知識梳理
1．排列與組合的概念
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，用符號Aeq \\al(m,n)表示．
(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，用符號Ceq \\al(m,n)表示．
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
常用結(jié)論
解決排列、組合問題的十種技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排．
(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．
(3)排列、組合混合問題要先選后排．
(4)相鄰問題捆綁處理．
(5)不相鄰問題插空處理．
(6)定序問題倍縮法處理．
(7)分排問題直排處理．
(8)“小集團”排列問題先整體后局部．
(9)構(gòu)造模型．
(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．( × )
(2)選擇兩人去參加同一項活動時無先后順序．( √ )
(3)若組合數(shù)公式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，則x＝m成立．( × )
(4)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( × )
教材改編題
1．將《步步高》《創(chuàng)新設(shè)計》等六本不同的教輔資料按如圖所示的方式豎放在一起，則《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有( )
A．120種 B．240種
C．200種 D．180種
答案 B
解析 《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2Aeq \\al(5,5)＝240(種)．
2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相鄰的不同排法有( )
A．36種 B．72種
C．108種 D．144種
答案 B
解析 不同排法種數(shù)為Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72(種)．
3．若Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(2,n－1)＋Ceq \\al(3,n－1)(n∈N*)，則n＝ .
答案 5
解析 由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m－1,n－1)＋Ceq \\al(m,n－1)，
所以Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(3,n)，
又因為Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，
所以n－2＝3，即n＝5.
題型一 排列問題
例1 (1)(多選)17名同學(xué)站成兩排，前排7人，后排10人，則不同站法的種數(shù)為( )
A．Aeq \\al(7,7)Aeq \\al(10,10) B．Aeq \\al(7,17)Aeq \\al(10,10) C．Aeq \\al(7,17)＋Aeq \\al(10,10) D．Aeq \\al(17,17)
答案 BD
解析 17名同學(xué)中選7名全部排序站在前排有Aeq \\al(7,17)種方法，剩下10名同學(xué)全排在后排有Aeq \\al(10,10)種方法，根據(jù)乘法原理，共有Aeq \\al(7,17)Aeq \\al(10,10)種方法．將前后排視為一排，共有Aeq \\al(17,17)種方法．
(2)(2022·福州模擬)將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1n時，則n－m≤－1，
所以n－m＋1≤0，
所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1這m個數(shù)中，一定有某個數(shù)為0，
所以Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)＝0，
故B正確．
選項C，當(dāng)m為正奇數(shù)時，
Ceq \\al(m,－1)＝eq \f(－1×?－2?…?－1－m＋1?,m！)
＝eq \f(－1×?－2?…?－m?,m！)＝－1，
故C正確．
選項D，當(dāng)n為正整數(shù)時，
Ceq \\al(m,－n)＝eq \f(－n?－n－1??－n－2?…?－n－m＋1?,m！)＝(－1)meq \f(n?n＋1??n＋2?…?n＋m－1?,m！).
Ceq \\al(m,n＋m－1)＝eq \f(?n＋m－1??n＋m－2?…?n＋m－1－m＋1?,m！)
＝eq \f(?n＋m－1??n＋m－2?…?n＋1?n,m！).
所以Ceq \\al(m,－n)＝(－1)mCeq \\al(m,n＋m－1)，故選項D正確．
16．某次燈謎大會共設(shè)置6個不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一個謎題．并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6個謎題，則一名參與者一共有 種不同的答題順序．
答案 60
解析 將6只燈籠全排，即Aeq \\al(6,6)，因為每次只能取其中一串最下面的一只燈籠內(nèi)的謎題，每次取燈的順序確定，取謎題的方法有eq \f(A\\al(6,6),A\\al(3,3)·A\\al(2,2))＝60(種)．名稱
定義
排列
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
按照一定的順序排成一列
組合
作為一組
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,?n－m?！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)
＝eq \f(n！,m！?n－m?！)(n，m∈N*，且m≤n)．特別地Ceq \\al(0,n)＝1.
性質(zhì)
(1)0?。?；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
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2
3
4
5

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