2023年中考數(shù)學(xué)高頻壓軸題突破——二次函數(shù)與面積問題一、選擇題如圖，已知拋物線 與 軸交于點(diǎn) ，與 軸分別交于 ， 兩點(diǎn)，將該拋物線平移后分別得到拋物線 ，，其中 的頂點(diǎn)為點(diǎn) ， 的頂點(diǎn)為點(diǎn) ，則由這三條拋物線所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為  A． B． C． D．無法計(jì)算 已知二次函數(shù) 的圖象交 軸于 ， 兩點(diǎn)．若其圖象上有且只有 ，， 三點(diǎn)滿足 ，， 的面積都等于 ，則 的值為  A．  B．  C．  D．  二、填空題如圖所示，用長(zhǎng) 的鋁合金條制成下部為矩形、上部為半圓的窗框（包括窗棱），若使此窗戶的透光面積最大，則最大透光面積為    ．（結(jié)果保留 ） 已知拋物線 與 軸交于 ， 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) ，點(diǎn) 是拋物線上的一個(gè)不與點(diǎn) 重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是    ．    三、解答題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于 ，， 三點(diǎn)，點(diǎn) 是直線 下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)  求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)  是否存在點(diǎn) ，使 是以 為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn) 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)  動(dòng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 面積最大，求出此時(shí) 點(diǎn)坐標(biāo)和 的最大面積． 如圖，拋物線 經(jīng)過點(diǎn) ， 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) ，點(diǎn) 是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ．連接 ，，，．(1)  求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)   的面積等于 的面積的 時(shí)，求 的值；(3)  在（）的條件下，若點(diǎn) 是 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn) ，使得以點(diǎn) ，，， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn) ，，，其對(duì)稱軸與 軸相交于點(diǎn) ．(1)  求拋物線的解析式和對(duì)稱軸．(2)  在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) ，使 的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)  連接 ，在直線 的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn) ，使 的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 已知拋物線 與 軸交于 ， 兩點(diǎn)， 為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交 軸于點(diǎn) ，連接 ，且 ，如圖所示．(1)  求拋物線的解析式；(2)  設(shè) 是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過點(diǎn) 作 軸的平行線交線段 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 交拋物線于點(diǎn) ，連接 ，，求 的面積的最大值；②連接 ，求 的最小值． 如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ，，與 軸交于另一點(diǎn) ，且對(duì)稱軸是直線 ．(1)  求該二次函數(shù)的解析式；(2)  若 是 上的一點(diǎn)，作 交 于 ，當(dāng) 面積最大時(shí)，求 的坐標(biāo)；(3)   是 軸上的點(diǎn)，過 作 軸與拋物線交于 ．過 作 軸于 ，當(dāng)以 ，， 為頂點(diǎn)的三角形與以 ，， 為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求 點(diǎn)的坐標(biāo)． 如圖所示，二次函數(shù) 的圖象與 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 ，另一個(gè)交點(diǎn)為 ，且與 軸交于點(diǎn) ．(1)  求 的值；求點(diǎn) 的坐標(biāo)；(2)  在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn) ，使 的值最小，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；(3)  該二次函數(shù)圖象上是否有一點(diǎn) 使 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)． 已知拋物線 的對(duì)稱軸為直線 ，其圖象與 軸相交于 ， 兩點(diǎn)，與 軸相交于點(diǎn) ．(1)  求 ， 的值；(2)  直線 與 軸相交于點(diǎn) ．①如圖 ，若 軸，且與線段 及拋物線分別相交于點(diǎn) ，，點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) ，求四邊形 面積的最大值；②如圖 ，若直線 與線段 相交于點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，求直線 的表達(dá)式． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是等腰直角三角形，，．(1)  求點(diǎn) 的坐標(biāo)；(2)  求經(jīng)過 ，， 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3)  在（）所求的拋物線上，是否存在一點(diǎn) ，使四邊形 的面積最大？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 的邊長(zhǎng)為 ，頂點(diǎn) ， 分別在 軸、 軸的正半軸上，拋物線 經(jīng)過 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 為拋物線的頂點(diǎn)，連接 ，，．