3.萬有引力理論的成就   知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖核心素養(yǎng)目標(biāo)物理觀念：球體體積、密度公式、萬有引力定律和向心力公式．科學(xué)思維：(1)萬有引力提供向心力．(2)計算天體的質(zhì)量和密度的方法．科學(xué)探究：探究求天體質(zhì)量的方法及探索未知天體．科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：萬有引力定律在天體問題中的應(yīng)用．     知識點(diǎn)一　“稱量”地球的質(zhì)量閱讀教材第55頁“‘稱量’地球的質(zhì)量”部分．1.思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力．2．關(guān)系式：mg＝________.3．結(jié)果：m地＝________，只要知道，g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量． 圖解：明確各個物理量 知識點(diǎn)二　計算天體的質(zhì)量閱讀教材第56～57頁“計算天體的質(zhì)量”部分．設(shè)m太是太陽的質(zhì)量，m是某個行星的質(zhì)量，r是行星與太陽之間的距離，可測出該行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動的周期T.1．思路：行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力．2．關(guān)系式：G＝________.3．結(jié)論：m太＝________只要知道行星繞太陽運(yùn)動的周期T和半徑r就可以計算出太陽的質(zhì)量．4．推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計算行星的質(zhì)量m行，公式是m行＝________.知識點(diǎn)三　發(fā)現(xiàn)未知天體、預(yù)言哈雷彗星回歸閱讀教材第57～58頁“發(fā)現(xiàn)未知天體、預(yù)言哈雷彗星回歸”部分．1.已發(fā)現(xiàn)天體的軌道推算18世紀(jì)，人們觀測到太陽系第七顆行星——天王星的軌道和用萬有引力定律計算出來的軌道有一些偏差．2．發(fā)現(xiàn)未知天體根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運(yùn)行軌道結(jié)合萬有引力定律推算出未知天體的軌道，如________就是這樣發(fā)現(xiàn)的．3．哈雷彗星的回歸哈雷利用萬有引力定律解釋了1531年、1607年和1682年三次出現(xiàn)的________，實(shí)際上是同一顆彗星的三次________，它出現(xiàn)的周期約為76年．并預(yù)言它將于1758年底或1759年初再次回歸.1759年3月這顆彗星如期通過了近日點(diǎn)，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在2061年左右．　圖解　　　【思考辨析】　判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)在不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響時，地面上的物體的重力等于地球?qū)υ撐矬w的萬有引力．(　　)(2)知道引力常量G、地球的公轉(zhuǎn)周期和軌道半徑，就可以求出太陽質(zhì)量．(　　)(3)知道引力常量G、地球的公轉(zhuǎn)周期和軌道半徑，就可以求出地球質(zhì)量．(　　)(4)知道引力常量G、地球的半徑和地球表面的重力加速度，就可以求出地球質(zhì)量．(　　)(5)牛頓根據(jù)萬有引力定律計算出了海王星的軌道．(　　)(6)牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，同時測出了地球的質(zhì)量．(　　)(7)被稱為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”的是海王星．(　　)    要點(diǎn)一　天體質(zhì)量的計算　探究點(diǎn)1　若已知地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半徑R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量．   探究點(diǎn)2　如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽的距離r，能求出太陽的質(zhì)量嗎？   天體質(zhì)量的計算方法 重力加速度法環(huán)繞法情境已知天體(如地球)的半徑R和天體(如地球)表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動思路物體的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝G行星或衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力G＝m或G＝mω2r或G＝m2r結(jié)果天體(如地球)質(zhì)量：m地＝中心天體質(zhì)量：m中＝或m中＝或m中＝ 若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝G，所以有M＝，只要測出G，便可“稱量”地球的質(zhì)量． 題型一　利用天體表面的重力加速度計算質(zhì)量【例1】　“嫦娥四號”在人類歷史上首次實(shí)現(xiàn)在月球背面軟著陸和勘測．假定測得月球表面物體自由落體加速度為g，已知月球半徑R和月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期T，引力常量為G.根據(jù)萬有引力定律，就可以“稱量”出月球質(zhì)量了．月球質(zhì)量M為(　　)A．M＝　　　　B．M＝　　　C．M＝　　　D．M＝題型二　利用環(huán)繞法計算質(zhì)量【例2】　(多選)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，能計算出地球質(zhì)量的是(　　)A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動的速度及周期C．月球繞地球做圓周運(yùn)動的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽做圓周運(yùn)動的周期及地球與太陽間的距離 點(diǎn)撥：抓住要點(diǎn)，建立物理模型，利用環(huán)繞天體的相關(guān)物理量可計算出中心天體的質(zhì)量，或由中心天體質(zhì)量、環(huán)繞天體的道半徑、線速度、角速度、周期中的兩個物理量，可算出其他物理量；還要注意環(huán)繞天體做近地運(yùn)動時，中心天體半徑和道半徑的關(guān)系． 練1　對于環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星來說，它們繞地球做圓周運(yùn)動的周期會隨著軌道半徑的變化而變化，某同學(xué)根據(jù)測得的不同衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的半徑r與周期T的關(guān)系作出如圖所示圖像，則可求得地球質(zhì)量為(已知引力常量為G)(　　)A.　　　　　　　　　　　　　　B.C.  D.
