1．2　任意角新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.了解任意角的概念，理解象限角的概念．2．掌握終邊相同角的含義及表示.1.理解正角、負(fù)角、零角與象限角的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握終邊相同的角的表示方法．(邏輯推理)3．會(huì)用集合表示象限角．(數(shù)學(xué)抽象) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1．任意角(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類：名稱定義圖形正角按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2.象限角(1)象限角的概念在平面直角坐標(biāo)系中研究角時(shí)，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(3)軸線角的集合表示軸線角角的集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上的角{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在x軸上的角{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 續(xù)表軸線角角的集合表示終邊落在y軸的非正半軸上的角{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上的角{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上的角{α|α＝k·90°，k∈Z}(4)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和．　答案：1.(2)逆時(shí)針　順時(shí)針課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1  任意角的概念[典例1]　用集合表示下列各角：(1) 0°到90°的角；(2)第一象限角；(3)銳角；(4)小于90°的角．[自主記][分析]　準(zhǔn)確掌握基本概念是解決問題的關(guān)鍵．[解]　(1)0°到90°的角的集合為{α|0°≤α≤90°}．(2)第一象限角的集合為{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．(3)銳角的集合為{α|0°＜α＜90°}．(4)小于90°的角的集合為{α|α＜90°}．[巧歸納]　象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．因?yàn)?/span>0°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個(gè)角終邊是相同的．[練習(xí)1]　下列命題正確的是(　　)A．始邊和終邊相同的角一定相等B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．小于90°的角一定是銳角D．大于或等于0°而小于90°的角一定是銳角答案：B　解析：始邊相同終邊相同的角可以相差若干圈，旋轉(zhuǎn)方向也可以不同，故A不正確；角的概念推廣之后，角的范圍已是全體實(shí)數(shù)，銳角不能再簡述成“小于90°的角”了，而應(yīng)表述成：大于0°而小于90°的角，故C，D也不正確．故應(yīng)選B.研習(xí)2  終邊相同的角[典例2]　(1)寫出與15°角終邊相同的角的集合；(2)在(1)的集合中，將適合不等式－1 080°＜α＜360°的元素α求出來．[自主記][分析]　由定義直接求出．[解]　(1)與15°角終邊相同的角的集合是M＝{α|α＝k·360°＋15°，k∈Z}．(2)在M中適合－1 080°＜α＜360°的元素是取k＝－3時(shí)，－3×360°＋15°＝－1 065°；取k＝－2時(shí)，－2×360°＋15°＝－705°；取k＝－1時(shí)，－1×360°＋15°＝－345°；取k＝0時(shí)，0×360°＋15°＝15°.即元素－1 065°，－705°，－345°，15°為所求．[巧歸納]　終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍．(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍．(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．[練習(xí)2]　寫出與－75° 終邊相同的角的集合，并將集合中大于－720°而小于720°的角求出來．解：與－75°角終邊相同的角的集合為A＝{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．在集合A中，令－720°＜k·360°－75°＜720°，解得－＜k＜，又因?yàn)?/span>k∈Z，所以k?。?/span>1,0,1,2，對應(yīng)角分別為－435°，－75°，285°，645°.研習(xí)3  區(qū)間角[典例3]　若角α的終邊落在y＝x(x≥0)與y＝－x(x≤0)所夾的小區(qū)域內(nèi)，求角α的集合．解題探究1．終邊落在y＝x與y＝－x的角怎么表示，終邊在第幾象限？2．如何找出它們所夾的小區(qū)域？[自主記][分析]　應(yīng)先寫出終邊落在y＝x(x≥0)與y＝－x(x≤0)上的角的集合，再運(yùn)用不等式寫出所在小區(qū)域內(nèi)的角的集合．[解]　與y＝x(x≥0)終邊相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；與y＝－x(x≤0)終邊相同的角的集合是{α|α＝150°＋k·360°，k∈Z}．所以所夾的小區(qū)域內(nèi)角的集合是{α|30°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}．解題探究1.終邊落在y＝x的角可表示成30°＋k·360°，k∈Z，終邊在第一象限．終邊落在y＝－x的角可表示成150°＋k·360°，k∈Z，終邊在第二象限．2．利用圖象法找到小區(qū)域．[巧歸納]　區(qū)間角的表示區(qū)間角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角．其寫法可分為三步：(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α＜x＜β}；(3)起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．[練習(xí)3]　如圖所示，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合是(　　)A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}答案：C　解析：與120°終邊相同的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；與－45°終邊相同的角的集合是{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z}．