知識(shí)梳理
1．二項(xiàng)式定理
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．
(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相等，且同時(shí)取得最大值．
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.
常用結(jié)論
1．兩個(gè)常用公式
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
2．二項(xiàng)展開式的三個(gè)重要特征
(1)字母a的指數(shù)按降冪排列由n到0.
(2)字母b的指數(shù)按升冪排列由0到n.
(3)每一項(xiàng)字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于n.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式的第k項(xiàng)．( × )
(2)(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)．( √ )
(3)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．( × )
(4)(a＋b)n的展開式中，某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同．( × )
教材改編題
1．(x－1)10的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．Ceq \\al(6,10) B．－Ceq \\al(6,10)
C．Ceq \\al(5,10) D．－Ceq \\al(5,10)
答案 D
解析 T6＝Ceq \\al(5,10)x5(－1)5，
所以第6項(xiàng)的系數(shù)是－Ceq \\al(5,10).
2．(多選)已知(a＋b)n的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值可以為( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 ABC
解析 ∵(a＋b)n的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Ceq \\al(4,n)最大，∴n＝7或n＝8或n＝9.
3．在(1－2x)10的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是________．
答案 1
解析 令x＝1可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)10＝1.
題型一 通項(xiàng)公式的應(yīng)用
命題點(diǎn)1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)
例1 (1)(2022·煙臺(tái)模擬)(1－2eq \r(x))8展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．28 B．－28
C．112 D．－112
答案 C
解析 (1－2eq \r(x))8展開式的通項(xiàng)公式為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)(－2eq \r(x))k＝ SKIPIF 1 < 0 .
要求x項(xiàng)的系數(shù)，只需eq \f(k,2)＝1，解得k＝2，
所以x項(xiàng)系數(shù)為(－2)2Ceq \\al(2,8)＝4×eq \f(8×7,2×1)＝112.
(2)(2022·德州模擬)若n∈Z，且3≤n≤6，則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x3)))n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．
答案 4
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x3)))n的通項(xiàng)公式為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)xn－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3)))k＝Ceq \\al(k,n)xn－4k，
因?yàn)?≤n≤6，令n－4k＝0，
解得n＝4，k＝1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x3)))n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為4.
命題點(diǎn)2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展開式問(wèn)題
例2 (1)(2022·泰安模擬)(x3－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,\r(x))))6的展開式中x6的系數(shù)為( )
A．6 B．10 C．13 D．15
答案 C
解析 由于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,\r(x))))6的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
令6－eq \f(3k,2)＝3，求得k＝2；
令6－eq \f(3k,2)＝6，求得k＝0，
故(x3－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,\r(x))))6的展開式中x6的系數(shù)為Ceq \\al(2,6)－2Ceq \\al(0,6)＝15－2＝13.
(2)(2022·合肥模擬)二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(x,a)))(1－2x)4的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是－70，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案 D
解析 因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(x,a)))(1－2x)4
＝2×(1－2x)4－eq \f(x,a)×(1－2x)4，
(1－2x)4的展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)(－2x)k＝(－2)kCeq \\al(k,4)xk，k＝0,1,2,3,4，
所以2×(1－2x)4展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是
2×(－2)3Ceq \\al(3,4)＝－64，
eq \f(x,a)×(1－2x)4展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是
eq \f(1,a)×(－2)2Ceq \\al(2,4)＝eq \f(24,a)，
所以－64－eq \f(24,a)＝－70，解得a＝4.
教師備選
1．(2022·菏澤模擬)已知正整數(shù)n≥7，若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))(1－x)n的展開式中不含x5的項(xiàng)，則n的值為( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 D
解析 (1－x)n的二項(xiàng)展開式中第k＋1項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)(－1)kxk，
又因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))(1－x)n＝x(1－x)n－eq \f(1,x)(1－x)n的展開式不含x5的項(xiàng)，
所以xCeq \\al(4,n)(－1)4x4－eq \f(1,x)Ceq \\al(6,n)(－1)6x6＝0，
Ceq \\al(4,n)x5－Ceq \\al(6,n)x5＝0，即Ceq \\al(4,n)＝Ceq \\al(6,n)，
所以n＝10.
