專訓(xùn)1.1 銳角三角函數(shù)函數(shù)的定義及求值一、單選題1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（    ）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無法確定【答案】C【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解．【詳解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的對邊與斜邊的比，
∵△ABC的三邊都縮小5倍，
∴∠A的對邊與斜邊的比不變，
∴sinA的值不變．
故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2，則sin∠ACD的值為（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD轉(zhuǎn)化為求sinB．【詳解】在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB=，∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用了勾股定理，余角的性質(zhì)，正弦三角函數(shù)等于對邊比斜邊．3．（2021·上海市川沙中學(xué)南校九年級期中）已知AE、CF是銳角的兩條高，若，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出sin∠BAC=，sin∠ACB=，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵sin∠BAC=，sin∠ACB=，=，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義，正確把握銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．4．（2021·山東·濟(jì)南市萊蕪實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）在中，∠C=90°，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，設(shè)，，利用勾股定理列式求出，再根據(jù)銳角的正弦定義求解即可．【詳解】解：如圖，，設(shè)，，由勾股定理得，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，利用“設(shè)法”表示出三角形的三邊求解更加簡便．5．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt中，CD是斜邊AB上的高，，則下列比值中不等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．【詳解】在中， ,在中， , , , ,在中，,故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．6．（2021·上海寶山·九年級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∴sin∠B=，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．7．（2021·遼寧瓦房店·九年級月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，則BC的長為（　?。?/span>A．6 B．8 C．10 D．9【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，∴cosA＝＝＝，∴AB＝10，∴BC＝＝＝8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義和勾股定理的運(yùn)用．8．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，則cosA的值為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用勾股定理求得AB的長，然后利用余弦的定義即可求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，則cosA=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．9．（2021·河北·石家莊外國語學(xué)校九年級月考）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，則cosA的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角的余弦值的定義解決此題．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cosA＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角的余弦值，熟練掌握銳角的余弦值的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2021·吉林·長春外國語學(xué)校九年級期中）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切是（     ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，利用勾股定理可求出，的長，利用等面積法可求出的長，由勾股定理求出，再利用正切的定義可求出的正切值．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，如圖所示．，，在中，由等面積法得：，即，，在中，,．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面積，利用面積法及勾股定理求出長度是解題的關(guān)鍵．11．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）中，，若，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，設(shè)，則，利用勾股定理即可表示出的長，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求得的值．【詳解】解：∵在中，，∴，，.∵，設(shè)，則，，∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了求銳角三角函數(shù)值的方法，勾股定理等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法表示出三角形的邊長，進(jìn)而求值．12．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，如果，那么的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出b，再利用三角函數(shù)定義求解即可；【詳解】解：在△ABC 中， ∠C=90° ，由知，設(shè)，則，結(jié)合，得，可得；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)定義和勾股定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2021·上海市川沙中學(xué)南校九年級期中）已知在中，，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題時注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，則tanA=．14．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）在中，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，作出圖形，設(shè)，則，進(jìn)而求得，根據(jù)正切的定義求得即可．【詳解】如圖，在中，，，設(shè)，則，由勾股定理可得，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，求得是解題的關(guān)鍵．15．（2021·吉林·長春市第八十七中學(xué)九年級月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4，那么下列各式中正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC=4，∴,∴，，． 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的意義，熟知三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．  二、填空題16．（2021·上海虹口·九年級月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，則sinB等于____．【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義“在直角三角形中，任意一銳角的對邊比斜邊的比叫做這個角的正弦”進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：在中，，AC=6，AB=8，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟記正弦函數(shù)的定義．17．（2021·上海寶山·九年級期中）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的長是____．