所以所夾的小區(qū)域內(nèi)角的集合為{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．故應(yīng)選C.研習(xí)4 已知α所在象限，判斷2α，所在象限[典例4]　已知α是第一象限角，試求所在的象限．解題探究α是第一象限的角，則α的范圍如何表示？[自主記][分析]　應(yīng)先將α的取值范圍表示成不等式的形式，再利用不等式的性質(zhì)表示出的范圍，通過分類討論確定所在的象限．[解]　∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z.∴k·180°＜＜45°＋k·180°，k∈Z.當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，n·360°＜＜45°＋n·360°，n∈Z；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，180°＋n·360°＜＜225°＋n·360°，n∈Z，即當(dāng)α是第一象限角時(shí)，位于第一、三象限．解題探究：第一象限角的范圍為k·360°＜α＜90°＋k·360°(k∈Z)．[巧歸納]　等分象限角的規(guī)律已知α是第m(m為一，二，三，四中一個(gè))象限角，求是第幾象限角，可先將每個(gè)象限分成n等份，然后從x軸正方向上第一個(gè)區(qū)域起，按逆時(shí)針方向順次標(biāo)上一，二，三，四，一，二，三，四……依次循環(huán)，直至填充所有區(qū)域，其中出現(xiàn)數(shù)字m的區(qū)域即為所在象限．如所在象限的判斷：若α為第四象限角，則應(yīng)為第二、四象限角．如圖①所示．再如所在象限的判斷：若α為第三象限角，則應(yīng)在第一、三、四象限．如圖②所示．　 　　　   ①　　　　　　　　　　　　　　②[練習(xí)4]　若α是第三象限角，問是第幾象限角？2α的終邊在哪里？解：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，∴k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)．當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°(n∈Z)，為第二象限的角；當(dāng)k＝2n－1，n∈Z時(shí)，n·360°－90°＜＜n·360°－45°(n∈Z)，是第四象限的角．∴為第二或第四象限角．又∵k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°(k∈Z)，∴2α的終邊在第一、二象限或y軸正半軸上．[易錯(cuò)誤區(qū)]　角的相關(guān)概念理解不正確致誤[典例]　下面說法中正確的序號是________．(1)不相等的角，終邊一定不相同；(2)第一象限角必是銳角；(3)銳角必是第一象限角；(4)三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角．[答案]　(3)[解析]　在(1)中，30°與390°有相同的終邊，故(1)錯(cuò)；對于(2)，390°是第一象限角，但不是銳角，故(2)錯(cuò)；直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(4)錯(cuò)，銳角是大于0°小于90°的角，第一象限角的集合為{α|k·360°＜α＜k· 360°＋90°，k∈Z}①，銳角一定在第一象限，故(3)正確.[誤區(qū)警示][防范措施]1.強(qiáng)化概念學(xué)習(xí)注重相關(guān)知識的辨析，正確理解概念間的區(qū)別和聯(lián)系是處理該類問題的關(guān)鍵，如本例中的(2)(3)的區(qū)別和聯(lián)系.2.特殊類型的處理在處理問題時(shí)，一些特殊類型有時(shí)會(huì)忽略，從而導(dǎo)致判斷出錯(cuò)，如本例(4)中，三角形的內(nèi)角往往只會(huì)想到銳角和鈍角，從而得出角是第一象限角或第二象限角的錯(cuò)誤結(jié)論.[類題試解]　下列說法中正確的是(　　)A.第一象限角一定不是負(fù)角B.小于90°的角一定是銳角C.鈍角一定是第二象限角D.終邊相同的角一定相等答案：C　解析：第一象限的角也可以是負(fù)角，A錯(cuò)誤；小于90°的角不一定是銳角，還可以是負(fù)角、零角，B錯(cuò)誤；終邊相同的角不一定相等，D錯(cuò)誤.[規(guī)律指津]1.將角的概念推廣后，要注意區(qū)分銳角與第一象限角，銳角的集合為{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合為{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，顯然，銳角的集合僅是第一象限角集合的一個(gè)真子集．2.對于象限界角，應(yīng)分別搞清終邊落在坐標(biāo)軸的一個(gè)半軸上、終邊落在x(或y)軸上，終邊落在坐標(biāo)軸上這三種情況的角的集合的表示．如：終邊落在x軸的正半軸上的角的集合為{β|β＝k·360°，k∈Z}，終邊落在x軸上的角的集合為{β|β＝k·180°，k∈Z}，終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{β|β＝k·90°，k∈Z}．　　　　　　　　　     達(dá)標(biāo)篇·課堂速測演習(xí)1.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，則A∩B＝(　　)A.{銳角}   B．{小于90°的角}C.{第一象限的角}   D．以上都不對答案：D　解析：根據(jù)各種角的定義，A∩B中的元素應(yīng)為小于90°的第一象限角，可能為銳角，也可能為負(fù)角.2.若角α滿足α＝45°＋k·180°，k∈Z，則角α的終邊落在(　　)A.第一或第三象限   B．第一或第二象限C.第二或第四象限   D．第三或第四象限答案：A　解析：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，角α終邊與225°角終邊相同，在第三象限；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，角α與45°角終邊相同，在第一象限.3.集合M＝{α|α＝k·90°－54°，k∈Z}，N＝{β|－180°<β<180°}，則M∩N＝(　　)A.{－54°，36°}B.{－144°，126°}C.{－144°，－54°，36°，126°}D.{－144°，36°}答案：C　解析：對于α＝k·90°－54°(k∈Z)，分別令k＝－1，則α＝－144°；k＝0，則α＝－54°；k＝1，則α＝36°；k＝2，則α＝126°.以上各角都符合題意，即M∩N＝{－144°，－54°，36°，126°}．故應(yīng)選C.4.如圖①，②，③所示，寫出終邊落在陰影處(包括邊界)的角的集合．解：由圖①可知，角的集合為{α|－40°＋k·360°≤α≤50°＋k·360°，k∈Z}．由圖②可知，角的集合為{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．由圖③可知，角的集合為{α|60°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}． 

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