2．(2022·煙臺(tái)模擬)在(x2＋2x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為( )
A．60 B．30
C．15 D．12
答案 A
解析 由(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，
由通項(xiàng)公式可得Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(x2＋2x)5－kyk，
∵要求x5y2的系數(shù)，
故k＝2，此時(shí)(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，
其對(duì)應(yīng)x5的系數(shù)為Ceq \\al(1,3)21＝6.
∴x5y2的系數(shù)為Ceq \\al(2,5)×6＝60.
思維升華 (1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．
(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2021·北京)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________．
答案 －4
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))4的展開式的通項(xiàng)
Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)(x3)4－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k＝(－1)kCeq \\al(k,4)x12－4k，令k＝3得常數(shù)項(xiàng)為T4＝(－1)3Ceq \\al(3,4)＝－4.
(2)(2022·攀枝花模擬)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x2)))(1＋2x)5的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．－112 B．－48
C．48 D．112
答案 C
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x2)))(1＋2x)5
＝(1＋2x)5－eq \f(1,x2)(1＋2x)5，
(1＋2x)5展開式的通項(xiàng)公式為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(2x)k＝2kCeq \\al(k,5)xk，其中k＝0,1,2,3,4,5，
(1＋2x)5展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為23Ceq \\al(3,5)＝80，
eq \f(1,x2)(1＋2x)5展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為25Ceq \\al(5,5)＝32，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x2)))(1＋2x)5的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)為80－32＝48.
題型二 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問(wèn)題
命題點(diǎn)1 二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和
例3 (1)(多選)(2022·十堰調(diào)研)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128，則( )
A．二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B．各項(xiàng)系數(shù)和為64
C．常數(shù)項(xiàng)為－135 D．常數(shù)項(xiàng)為135
答案 ABD
解析 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128，令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)和為2n，二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，
則2×2n＝128，得n＝6，即二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和也為64，故A，B正確；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·(3x)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))k
＝ SKIPIF 1 < 0 ，
令6－eq \f(3,2)k＝0，得k＝4，
因此展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5＝Ceq \\al(4,6)·(－1)4·32＝135.故D正確．
(2)已知多項(xiàng)式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則a1＝______，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝______.
答案 1 23
解析 根據(jù)題意，令x＝1，
則(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，a0＝1＋1＝2，
由于(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，a1為展開式中x項(xiàng)的系數(shù)，
考慮一次項(xiàng)系數(shù)a1＝－2＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)×12＝1，
所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26－1－2＝23.
命題點(diǎn)2 系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題
例4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,x2)))6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第________項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為________．
答案 4 240x－8y2
解析 因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,x2)))6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為Ceq \\al(3,6)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)．因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,x2)))6的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·y6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x2)))k＝Ceq \\al(k,6)·(－2)kx－2ky6－k，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)．
展開式中第1,3,5,7項(xiàng)的系數(shù)分別為Ceq \\al(0,6)·(－2)0，Ceq \\al(2,6)·(－2)2，Ceq \\al(4,6)·(－2)4，Ceq \\al(6,6)·(－2)6，即1,60,240,64，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240x－8y2.