【答案】4【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得的長度，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由三角函數(shù)的定義可得：又∵∴由勾股定理得故答案為4【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)定義．18．（2021·山東棲霞·九年級期中）如圖，的頂點(diǎn)都在邊長相等的小正方形的頂點(diǎn)上，則等于_________．【答案】【分析】設(shè)小正方形的邊長為1，過C作CD⊥AB于D，求出△ABC的面積，根據(jù)勾股定理求出AB和AC，根據(jù)三角形的面積求出高CD長，根據(jù)勾股定理求出AD，再求出答案即可．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，過C作CD⊥AB于D，S△ABC2，由勾股定理得：AB2，AC2，∴2CD，解得：CD，由勾股定理得：AD，∴cos∠BAC，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能求出△ABC的面積是解此題的關(guān)鍵．19．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，，則等于________．20．（2021·山東招遠(yuǎn)·九年級期中）如圖，在中，，，以邊上的中線為折痕將折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則____．【答案】##【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得到∠D=∠A=∠MCD=∠ACM，再利用垂直的定義求出∠A=30°，由此得到答案．【詳解】解：∵在中，，為邊上的中線，∴CM=AM=BM，∴∠A=∠ACM，由折疊得DM=AM，∴CM=DM，∴∠D=∠A=∠MCD=∠ACM，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=30°，∴tan30°=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，垂直的定義，求特殊角度的正切值，熟記折疊的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2021·浙江·寧波市海曙外國語學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，連接并延長至，連接，若滿足，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，從而可知的長，進(jìn)而可知的值，由，設(shè)，，的值列出關(guān)于的方程，解得的值，則可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，，即，，，，，，，，，，由勾股定理可得：，即，解得：，．．如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，設(shè)，，，，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．點(diǎn)坐標(biāo)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用及解分式方程等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．（2021·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）如圖所示，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)處，則的正弦值為______．【答案】##【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)先計(jì)算的長度，進(jìn)而可得是等腰三角形，找到的中點(diǎn)，連接，在中即可求得的值，即的正弦值．【詳解】如圖，在中．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正弦的定義，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．（2021·遼寧·大連市第三十四中學(xué)九年級月考）在中，，若，則__．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形，然后利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．24．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，若，，則______，______，______，______，______．【答案】5                    【分析】根據(jù)勾股定理求出c，再利用銳角三角函數(shù)求出對應(yīng)的三角函數(shù)值．【詳解】解：在中，，∴，∴，，，，故答案為：5，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理，熟記各銳角三角函數(shù)的求值公式是解題的關(guān)鍵．25．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，各三角形的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則_______，_______，_______．【答案】            【分析】將、、置于直角三角形中，進(jìn)而求出、、的值即可．【詳解】解：如圖所示，構(gòu)造直角三角形，∵在中，，，∵在中，， ，∵在中，∵在中，，，∴；故答案為；，．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是將所求角置于直角三角形中． 三、解答題26．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）分別求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值．【答案】圖（1），，，，，；圖（2），，，，，【分析】根據(jù)勾股定理，可得直角三角形的另一邊，根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，正切函數(shù)是對邊比鄰邊，可得答案 ．【詳解】解：（1） 圖1由勾股定理得：，，，，，，；（2）圖2 由勾股定理得：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)， 利用銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵 ．27．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若tan∠DBA=，則AD的長為多少?【答案】AD=2【分析】作DE⊥AB于E，先利用勾股定理求出，然后證明△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，設(shè)AE=x，則DE=x，則，在Rt△BED中，，則BE=5x，再由即可求解．【詳解】解：作DE⊥AB于E，如圖，∴∠AED=∠DEB=90°∵∠C=90°，AC=BC=6，∴，∠A=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE在Rt△ADE中，設(shè)AE=x，則DE=x，∴在Rt△BED中，，∴BE=5x，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解直角三角形的方法．28．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt中，，求和的值．【答案】圖（1），，圖（2），【分析】圖（1）利用勾股定理求出的長度，再利用三角函數(shù)的定義求出，，圖（2）利用勾股定理求出的長度，再利用三角函數(shù)的定義求出，即可．【詳解】解：如圖（1），在中，由勾股定理得．∴，． 如圖（2），在中，由勾股定理得．∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．29．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）分別求出圖中，的正弦值、余弦值和正切值．【答案】圖（1），，，，，；圖（2），，，，，；圖（3），，，，，【分析】先由勾股定理求出每個直角三角形未知的第三邊，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求得兩個銳角的各個三角函數(shù)值．【詳解】解：圖（1）由勾股定理得：∴，，，，，；圖（2）由勾股定理得：，，， ，，；圖（3）由勾股定理得： ，，， ，，；【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．30．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）在中，，是邊上的中線，，求和．【答案】.，，【分析】利用，是邊上的中線，先求解 證明再利用勾股定理求解 再由等角的三角函數(shù)值相等，從而可得答案.【詳解】解：如圖，，是邊上的中線， 【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的正弦，余弦，正切的定義是解題的關(guān)鍵. 
 

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級下冊電子課本

1 銳角三角函數(shù)

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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