習(xí)1]　已知向量a∥b，b＝(1,2)，|a·b|＝10.(1)求向量a的坐標(biāo)．(2)若a，b同向，c＝(2，－1)，求(b·c)·a，(a·b)·c.解：(1)設(shè)a＝(x，y)，∴a·b＝x＋2y.∵a∥b，∴y＝2x.由解得或∴a＝(2,4)或a＝(－2，－4)．(2) ∵a，b同向，∴a＝(2,4)．∴(b·c)·a＝[1×2＋2×(－1)]·a＝0·a＝0.(a·b)·c＝(2＋2×4)·c＝10·(2，－1)＝(20，－10).研習(xí)2 向量的模與夾角[典例2]　(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，則|a－b|的最小值為________．(2)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得①a與b的夾角為直角；②a與b的夾角為鈍角．[自主記](1)[答案]　[解析]　∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2,4－3x)，∴|a－b|＝＝＝，∴當(dāng)x＝1時(shí)，|a－b|取最小值為.(2)[分析]　由夾角的坐標(biāo)公式列方程或不等式求解．[解]　設(shè)a與b的夾角為θ，|a|＝＝，|b|＝，a·b＝1＋2λ.①因?yàn)?/span>a與b的夾角為直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.②因?yàn)?/span>a與b的夾角為鈍角，所以cos θ<0，且cos θ≠－1，所以a·b<0，且a與b不反向．由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．所以λ的取值范圍為.[巧歸納]　1.應(yīng)用向量的夾角公式求夾角時(shí)，應(yīng)先分別求出兩個(gè)向量的模，再求出它們的數(shù)量積，最后代入公式求出夾角的余弦值，進(jìn)而求出夾角．其流程圖為：2.借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，這是向量運(yùn)算的重要應(yīng)用之一．具體做法是：借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(這里a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)，然后解之即可.[練習(xí)2]　1.已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，則向量a，b的夾角為(　　)A. B. C. D.答案：B　解析：由于2a＋b＝(4,2)，則b＝(4,2)－2a＝(2,0)，則a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.2.設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝　(　　)A. B. C．2 D．10答案：B研習(xí)3 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用[典例3]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)求使·取到最小值時(shí)的；(2)對(duì)(1)中求出的點(diǎn)C，求cos ∠ACB.[自主記][分析]　(1)由向量共線可設(shè)出的坐標(biāo)表示，然后由坐標(biāo)運(yùn)算建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．(2)由cos θ＝求cos ∠ACB的值．[解]　(1)因?yàn)辄c(diǎn)C是直線OP上一點(diǎn)，所以向量與共線．設(shè)＝t，則＝(2t，t)，＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t，1－t)，·＝(1－2t)(5－2t) ＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，當(dāng)t＝2時(shí)，·取得最小值，此時(shí)＝(4,2)．(2)當(dāng)＝(4,2)時(shí)，＝(－3,5)，＝(1，－1)，所以||＝，||＝，·＝－8，cos∠ACB＝＝－.[巧歸納]　利用向量可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題關(guān)鍵在于把其他語言轉(zhuǎn)化為向量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，進(jìn)而通過向量的運(yùn)算來研究幾何元素間的關(guān)系.[練習(xí)3]　已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求：(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)以及||；(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由．解：(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可知BC⊥AD，又B，C，D三點(diǎn)共線，故∥，因?yàn)?/span>＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，所以解得所以＝，||＝＝.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，||＝.(2)因?yàn)?/span>＝(－5，－2)，＝(1,1)，所以·＝(－5)×1＋(－2)×1＝－7，||＝＝，||＝.所以cos A＝＝<0，所以角A為鈍角．所以△ABC為鈍角三角形．達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，若存在向量c，使a·c＝4，b·c＝9，則向量c＝(　　)A. B.C. D.答案：C　解析：設(shè)c＝(x，y)，則有解得故選C.2.已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb與b垂直，則實(shí)數(shù)x＝(　　)A. B. C．2 D．－答案：D　解析：由于向量a＋xb與b垂直，則(a＋xb)·b＝0，所以a·b＋xb2＝0，則6－4＋5x＝0，解得x＝－.3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)試計(jì)算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a與b夾角的余弦值．解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝＝＝.(2)設(shè)a與b夾角為θ.由a·b＝|a||b|cos θ，得cos θ＝＝＝.[誤區(qū)警示]　向量夾角范圍不清致誤[示例]　已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　)A．(－∞，－2)∪B.C.∪D.[錯(cuò)解]　∵a與b的夾角θ為銳角，∴cos θ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ<，故選D. [錯(cuò)因分析]　以上錯(cuò)解是由于思考欠全面，由不等價(jià)轉(zhuǎn)化而造成的．如當(dāng)a與b同向時(shí)，即a與b的夾角θ＝0°時(shí)cos θ＝1>0，此時(shí)λ＝－2，顯然是不合理的．[答案]　A[正解]　∵a與b的夾角θ為銳角，∴cos θ>0且cos θ≠1，即a·b>0且a與b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪，故選A.[題后總結(jié)]　依據(jù)兩向量夾角θ的情況，求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，需注意：當(dāng)θ＝0°時(shí)，cos θ＝1>0，即a·b>0；當(dāng)θ＝180°時(shí)，cos θ＝－1<0，即a·b<0.這是解題過程中容易忽略的情況．

相關(guān)學(xué)案更多

高中數(shù)學(xué)5.3 利用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度與角度學(xué)案設(shè)計(jì)

人教B版 (2019)必修第三冊(cè)8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量2.4 平面向量的數(shù)量積優(yōu)秀學(xué)案

人教版新課標(biāo)A必修42.4 平面向量的數(shù)量積優(yōu)秀學(xué)案

資料下載及使用幫助

版權(quán)申訴

1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載

版權(quán)申訴

若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。

入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作，工作室入駐。