教師備選
1．(多選)已知(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，下列命題中正確的是( )
A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22 022
B．展開式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為eq \f(32 022－1,2)
C．展開式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為eq \f(32 022＋1,2)
D.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝－1
答案 ACD
解析 選項(xiàng)A，由二項(xiàng)式知，Ceq \\al(0,2 022)＋Ceq \\al(1,2 022)＋…＋Ceq \\al(2 022,2 022)＝(1＋1)2 022＝22 022，A正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1，
當(dāng)x＝－1時(shí)，
有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022＝32 022，
選項(xiàng)B，由上可得
a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝eq \f(1－32 022,2)，
B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，由上可得
a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝eq \f(32 022＋1,2)，
C正確；
選項(xiàng)D，令x＝eq \f(1,2)可得
a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝0，
又a0＝1，
所以eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝－1，D正確．
2．(多選)已知(x－3)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a8(x－2)8，則下列結(jié)論正確的有( )
A．a(chǎn)0＝1
B．a(chǎn)6＝－28
C.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝－eq \f(255,256)
D．a(chǎn)0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
答案 ACD
解析 對(duì)于A，取x＝2，得a0＝1，A正確；
對(duì)于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展開式中第7項(xiàng)為Ceq \\al(6,8)(－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，
即a6＝28，B不正確；
對(duì)于C，取x＝eq \f(5,2)，得
a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－3))8＝eq \f(1,256)，
則eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝eq \f(1,256)－a0＝－eq \f(255,256)，
C正確；
對(duì)于D，取x＝3，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，
取x＝1，得
a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝(－2)8＝256，
兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，
即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正確．
思維升華 賦值法的應(yīng)用
一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)]．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )
A．1 B．243
C．121 D．122
答案 B
解析 令x＝1，
得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，
得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
(2)(多選)(2022·濟(jì)南模擬)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－x))6的展開式中，下列說(shuō)法正確的是( )
A．常數(shù)項(xiàng)為160
B．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C．第3項(xiàng)的系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為64
答案 BC
解析 展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))6－k·(－x)k＝26－k(－1)k·Ceq \\al(k,6)x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為23(－1)3Ceq \\al(3,6)＝－160，A錯(cuò)誤；展開式共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，B正確；第3項(xiàng)的系數(shù)最大，C正確；令x＝1，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－x))6＝1，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，D錯(cuò)誤．
題型三 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
例5 (1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，則a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 B
解析 因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，
所以512 021＋a＝(52－1)2 021＋a，
＝Ceq \\al(0,2 021)522 021－Ceq \\al(1,2 021)522 020＋Ceq \\al(2,2 021)522 019－…＋Ceq \\al(2 020,2 021)52－Ceq \\al(2 021,2 021)＋a，
因?yàn)?12 021＋a能被13整除，結(jié)合選項(xiàng)，
所以－Ceq \\al(2 021,2 021)＋a＝－1＋a能被13整除，
所以a＝1.
(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
答案 D
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq \\al(0,6)＋Ceq \\al(1,6)×0.05＋Ceq \\al(2,6)×0.052＋Ceq \\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq \\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
教師備選
已知n為滿足S＝n＋Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋Ceq \\al(3,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)(n≥3)能被9整除的正數(shù)n的最小值，則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))n的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為( )
A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)
C．第11項(xiàng) D．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)
答案 B
解析 S＝n＋Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋Ceq \\al(3,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)
＝n＋(1＋1)27－Ceq \\al(0,27)
＝(9－1)9＋n－1
＝9(98－Ceq \\al(1,9)97＋…＋Ceq \\al(8,9))＋n－2，
∵n≥3，
∴S能被9整除的正數(shù) n的最小值是n－2＝9，
∴n＝11.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展開式中的通項(xiàng)公式為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,11)x11－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k
＝(－1)kCeq \\al(k,11)x11－2k，
只考慮k為偶數(shù)的情況，
由T5＝Ceq \\al(4,11)x3，T7＝Ceq \\al(6,11)x－1，T9＝Ceq \\al(8,11)x－5，
可知系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)．
思維升華 二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法
(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式．
(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)n為奇數(shù)，那么11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是( )
A．－3 B．2
C．10 D．11
答案 C
解析 11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1＝Ceq \\al(0,n)·11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11＋Ceq \\al(n,n)－2＝(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝Ceq \\al(0,n)·13n－Ceq \\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq \\al(n－1,n)·13＋(－1)n·Ceq \\al(n,n)－2，
因?yàn)閚為奇數(shù)，則上式＝
Ceq \\al(0,n)·13n－Ceq \\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq \\al(n－1,n)·13－3＝[Ceq \\al(0,n)·13n－Ceq \\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq \\al(n－1,n)·13－13]＋10，
所以11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是10.