 教你解決問題題干信息信息提取自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms該星體道上的物體做勻速圓周運(yùn)動的周期為5.19 ms假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體球體體積公式V＝πR3以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值萬有引力恰好提供向心力要點(diǎn)二　天體密度的計算1．利用天體表面的重力加速度求天體密度由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝.2．利用天體的衛(wèi)星求天體密度若已知中心天體的半徑R，環(huán)繞天體的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T，軌道半徑r，則可得G＝mr，中心天體質(zhì)量M＝ρ·πR3，聯(lián)立可得ρ＝.【例3】　2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms.假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　)A．5×109 kg/m3　　　　　　　B．5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3  點(diǎn)睛：(1)計算天體質(zhì)量、密度的方法不僅適用于計算地球和太陽的質(zhì)量、密度，也適用于其他星體．(2)注意區(qū)分R、r、h的意義，一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星(或衛(wèi)星)的道半徑，h指行星(或衛(wèi)星)距離中心天體表面的高度，r＝R＋h.練2　若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動的衛(wèi)星的周期是(　　)A. 　　　　　　　　　　　　　　　　B. C.   D. 練3　2019年1月3日10時26分，“嫦娥四號”探測器成功在月球背面著陸，標(biāo)志著我國探月航空工程進(jìn)入了一個新高度，圖示是“嫦娥四號”到達(dá)月球背面的巡視器．已知地球和月球的半徑之比為4:1，其表面的重力加速度之比為6:1.則地球和月球的密度之比為(　　)A．2:3  B．3:2C．4:1  D．6:1要點(diǎn)三　天體運(yùn)動的分析與計算　如圖，行星在圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動．(1)行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動時線速度的大小是由什么因素決定的？(2)行星、衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動時的線速度、角速度、周期和向心加速度與自身質(zhì)量有關(guān)嗎？        1.一個模型天體(包括衛(wèi)星)的運(yùn)動可簡化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動模型．2．兩條思路(1)萬有引力提供天體運(yùn)動的向心力G＝m＝mr＝mω2r.(2)黃金代換在天體表面上，天體對物體的萬有引力近似等于物體的重力，即G＝mg，從而得出Gm天＝gR2. 　　圖解r火>r地，v火<v地，ω火<ω地，a火<a地，T火>T地．越高越慢　　3．記住兩組公式(1)G＝m＝mω2r＝mr＝man(2)mg＝(g為星體表面處的重力加速度)即GM＝R2g，該公式通常被稱黃金代換．4．四個重要結(jié)論設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動．(1)由G＝m得v＝，r越大，天體的v越?。?/span>(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天體的ω越?。?/span>(3)由G＝m2r得T＝2π ，r越大，天體的T越大．(4)由G＝ma得a＝，r越大，天體的a越?。?/span>點(diǎn)睛：解決天體運(yùn)動問題的關(guān)鍵①建立物理模型——繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動．②應(yīng)用物理規(guī)律——萬有引力定律和圓周運(yùn)動規(guī)律．③利用“GM＝gR2”——“gR2”代換“GM”，簡化記憶和解題．　　　　　　　【例4】　如圖所示，是按一定比例尺繪制的太陽系五顆行星的軌道，可以看出，行星的軌道十分接近圓，由圖可知(　　)A．火星的公轉(zhuǎn)周期小于地球的公轉(zhuǎn)周期B．水星的公轉(zhuǎn)速度小于地球的公轉(zhuǎn)速度C．木星的公轉(zhuǎn)角速度小于地球的公轉(zhuǎn)角速度D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度  練4　火星探測任務(wù)“天問一號”的標(biāo)識如圖所示．若火星和地球繞太陽的運(yùn)動均可視為勻速圓周運(yùn)動，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3:2，則火星與地球繞太陽運(yùn)動的(　　)A．軌道周長之比為2:3B．線速度大小之比為:C．角速度大小之比為2:3D．向心加速度大小之比為9:4思考與討論　(教材P56)已知太陽與地球間的平均距離約為1.5×1011 m，你能估算太陽的質(zhì)量嗎？換用其他行星的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，結(jié)果會相近嗎？為什么？提示：能．地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T≈365天＝365×24×3600 s.根據(jù)＝mr得m太＝≈2.0×1030 kg換用其他行星的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，結(jié)果相近．因?yàn)?/span>m太＝，根據(jù)開普勒第三定律可知＝k，比值k是一個對所有行星都相同的常量，所以結(jié)果是十分相近的．
