知識梳理
1．相互獨(dú)立事件
(1)概念：對任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．
(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也都相互獨(dú)立．
2．條件概率
(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
(2)兩個(gè)公式
①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
常用結(jié)論
1．兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響，兩事件相互獨(dú)立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．
3．計(jì)算條件概率P(B|A)時(shí)，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)對于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．( √ )
(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，則A，B相互獨(dú)立．( √ )
(4)若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．( √ )
教材改編題
1．一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，則兩根保險(xiǎn)絲都熔斷的概率為( )
A．1 B．0.629
C．0 D．0.74或0.85
答案 B
解析 由題意知甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，∴甲、乙兩根保險(xiǎn)絲都熔斷的概率為0.85×0.74＝0.629.
2．若P(A|B)＝eq \f(1,9)，P(B)＝eq \f(1,3)，則P(AB)的值是( )
A.eq \f(1,27) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 由P(AB)＝P(A|B)P(B)，
可得P(AB)＝eq \f(1,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).
3．已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.02,0.01，則一輛汽車中途停車修理的概率為( )
A.eq \f(1,100) B.eq \f(1,60) C.eq \f(1,50) D.eq \f(1,30)
答案 B
解析 設(shè)B表示汽車中途停車修理，A1表示公路上經(jīng)過的汽車是貨車，A2表示公路上經(jīng)過的汽車是客車，
則P(A1)＝eq \f(2,3)，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，
則由全概率公式，可知一輛汽車中途停車修理的概率為P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq \f(2,3)×0.02＋eq \f(1,3)×0.01＝eq \f(1,60).
題型一 條件概率
例1 (1)某公司為方便員工停車，租了6個(gè)停車位，編號如圖所示．公司規(guī)定：每個(gè)車位只能停一輛車，每個(gè)員工只允許占用一個(gè)停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 D
解析 根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可得，
P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq \f(3,5).
(2)(多選)(2022·濱州模擬)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故A正確；
P(AB)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故B正確；
P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)，故C正確；
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)＝1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
P(eq \x\t(A)B)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，
P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(P?\x\t(A)B?,P?\x\t(A)?)＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故D錯(cuò)誤．
教師備選
1．對標(biāo)有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 記A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由題意知，
P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15)，
則Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A))＝eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)))＝eq \f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq \f(2,3).
2．已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 設(shè)A＝{甲第一次拿到白球}，
B＝{甲第二次拿到紅球}，
則P(AB)＝eq \f(A\\al(1,2)A\\al(1,3),A\\al(2,10))＝eq \f(1,15)，P(A)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,10))＝eq \f(1,5)，
所以P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(1,3).
思維升華 求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
(2)樣本點(diǎn)法：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?).
(3) 縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1) (多選)下列說法正確的是( )
A．P(A|B)

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