(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案 B
解析 (0.99)6＝(1－0.01)6＝Ceq \\al(0,6)×1－Ceq \\al(1,6)×0.01＋Ceq \\al(2,6)×0.012－Ceq \\al(3,6)×0.013＋…＋Ceq \\al(6,6)×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
課時(shí)精練
1．(2022·濟(jì)南模擬)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))6的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．4 B．6
C．10 D．15
答案 B
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))6的展開式通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·x6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))k＝Ceq \\al(k,6)·x6－2k，
令6－2k＝4，解得k＝1，
因此，展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(1,6)＝6.
2．(2022·武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式常數(shù)項(xiàng)是( )
A.eq \f(55,2) B．－eq \f(55,2)
C．－28 D．28
答案 B
解析 展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得展開式有13項(xiàng)，所以n＝12，
展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))12－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x))))k
＝ SKIPIF 1 < 0 ，
若為常數(shù)項(xiàng)，則12－eq \f(4,3)k＝0，
所以k＝9 ，得常數(shù)項(xiàng)為
T10＝Ceq \\al(9,12)(－1)9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))12－9＝－eq \f(220,8)＝－eq \f(55,2).
3．(2022·邯鄲模擬)(x2－x)(1＋x)6的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．－9 B．9
C．－21 D．21
答案 A
解析 展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(1,6)－Ceq \\al(2,6)＝－9.
4．(2022·蕪湖質(zhì)檢)已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m為常數(shù)，若a4＝30，則a0等于( )
A．－32 B．32
C．64 D．－64
答案 A
解析 由多項(xiàng)式乘法知，第一個(gè)因式中x乘以(x＋2)5展開式中的x3項(xiàng)得一個(gè)x4項(xiàng)，第一個(gè)因式中的常數(shù)－m乘以(x＋2)5展開式中的x4項(xiàng)得另一個(gè)x4項(xiàng)，兩項(xiàng)合并同類項(xiàng)得系數(shù)即為a4，所以a4＝Ceq \\al(2,5)×22－m×Ceq \\al(1,5)×2＝30，
解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.
5．(2022·大連模擬)(ax－y)(x＋y)4的展開式中x3y2的系數(shù)為－2，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A．－eq \f(1,3) B．－1 C．1 D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 化簡(jiǎn)得(ax－y)(x＋y)4＝ax·(x＋y)4－y·(x＋y)4，
∵(x＋y)4的展開式的通項(xiàng)公式
Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)x4－kyk，
當(dāng)k＝2時(shí)，ax·(x＋y)4的展開式中x3y2的系數(shù)為Ceq \\al(2,4)a＝6a，
當(dāng)k＝1時(shí)，－y·(x＋y)4的展開式中x3y2的系數(shù)為－Ceq \\al(1,4)＝－4，
綜上，(ax－y)(x＋y)4的展開式中x3y2的系數(shù)為6a－4＝－2，∴a＝eq \f(1,3).
6．已知在(2x－1)n的二項(xiàng)展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，則Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)的值為( )
A．28 B．28－1
C．27 D．27－1
答案 B
解析 設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.
則A＝a1＋a3＋a5＋…，
B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知得，B－A＝38，
令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n，
∴(－3)n＝38＝(－3)8，
∴n＝8，
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n－Ceq \\al(0,n)＝28－1.