   1．(多選)下列說法正確的是(　　)A．海王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道發(fā)現(xiàn)的C．天王星的運(yùn)行軌道偏離根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道，其原因是天王星受到軌道外面其他行星的引力作用D．以上說法都不對2.土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如右圖)，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(　　)  A．5×1017 kg  B．5×1026 kgC．7×1033 kg  D．4×1036 kg3．(多選)科學(xué)家在研究地月組成的系統(tǒng)時，從地球向月球發(fā)射激光，測得激光往返時間為t.若還已知萬有引力常量G，月球繞地球旋轉(zhuǎn)(可看成勻速圓周運(yùn)動)的周期T，光速c(地球到月球的距離遠(yuǎn)大于它們的半徑)．則由以上物理量可以求出(　　)A．月球到地球的距離  B．地球的質(zhì)量C．月球受地球的引力  D．月球的質(zhì)量4．(多選)澳大利亞科學(xué)家宣布，在離地球約14光年的“紅矮星Wolf 1061”周圍發(fā)現(xiàn)了三顆行星b、c、d，它們的公轉(zhuǎn)周期分別是5天、18天、67天，公轉(zhuǎn)軌道可視為圓，如圖所示．已知引力常量為G.下列說法正確的是(　　)A．可求出b、c的公轉(zhuǎn)半徑之比B．可求出c、d的向心加速度之比C．若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出“紅矮星”的質(zhì)量D．若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出“紅矮星”的密度5．“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時間可認(rèn)為繞月做勻速圓周運(yùn)動，圓周半徑為月球半徑的K倍．已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g.則“嫦娥四號”繞月球做圓周運(yùn)動的速率為(　　)A.   B. C.   D. 6．(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動，甲的軌道半徑是乙的2倍．下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有(　　)A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝可知，甲的向心力是乙的D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍     3．萬有引力理論的成就基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)·研讀教材知識點(diǎn)一2．G　3.知識點(diǎn)二2．mr　3.　4.知識點(diǎn)三2．海王星3．彗星　回歸思考辨析答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√互動課堂·合作探究要點(diǎn)一探究點(diǎn)1　提示：根據(jù)mg＝G得m地＝，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入可得m地≈6.0×1024 kg.探究點(diǎn)2　提示：能．由G＝知m太＝.【例1】　【解析】　在月球表面重力與萬有引力相等，有G＝mg，可得月球質(zhì)量M＝，故A錯誤，B正確；由題意知T為月球繞地球運(yùn)動的周期，據(jù)此如果知道地月距離可以計算中心天體地球的質(zhì)量，但不能求得環(huán)繞天體月球的質(zhì)量，故C、D均錯誤．【答案】　B【例2】　【解析】　由于不考慮地球自轉(zhuǎn)，設(shè)地球的質(zhì)量為M、半徑為R，則對于地球表面附近質(zhì)量為m0的物體有G＝m0g，故可得M＝，A項(xiàng)正確；設(shè)人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m1，人造衛(wèi)星在地面附近繞地球運(yùn)動的速度為v、周期為T，由萬有引力提供人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的向心力，有G＝m1，v＝，聯(lián)立得M＝，B項(xiàng)正確；設(shè)月球質(zhì)量為m2，繞地球運(yùn)動的周期為T′、半徑為r，由萬有引力提供月球繞地球運(yùn)動的向心力，有G＝m22r，故可得M＝，C項(xiàng)正確；根據(jù)地球繞太陽做圓周運(yùn)動的周期及地球與太陽間的距離只能求出中心天體太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，D項(xiàng)錯誤．