知識梳理
1．古典概型
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n?A?,n?Ω?).
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)．
3．概率的性質(zhì)
性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.
性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
常用結(jié)論
若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．( √ )
(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件．( × )
(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．( × )
(4)兩個互斥事件的概率和為1.( × )
教材改編題
1．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 B
2．某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為( )
A．0.9 B．0.3
C．0.6 D．0.4
答案 D
解析 設(shè)“該射手在一次射擊中不夠8環(huán)”為事件A，則P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－0.6＝0.4.
3．拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝______，P(A∩B)＝______.
答案 eq \f(2,3) eq \f(1,6)
解析 拋擲一枚骰子，樣本空間出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1,2,3,4,5,6}，
事件A∪B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1,3,5,6}這4個樣本點(diǎn)，故P(A∪B)＝eq \f(2,3)；
事件A∩B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{3}這1個樣本點(diǎn)，故P(A∩B)＝eq \f(1,6).
題型一 古典概型
例1 (1)(2022·昆明模擬)2021年，云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云南省特色小鎮(zhèn)”的通知》，命名16個“云南省美麗縣城”和6個“云南省特色小鎮(zhèn)”，其中這6個云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、瑞麗畹町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn)．某人計(jì)劃在今年暑假期間從這6個云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個去旅游，則其中一個是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 6個云南省特色小鎮(zhèn)分別為a，b，c，d，e，f，其中a為安寧溫泉小鎮(zhèn)，則6個云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個的樣本點(diǎn)有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15個，其中一個是安寧溫泉小鎮(zhèn)有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5個，所以要求的概率為P＝eq \f(5,15)＝eq \f(1,3).
(2)(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 方法一 (將4個1和2個0視為完全不同的元素)4個1分別設(shè)為1A,1B,1C,1D,2個0分別設(shè)為0A,0B，將4個1和2個0隨機(jī)排成一行有Aeq \\al(6,6)種排法，將1A,1B,1C,1D，排成一行有Aeq \\al(4,4)種排法，再將0A,0B插空有Aeq \\al(2,5)種排法，所以2個0不相鄰的概率P＝eq \f(A\\al(4,4)A\\al(2,5),A\\al(6,6))＝eq \f(2,3).
方法二 (含有相同元素的排列)將4個1和2個0安排在6個位置，則選擇2個位置安排0，共有Ceq \\al(2,6)種排法；將4個1排成一行，把2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排0，共有Ceq \\al(2,5)種排法．所以2個0不相鄰的概率P＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,6))＝eq \f(2,3).
教師備選
1．(2022·江蘇百師聯(lián)盟聯(lián)考)將3名男生1名女生共4名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實(shí)踐，每個社區(qū)至少一名同學(xué)，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,6)
答案 D
解析 分配方案的總數(shù)為Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)，恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的分法有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)，恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是P＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(2,2),C\\al(2,4)A\\al(3,3))＝eq \f(1,6).
2．(2022·福州模擬)“博餅”是閩南地區(qū)中秋佳節(jié)的傳統(tǒng)民俗游戲，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表性項(xiàng)目．“博餅”的游戲規(guī)則是：參與者輪流把6顆骰子同時投進(jìn)一個大瓷碗里，而后根據(jù)骰子的向上一面點(diǎn)數(shù)組合情況，來決定獲獎等次，獲獎等次分為6類，分別用中國古代科舉的排名名稱命名，獲獎?wù)咄冻龅镊蛔咏M合如圖所示，根據(jù)你所學(xué)的概率知識，投出“六杯紅”的概率為______；投出“狀元插金花”的概率為______．(不需得出具體數(shù)值)
答案 eq \f(1,66) eq \f(5,2×65)
解析 依題意，6個骰子同時投擲一次，樣本點(diǎn)總數(shù)為66.
其中，投出“六杯紅”的樣本點(diǎn)數(shù)為1；
投出“狀元插金花”的樣本點(diǎn)數(shù)為Ceq \\al(2,6)＝15.
故投出“六杯紅”的概率為eq \f(1,66)；投出“狀元插金花”的概率為eq \f(15,66)＝eq \f(5,2×65).