7．(多選)(2022·邯鄲模擬)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列說(shuō)法正確的是( )
A．2，n,10成等差數(shù)列
B．各項(xiàng)系數(shù)之和為64
C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)
D．展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)
答案 ABD
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝64，
得n＝6，得2,6,10成等差數(shù)列，A正確；
令x＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))6＝26＝64，
則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))6的各項(xiàng)系數(shù)之和為64，B正確；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))6的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))6的展開式中的第5項(xiàng)為Ceq \\al(4,6)(5x)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,\r(x))))4＝15×25×81為常數(shù)項(xiàng)，D正確．
8．(多選)(2022·煙臺(tái)模擬)已知(2－eq \r(3)x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A．a(chǎn)3＝－360
B．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝1
C．a(chǎn)1＋a2＋…＋a6＝(2－eq \r(3))6
D．展開式中系數(shù)最大的為a2
答案 BD
解析 (2－eq \r(3)x)6的展開式通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·26－k·(－eq \r(3)x)k＝Ceq \\al(k,6)·(－eq \r(3))k·26－k·xk，
對(duì)于A，令k＝3，
則a3＝Ceq \\al(3,6)×23×(－eq \r(3))3＝－480eq \r(3)，
A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令x＝1，
則a0＋a1＋…＋a6＝(2－eq \r(3))6；
令x＝－1，
則a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋eq \r(3))6，
∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)
＝[(2－eq \r(3))×(2＋eq \r(3))]6＝1，B正確；
對(duì)于C，令x＝0，得a0＝26，
∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－eq \r(3))6－26，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，
∵a0，a2，a4，a6為正數(shù)，a1，a3，a5為負(fù)數(shù)，
又a0＝26＝64，a2＝Ceq \\al(2,6)×24×3＝720，
a4＝Ceq \\al(4,6)×22×32＝540，
a6＝33＝27，
∴展開式中系數(shù)最大的為a2，D正確．
9．(2021·天津)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x3＋\f(1,x)))6的展開式中，x6的系數(shù)是________．
答案 160
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x3＋\f(1,x)))6的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(2x3)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))k＝26－kCeq \\al(k,6)·x18－4k，
令18－4k＝6，解得k＝3，
所以x6的系數(shù)是23Ceq \\al(3,6)＝160.
10．(2022·濟(jì)寧模擬)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，則這個(gè)展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是________．
答案 84
解析 依題意，2n＝128，解得n＝7，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))7的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝Ceq \\al(k,7)x7－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k
＝(－2)kCeq \\al(k,7)x7－2k(k∈N，k≤7)，
由7－2k＝3得k＝2，所以所求展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是(－2)2Ceq \\al(2,7)＝4×eq \f(7×6,2×1)＝84.
11．(2022·溫州模擬)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))n的展開式中共有7項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為________(用數(shù)字作答)．
答案 240
解析 因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))n的展開式中共有7項(xiàng)，
所以n＋1＝7，可得n＝6，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))6展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
令6－eq \f(3,2)k＝0，可得k＝4，
所以常數(shù)項(xiàng)為Ceq \\al(4,6)24＝15×16＝240.
12．(2021·浙江)已知多項(xiàng)式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝________，a2＋a3＋a4＝________.
答案 5 10
解析 (x－1)3展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq \\al(r,3)x3－r·(－1)r，(x＋1)4展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)x4－k，則a1＝Ceq \\al(0,3)＋Ceq \\al(1,4)＝1＋4＝5；a2＝Ceq \\al(1,3)(－1)1＋Ceq \\al(2,4)＝3；a3＝Ceq \\al(2,3)(－1)2＋Ceq \\al(3,4)＝7；a4＝Ceq \\al(3,3)(－1)3＋Ceq \\al(4,4)＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
13．已知n為正整數(shù)，若1.1510∈[n，n＋1)，則n的值為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因?yàn)?.155＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,20)))5
＝Ceq \\al(0,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))0＋Ceq \\al(1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))1＋Ceq \\al(2,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))2＋Ceq \\al(3,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))3＋Ceq \\al(4,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))4＋Ceq \\al(5,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))5
＝1＋eq \f(3,4)＋eq \f(9,40)＋eq \f(27,800)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5×\f(3,20)＋\f(9,400)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))3
＝2＋eq \f(7,800)＋eq \f(309,400)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,20)))3，
而2

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