【答案】　ABC練1　解析：由萬有引力提供向心力有G＝mr，得r3＝，由題圖可知，＝＝，所以地球的質(zhì)量為M＝，故B正確，A、C、D錯誤．答案：B要點(diǎn)二【例3】　【解析】　星體自轉(zhuǎn)的最小周期發(fā)生在其赤道上的物體所受向心力正好全部由引力提供時，根據(jù)牛頓第二定律：G＝mR；又因?yàn)?/span>V＝πR3、ρ＝；聯(lián)立可得ρ＝≈5×1015kg/m3，選項(xiàng)C正確．【答案】　C練2　解析：設(shè)星體半徑為R，則其質(zhì)量M＝πρR3；在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動的衛(wèi)星所受萬有引力提供向心力，有G＝m··R，聯(lián)立解得T＝ ，故A選項(xiàng)正確，B、C、D選項(xiàng)錯誤．答案：A練3　解析：在星球表面的物體，重力和萬有引力相等，即G＝mg，則該星球的質(zhì)量為M＝.因?yàn)樵撔乔虻捏w積為V＝πR3，則該星球的密度為ρ＝；所以地球和月球的密度之比＝·＝·＝，故選B.答案：B要點(diǎn)三　提示：(1)由G＝m得v＝，可見行星線速度的大小是由恒星的質(zhì)量和行星繞恒星運(yùn)動的軌道半徑共同決定的．(2)無關(guān)．因?yàn)樵诘仁?/span>G＝man＝m＝mω2r＝mr各項(xiàng)中都含有m，可以消掉．【例4】　【解析】　根據(jù)萬有引力提供向心力有：＝m2r＝m＝mrω2＝ma，可得：公轉(zhuǎn)周期T＝，火星的軌道半徑大于地球，故其公轉(zhuǎn)周期大于地球，故A錯誤；公轉(zhuǎn)速度v＝，水星的軌道半徑小于地球，故其公轉(zhuǎn)速度大于地球，故B錯誤；公轉(zhuǎn)角速度ω＝，木星的軌道半徑大于地球，故其公轉(zhuǎn)角速度小于地球，故C正確；向心加速度a＝，金星的軌道半徑小于地球，故金星的向心加速度大于地球，故D錯誤．【答案】　C練4　解析：火星與地球軌道周長之比等于公轉(zhuǎn)軌道半徑之比，A項(xiàng)錯；火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝，所以火星與地球線速度大小之比為:，B項(xiàng)錯；角速度大小之比為2:3，C項(xiàng)對；向心加速度大小之比為4:9，D項(xiàng)錯．答案：C隨堂演練·達(dá)標(biāo)檢測1．解析：海王星是人們先根據(jù)萬有引力定律計算出軌道，然后又被天文工作者觀察到的．天王星是人們通過望遠(yuǎn)鏡觀察發(fā)現(xiàn)的．天王星的運(yùn)行軌道偏離根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道引起了人們的思考，推測天王星外面存在其他行星．綜上所述，選項(xiàng)A、C正確．答案：AC2．解析：由萬有引力定律和牛頓第二定律有F＝G＝m2r，得土星的質(zhì)量M＝，代入數(shù)據(jù)知M＝5×1026 kg，選項(xiàng)B正確．答案：B3．解析：根據(jù)激光往返時間為t和激光的速度可求出月球到地球的距離，故A正確；又因知道月球繞地球旋轉(zhuǎn)的周期T，根據(jù)G＝m2r可求出地球的質(zhì)量M＝，故B正確；我們只能計算中心天體的質(zhì)量，故D錯誤；因不知月球的質(zhì)量，無法計算月球受地球的引力，故C錯誤．答案：AB4．解析：行星b、c的周期分別為5天、18天，均做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)開普勒第三定律＝k，可以求出軌道半徑之比，A正確．行星c、d的周期分別為18天、67天，同上可以求出軌道半徑之比，根據(jù)萬有引力提供向心力，有G＝ma，解得a＝，故可以求出c、d的向心加速度之比，B正確．已知c的公轉(zhuǎn)半徑和周期，根據(jù)牛頓第二定律有G＝m，解得M＝，故可以求出“紅矮星”的質(zhì)量，但不知道“紅矮星”的體積，無法求出“紅矮星”的密度，C正確，D錯誤．答案：ABC5．解析：設(shè)月球質(zhì)量為m、半徑為r則地球質(zhì)量為Qm、半徑R＝Pr探測器繞月運(yùn)動半徑為Kr＝K·①地球表面重力加速度大小為g，則＝m0g②探測器繞月運(yùn)動，由牛頓第二定律得＝m′③由①②③式得v＝ ，故D正確．答案：D6．解析：兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動，甲的軌道半徑是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，則乙的速度是甲的倍，選項(xiàng)A錯誤；由ma＝，可得a＝，則乙的向心加速度是甲的4倍，選項(xiàng)B錯誤；由F＝，結(jié)合兩人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可知甲的向心力是乙的，選項(xiàng)C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動，且甲的軌道半徑是乙的2倍，結(jié)合開普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2倍，選項(xiàng)D正確．答案：CD  

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3 萬有引力理論的成就

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