(1)  求此拋物線的解析式．(2)  寫出其圖象是由二次函數(shù) 的圖象如何平移得到的？(3)  求四邊形 的面積． 已知拋物線 經(jīng)過 ， 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) ，直線 與拋物線交于 ， 兩點(diǎn)．(1)  寫出點(diǎn) 的坐標(biāo)并求出此拋物線的解析式．(2)  當(dāng)原點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)時(shí)，求 的值及 ， 兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)  是否存在實(shí)數(shù) 使得 的面積為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 如圖，拋物線 （，， 為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn) ，，．(1)  求拋物線的解析式．(2)  如圖，在直線 下方的拋物線上是否存在點(diǎn) 使四邊形 的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)  若點(diǎn) 為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試指出 為等腰三角形的點(diǎn) 一共有幾個(gè)？并求出其中某一個(gè)點(diǎn) 的坐標(biāo)． 已知二次函數(shù) ．(1)  求證：不論 為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與 軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)  設(shè) ，當(dāng)此函數(shù)圖象與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為 時(shí)，求出此二次函數(shù)的表達(dá)式．(3)  在（）的條件下，若此二次函數(shù)圖象與 軸交于 ， 兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn) ，使得 的面積為 ？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．     如圖，已知拋物線 經(jīng)過兩點(diǎn) ，， 是拋物線與 軸的交點(diǎn)．(1)  求拋物線的解析式；(2)  點(diǎn) 在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè) 的面積為 ，求 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量 的取值范圍）和 的最大值；(3)  點(diǎn) 在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 在 軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn) 、點(diǎn) 使得 ，且 與 相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 和點(diǎn) 的坐標(biāo)． 如圖，二次函數(shù) 的圖象交 軸于 ， 兩點(diǎn)，并經(jīng)過 點(diǎn)，已知 點(diǎn)坐標(biāo)是 ， 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．(1)  求二次函數(shù)的解析式．(2)  求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及 點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)  該二次函數(shù)的對(duì)稱軸交 軸于 點(diǎn)．連接 ，并延長(zhǎng) 交拋物線于 點(diǎn)，連接 ，，求 的面積．(4)  拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ，與 ， 兩點(diǎn)構(gòu)成 ，是否存在 ？若存在，請(qǐng)求出 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．
答案一、選擇題1.  【答案】B 2.  【答案】C 二、填空題3.  【答案】 【解析】設(shè)圓的半徑為 米，框架圍成的面積為 ，則矩形的一條邊為 米，另一條邊為 米，  也就是最大透光面積為 ．故答案為：． 4.  【答案】 ，， 【解析】在 中，當(dāng) 時(shí)，，  點(diǎn) 的坐標(biāo)為：，設(shè)點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 ，若 ，則 ，解得 ．當(dāng) 時(shí)，，解得 （舍去）或 ，此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ；當(dāng) 時(shí)，，解得 ，此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 或 ；綜上，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 或 或 ． 三、解答題5.  【答案】(1)  設(shè)拋物線解析式為 ，把 ，， 三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得： 解得：   拋物線解析式為 (2)  作 的垂直平分線 ，交 于點(diǎn) ，交 下方拋物線于點(diǎn) ，如圖 ，  ,此時(shí) 點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，  ,  ,  點(diǎn)縱坐標(biāo)為 ,代入拋物線解析式可得：， 解得：（小于 ，舍去）或 ．  存在滿足條件的 點(diǎn)，其坐標(biāo)為 ．(3)   點(diǎn) 在拋物線上，  可設(shè) ，過 作 軸于點(diǎn) ，交直線 于點(diǎn) ，如圖 ，  ，，  直線 解析式為 ， ， ， ，  當(dāng) 時(shí)， 最大值為 ，此時(shí) ，  當(dāng) 點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)， 的最大面積為 ． 6.  【答案】(1)  拋物線 經(jīng)過點(diǎn) ，，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 ，，，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 ．