思維升華 利用公式法求解古典概型問題的步驟
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2022·深圳模擬)五一國際勞動節(jié)放假期間，甲、乙兩名同學(xué)計(jì)劃在5月1日到5月3日期間去敬老院做志愿者，若甲同學(xué)在三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)在前兩天中隨機(jī)選一天，且兩名同學(xué)的選擇互不影響，則他們在同一天去的概率為( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 甲同學(xué)在三天中隨機(jī)選一天共有3種方法，乙同學(xué)在前兩天中隨機(jī)選一天共有2種方法，所以一共有3×2＝6(種)方法，他們在同一天去共有2種情況，所以他們在同一天去的概率為eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
(2)(2022·蘇州模擬)皮埃爾·德·費(fèi)馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的(p－1)次方除以p的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費(fèi)馬小定理．依此定理，若在數(shù)集{2,3,5,6,8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，則所取兩個數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(9,20) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 在數(shù)集{2,3,5,6,8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，樣本點(diǎn)總數(shù)n＝Aeq \\al(2,5)＝20，所取兩個數(shù)(p，a)符合費(fèi)馬小定理包含的樣本點(diǎn)有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9個，∴所取兩個數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為P＝eq \f(9,20).
題型二 概率的基本性質(zhì)
例2 某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示．
(1)求派出醫(yī)生至多2個的概率；
(2)求派出醫(yī)生至少2個的概率．
解 設(shè)“不派出醫(yī)生”為事件A，“派出1名醫(yī)生”為事件B，“派出2名醫(yī)生”為事件C，“派出3名醫(yī)生”為事件D，“派出4名醫(yī)生”為事件E，“派出5名及5名以上醫(yī)生”為事件F，事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出醫(yī)生至多2個”的概率為
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 “派出醫(yī)生至少2人”的概率為
P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二 “派出醫(yī)生至少2個”的概率為
1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
教師備選
1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則P(A∪B)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,6) D．1
答案 B
解析 方法一 A包含向上點(diǎn)數(shù)是1,3,5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3的情況，
所以A∪B包含了向上點(diǎn)數(shù)是1,2,3,5的情況，
故P(A∪B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
方法二 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(2,6)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
2．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排照相，則甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有一名同學(xué)的概率為( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 所有的排法有Aeq \\al(4,4)＝24(種)，
若甲、丙之間恰好為乙，則有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)種排法；
若甲、丙之間恰好為丁，則有Aeq \\al(2,2)種排法，
故所求的概率為P＝eq \f(A\\al(2,2)A\\al(2,2)＋A\\al(2,2),A\\al(4,4))＝eq \f(6,24)＝eq \f(1,4).
思維升華 求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法
(1)直接法
(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡單)．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2022·東營模擬)五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為宮、商、角、徵、羽．如果從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(7,10)
C.eq \f(9,20) D.eq \f(11,20)
答案 B
解析 設(shè)從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，這個音序中宮和羽至少有一個為事件A，則eq \x\t(A)表示這個音序中不含宮和羽這兩個音序，
∴P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(A\\al(2,3),A\\al(2,5))＝1－eq \f(3×2,5×4)＝eq \f(7,10).
(2)數(shù)學(xué)多選題有A，B，C，D四個選項(xiàng)，在給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的不得分．已知某道數(shù)學(xué)多選題正確答案為B，D，小明同學(xué)不會做這道題目，他隨機(jī)地填涂了至少一個選項(xiàng)，則他能得分的概率為________．
答案 eq \f(1,5)
解析 小明隨機(jī)地填涂了至少一個選項(xiàng)，共有Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(4,4)＝15(種)涂法，得分的涂法有3種，所以他能得分的概率為P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題
例3 飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ)．同時國家提倡節(jié)約用水，全民積極維護(hù)飲用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽市考察調(diào)研的習(xí)近平總書記來到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程、丹江口水庫，聽取南水北調(diào)中線工程建設(shè)管理運(yùn)行和水源地生態(tài)保護(hù)等情況介紹．為了提高節(jié)約用水意識，為此，某校開展了“節(jié)約用水，從我做起”活動，從參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校此次參賽學(xué)生成績的平均分eq \x\t(x)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；
(2)在該樣本中，若采用分層隨機(jī)抽樣方法，從成績低于65分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人調(diào)查他們的答題情況，再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率．
解 (1)根據(jù)頻率分布直方圖得到
(0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，
所以eq \x\t(x)＝71.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖得到，成績在[45,55)，[55,65)內(nèi)的頻率分別為0.05,0.25，所以采用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中抽取的6人，
成績在[45,55)內(nèi)的有1人，記為X，
成績在[55,65)內(nèi)的有5人，分別記為a，b，c，d，e，
從這6人中隨機(jī)抽取3人，所有可能的結(jié)果為Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20種．
這3人中至少有1人的成績在[45,55)內(nèi)的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10種．所以這3人中至少有1人的成績低于55分的概率為eq \f(10,20)＝eq \f(1,2).
教師備選
(2019·天津)2019年，我國施行個人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況．
(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率．
解 (1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取25位員工，
因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人．
(2)①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個樣本點(diǎn)．
②由表格知，符合題意的有(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共11個樣本點(diǎn)．所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq \f(11,15).