(2)  作直線 軸于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，作 ，垂足為 ，因?yàn)辄c(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，所以 ，由 得 ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，所以 ，所以 ，所以 ，直線 的函數(shù)表達(dá)式為 ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，所以 ，因?yàn)辄c(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，所以 ，  所以 ，解得 （舍），，所以 的值為 ．(3)   ，，，．【解析】(3)  如下圖所示，以 為邊或者以 為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖．以 為邊進(jìn)行構(gòu)圖，有 種情況，采用構(gòu)造全等進(jìn)行求解．因?yàn)? 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以 ， 的縱坐標(biāo)為 ， ，解得 ，（舍），可得 ，所以 ，所以 ， 的縱坐標(biāo)為 時(shí)，，解得：，，可得 ，所以 ，，所以 ，以 為對(duì)角線進(jìn)行構(gòu)圖，有 種情況，采用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．  所以 ． 7.  【答案】(1)  由題知拋物線在 軸上的交點(diǎn)為 和 ．設(shè)拋物線表達(dá)式為 ，  拋物線過 ， ，解得 ．  拋物線表達(dá)式為 ，即 ，對(duì)稱軸為直線 ．(2)  存在，連接 交對(duì)稱軸于點(diǎn) ，連接 ，． ， 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱， ．此時(shí) 的周長(zhǎng)最?。?/span>設(shè)直線 的表達(dá)式為 ，將 ， 代入可得  解得 即 ．當(dāng) 時(shí)，，  點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．(3)  存在．設(shè) ．過點(diǎn) 作 分別交 軸和 于點(diǎn) ，，過點(diǎn) 作 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，連接 ．根據(jù)（）中 的表達(dá)式 ，得 ． ． ，，，    當(dāng) 時(shí)， 的面積最大，最大值為 ．此時(shí) ，  此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 8.  【答案】(1)  根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為 ．  是拋物線的對(duì)稱軸， ．又 ， ，即 ．代入拋物線的解析式，得 ，解得 ．  二次函數(shù)的解析式為 或 ． (2)  ①設(shè)直線 的解析式為 ，  解得 即直線 的解析式為 ，設(shè) 坐標(biāo)為 ，則 點(diǎn)坐標(biāo)為 ， ，  的面積 ． ．  當(dāng) 時(shí)， 的面積最大，且最大值為 ；②如圖，連接 ．根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知 ，． ，過點(diǎn) 作 于 ，則在 中，， ，再過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，則 ，  線段 的長(zhǎng)就是 的最小值， ，又 ， ，即 ，  的最小值為 ．  9.  【答案】(1)   拋物線過原點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線 ，  點(diǎn)坐標(biāo)為 ，設(shè)拋物線解析式為 ，把 代入得 ，解得 ，  拋物線解析式為 ，即 ．(2)  設(shè) ，易得直線 的解析式為 ，設(shè)直線 的解析為 ，把 ， 代入得 解得   直線 的解析式為 ， ，  設(shè)直線 解析式為 ，把 代入得 ，解得 ，  直線 的解析式為 ，解方程組 得 則 ， ，當(dāng) 時(shí)， 有最大值 ，此時(shí) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ．(3)  設(shè) ， ，  當(dāng) 時(shí)，，即 ， ，即 ，解方程 得 （舍去），，此時(shí) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ；解方程 得 （舍去），，此時(shí) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ；  當(dāng) 時(shí)，，即 ， ，即 ，解方程 得 （舍去），（舍去），解方程 得 （舍去），，此時(shí) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ；綜上所述， 點(diǎn)坐標(biāo)為 或 或 ． 10.  【答案】(1)  把點(diǎn) 代入 得   ，   ；  二次函數(shù)解析式為 ，令 ，解得 ，， ．(2)  據(jù)題意，連接 ，交拋物線對(duì)稱軸與一點(diǎn) ，點(diǎn) 即為所求點(diǎn)． ，，直線 的解析式為 ，拋物線的對(duì)稱軸為 ，所以直線 與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 即 ．(3)  當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 ，當(dāng) 時(shí)，（舍）或 ，   ；當(dāng) 時(shí)， 或 ，   ，． ，，． 11.  【答案】(1)  由題意，得 所以 ，．(2)  ①如圖 ，連接 ．因?yàn)辄c(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) ，所以 ．由（）可得拋物線的表達(dá)式為 ，令 ，解得 ，，所以 ，．設(shè)直線 的表達(dá)式為 ，將 ， 代入，得 解得 所以直線 的表達(dá)式為 ．設(shè) ，，所以 ，四邊形 的面積為  所以當(dāng) 時(shí)，四邊形 的面積最大，最大值為 ．②當(dāng) 時(shí)， ，，所以 ．因?yàn)?，，所以 ，所以 ，所以 ．如圖 ，過點(diǎn) 作 交 于點(diǎn) ，所以 ．設(shè) ，則 ，，因?yàn)?，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．設(shè)直線 的表達(dá)式為 ，則 ，所以 ，所以直線 的表達(dá)式為 ． 12.  【答案】(1)  如圖 ，過 作 軸于點(diǎn) ，過 作 軸于點(diǎn) ，  為等腰三角形， ， ， ， ，在 和 中，   ， ， ，， ．(2)  由拋物線過 點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為 ，把 ， 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 解得   經(jīng)過 ，， 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ．(3)  由題意可知點(diǎn) 在線段 的下方，過 作 軸交 于點(diǎn) ，如圖 ，設(shè)直線 的解析式為 ， ， ，  直線 的解析式為 ，設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，，則 ，   ，由題意可得 ， ，   ，  當(dāng) 時(shí)，四邊形 的面積最大，此時(shí)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ．綜上，存在使四邊形 面積最大的點(diǎn) ，其坐標(biāo)為 ． 13.  【答案】(1)  由已知得 ，，把 ， 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 ，得 解得   該拋物線的解析式為 ．(2)  拋物線的解析式為 ，  該圖象是由二次函數(shù) 的圖象向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．（合理即可）(3)  由（）可知，拋物線頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，   14.  【答案】(1)  令拋物線 中 ，則 ，  點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．  拋物線 經(jīng)過 ， 兩點(diǎn)，  有 解得：   此拋物線的解析式為 ．(2)  將 代入 中得：，整理得：， ，．  原點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)， ，解得：．當(dāng) 時(shí)，，解得：，． ，．故當(dāng)原點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)時(shí)， 的值為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．(3)  假設(shè)存在．由（）知：，，   ，即 ．  非負(fù)，無解．故假設(shè)不成立．  不存在實(shí)數(shù) 使得 的面積為 ． 15.  【答案】(1)  設(shè) ，把 代入得 ， ， ．(2)  存在，如圖 ，連接 ，，分別過 ， 向 軸作垂線 和 ，垂足分別為 ，，設(shè) ，四邊形 的面積為 ，則 ，，，，，  當(dāng) 時(shí)， 有最大值為 ，這時(shí) ， ．(3)  這樣的 點(diǎn)一共有 個(gè)．連接 ，， ；因?yàn)? 在對(duì)稱軸上，所以設(shè) ，  是等腰三角形，且 ，由勾股定理得：， ， ． 16.  【答案】(1)  因?yàn)?，所以不論 為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與 軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)  設(shè) ， 是 的兩個(gè)根，則 ，．因?yàn)榇撕瘮?shù)圖象與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離是 ，所以 ．即 ，變形為 ，所以 ．整理，得 ，解得 或 ．又 ，所以 ．所以此二次函數(shù)的表達(dá)式為 ．(3)  設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于 ，所以 ．所以 ．所以 ，即 ，則 ．當(dāng) 時(shí)，，即 ，解得 ．當(dāng) 時(shí)，，即 ，解得 ．綜上所述，存在這樣的點(diǎn) ，點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，， 或 ． 17.  【答案】(1)  將 ， 代入 ，得： 解得：   拋物線的解析式為 ． (2)  過點(diǎn) 作 軸，交 于點(diǎn) ，如圖 所示．當(dāng) 時(shí)，，  點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．設(shè)直線 的解析式為 ，將 ， 代入 ，得： 解得：   直線 的解析式為 ．設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ， ，  當(dāng) 時(shí)， 面積取最大值，最大值為 ．  點(diǎn) 在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)， ． (3)  存在點(diǎn) 、點(diǎn) 使得 ，且 與 相似．如圖 ，，當(dāng)點(diǎn) 位于點(diǎn) 上方，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ， ，， ，若 與 相似，則 與 相似，設(shè) ，， ，，當(dāng) 時(shí)，， ，解得 ， ，此時(shí) ， ，當(dāng) 時(shí)，， ，解得 ， ，此時(shí) ．如圖 ，當(dāng)點(diǎn) 位于點(diǎn) 的下方，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，設(shè) ，， ，，同理可得： 或 ， 與 相似，解得 或 ，  或 ，此時(shí) 點(diǎn)坐標(biāo)為 或 ．綜合以上得，， 或 ， 或 ， 或 ，，使得 ，且 與 相似．  18.  【答案】(1)  二次函數(shù) 的圖象過 ，，所以 解得   二次函數(shù)解析式為 ．(2)  由 ，得 ，  函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．  點(diǎn) ， 是 與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)，  點(diǎn) ，對(duì)稱軸為 ，  點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．(3)  二次函數(shù)的對(duì)稱軸交 軸于 點(diǎn)．  點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． ，設(shè) 所在的直線解析式為 ，  解得   所在的直線解析式為 ．  點(diǎn)是 與 的交點(diǎn)， ，解得 ，， 當(dāng) 時(shí)，， ， (4)  存在．設(shè)點(diǎn) 到 軸的距離為 ．   ，．，   ，解得 ．當(dāng) 在 軸上方時(shí)，，解得 ，．當(dāng) 在 軸下方時(shí)，，解得 ，． ，，，．
 

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這是一份2023年中考數(shù)學(xué)高頻壓軸題突破—二次函數(shù)與角度附答案，共65頁。試卷主要包含了已知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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