思維升華 求解古典概型的交匯問題的步驟
(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；
(2)判斷事件是否為古典概型；
(3)選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個數(shù)；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟蹤訓(xùn)練3 為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機(jī)構(gòu)日前聯(lián)合醫(yī)院，進(jìn)行了小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會有副作用．為了了解使用該種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否以此推斷有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)？
(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．
附：χ2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由數(shù)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，
所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
零假設(shè)為H0：有疲乏癥狀與使用該新藥無關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到
χ2＝eq \f(275×?150×25－75×25?2,225×50×175×100)＝eq \f(275,56)
≈4.911>3.841＝x0.05，
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān)．
(2)從使用新藥的100人中用分層隨機(jī)抽樣抽取4人的抽樣比為eq \f(4,100)＝eq \f(1,25)，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為eq \f(1,25)×25＝1，無疲乏癥狀的有3人，
抽取的有疲乏癥狀的1人記為1，無疲乏癥狀的3人記為a，b，c，從4人中隨機(jī)抽取2人的所有樣本點(diǎn)為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6個，它們等可能，
記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M，它所含樣本點(diǎn)是(1，a)，(1，b)，(1，c)，共3個，
于是得P(M)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
所以這2人中恰有1 人有疲乏癥狀的概率是eq \f(1,2).
課時精練
1．(多選)下列試驗(yàn)是古典概型的是( )
A．在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率
B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球?yàn)榘浊虻母怕?br>C．向一個圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率
D．老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率
答案 BD
解析 A項(xiàng)，在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；
B項(xiàng)，從中任取一球的事件有限，且任取一球?yàn)榘浊蚧蚝谇虻母怕适堑瓤赡艿模?br>C項(xiàng)，向一個圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率，不符合有限性；
D項(xiàng)，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的．
2．(2022·太原模擬)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中隨機(jī)抽取2個數(shù)，分別記為m，n，則eq \f(m,n)為整數(shù)的概率為( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(4,25)
答案 B
解析 由題意得，從1,2,3,4,5這5個數(shù)中隨機(jī)抽取2個數(shù)，則共有下列情況：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共有20種等可能情況，其中eq \f(m,n)為整數(shù)的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2)，5種情況，所以所求概率為eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
3.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓．如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為( )
A.eq \f(1,14) B.eq \f(1,7) C.eq \f(3,14) D.eq \f(3,28)
答案 C
解析 從八卦中任取兩卦，樣本點(diǎn)總數(shù)n＝Ceq \\al(2,8)＝28，這兩卦的陽線數(shù)目相同的樣本點(diǎn)有6種，分別為(兌，巽)，(兌，離)，(巽，離)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為P＝eq \f(6,28)＝eq \f(3,14).
4．(2022·黃山質(zhì)檢)從集合{1,2,4}中隨機(jī)抽取一個數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2，－1)垂直的概率為( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 從集合{1,2,4}中隨機(jī)抽取一個數(shù)a，從集合{2,4,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)b，可以組成向量m＝(a，b)的個數(shù)是3×3＝9(個)，其中與向量n＝(2，－1)垂直的向量是m＝(1,2)和m＝(2,4)，共2個，故所求的概率為P＝eq \f(2,9).
5．(2022·莆田質(zhì)檢)甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘”站方向的3路公交車(線路圖如下)．甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車．假設(shè)每人自“管委會”站開始在每一站點(diǎn)下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(7,30) D.eq \f(3,10)
答案 C
解析 甲從“管委會”站到“北埭”站的每一站下車都可以，有8種情況，
乙從“管委會”站到“東至”站的每一站下車都可以，有15種情況，
若乙在“管委會”站下車，則甲有7種情況，
若乙在“地稅分局”站下車，則甲有6種情況，
若乙在“興海路”站下車，則甲有5種情況，
若乙在“閩臺風(fēng)情街”站下車，則甲有4種情況，
若乙在“蓮池小學(xué)”站下車，則甲有3種情況，
若乙在“金沙灘”站下車，則甲有2種情況，
若乙在“蓮池沙灘”站下車，則甲有1種情況，
因此，甲比乙后下車的概率為
P＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,8×15)＝eq \f(4×7,8×15)＝eq \f(7,30).
6．(2022·紹興模擬)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用．北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗．一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為( )
A.eq \f(10,21) B.eq \f(11,21) C.eq \f(11,42) D.eq \f(5,21)
答案 B
解析 因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為P＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,7))＝eq \f(10,21)，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為1－eq \f(10,21)＝eq \f(11,21).
7．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽檢一件是甲級品的概率為________．
答案 0.92
解析 記抽撿的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，且事件A和事件B∪C是對立事件，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.
8．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是______．
答案 eq \f(2,5)
解析 若函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，
則a2－2

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