7.3  萬有引力理論的成就 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】  了解重力等于萬有引力的條件.  了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.  會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量.  會(huì)應(yīng)用萬有引力定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識求解天體運(yùn)動(dòng)的有關(guān)物理量．【知識要點(diǎn)】一、“稱量”地球質(zhì)量1．天體表面物體受引力問題①不考慮自轉(zhuǎn)        M＝②考慮自轉(zhuǎn)二、計(jì)算天體質(zhì)量1．計(jì)算天體質(zhì)量的方法計(jì)算衛(wèi)星的質(zhì)量：由＝mr，得M＝.2．天體密度的計(jì)算方法(1)由天體表面的重力加速度g和半徑R，求此天體的密度．(2)  ①若天體的某個(gè)行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，中心天體的半徑為R，則ρ＝.                    ②近地衛(wèi)星，則有R＝r，此時(shí)ρ＝.                                 三、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算1．（1）萬有引力提供向心力G＝ma＝m＝mω2r＝mr(2)物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體重力，mg＝G，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”．【題型分類】題型一、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算例1　一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則地球的質(zhì)量可表示為(　　)A.   B.C.   D.【答案】　AC【解析】　根據(jù)G＝mr得，M＝，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在地球的表面附近有mg＝G，則M＝，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.例2　若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地.若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面.已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)(1)月球表面的自由落體加速度大小g月.(2)月球的質(zhì)量M.(3)月球的密度.【答案】　(1)　(2)　(3)【解析】　(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)h＝g月t2，月球表面的自由落體加速度大小g月＝.(2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有G＝mg月，月球的質(zhì)量M＝.(3)月球的密度ρ＝＝＝.【同類練習(xí)】1.近年來，人類發(fā)射的火星探測器已經(jīng)在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動(dòng)人心的科學(xué)探索(如發(fā)現(xiàn)了冰)，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并測得它運(yùn)動(dòng)的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個(gè)常量)(　　)A．ρ＝kT   B．ρ＝C．ρ＝kT2   D．ρ＝【答案】　D【解析】　根據(jù)萬有引力定律得G＝mR，可得火星質(zhì)量M＝，又火星的體積V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝＝，D正確。2.如圖所示，是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達(dá)7年的“艱苦”旅行，進(jìn)入繞土星飛行的軌道．若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達(dá)式正確的是(　　)A．M＝，ρ＝                 B．M＝，ρ＝C．M＝，ρ＝              D．M＝，ρ＝【答案】D【解析】：由G＝m(R＋h)，又T＝，得：M＝由ρ＝，V＝πR3得：ρ＝，故選項(xiàng)D正確。題型二、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算例3　質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的(　　)A．線速度v＝   B．角速度ω＝C．運(yùn)行周期T＝2π  D．向心加速度a＝解析　探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，萬有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，所以A正確，D錯(cuò)誤；又由于不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B錯(cuò)誤，C正確．答案　AC例4　據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“55 Cancri e”．該行星繞母星(中心天體)運(yùn)行的周期約為地球繞太陽運(yùn)行周期的，母星的體積約為太陽的60倍．假設(shè)母星與太陽密度相同，“55 Cancri e”與地球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則“55 Cancri e”與地球的(　　)A．軌道半徑之比約為 B．軌道半徑之比約為 C．向心加速度之比約為 D．向心加速度之比約為 解析　由公式G＝m()2r，可得通式r＝ ，設(shè)“55 Cancri e”的軌道半徑為r1，地球軌道半徑為r2，則＝ ＝ ，從而判斷A錯(cuò)，B對；再由G＝ma得通式a＝G，則＝·＝ ＝，所以C、D皆錯(cuò)．答案　B【同類練習(xí)】1.設(shè)土星繞太陽的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若測得土星到太陽的距離為r，土星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期為T，引力常量為G，則根據(jù)以上數(shù)據(jù)可解得的物理量有(　　)A．土星線速度的大小  B．土星加速度的大小C．土星的質(zhì)量   D．太陽的質(zhì)量解析：選ABD　由v＝知選項(xiàng)A正確；由a＝＝r知選項(xiàng)B正確；由G＝mr知M＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。2.如圖所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶。假設(shè)該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是(　　)A．太陽對各小行星的引力相同B．各小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期均小于一年C．小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于外側(cè)小行星的向心加速度值D．小行星帶內(nèi)各小行星圓周運(yùn)動(dòng)的線速度值均大于地球公轉(zhuǎn)的線速度值解析　由于各小行星的質(zhì)量和軌道半徑不同，根據(jù)萬有引力定律可知太陽對各小行星的引力不同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；太陽對小行星的萬有引力提供小行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由G＝mr，可得T＝，又小行星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，可知各小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期均大于一年，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由G＝ma可得a＝，可知小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于外側(cè)小行星的向心加速度值，選項(xiàng)C正確；由G＝m可得v＝ ，可知小行星帶內(nèi)各小行星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度值均小于地球公轉(zhuǎn)的線速度值，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案　C【成果鞏固訓(xùn)練】1.火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為(　　)A.0.2g   B.0.4gC.2.5g   D.5g【答案】　B【解析】　在星球表面有mg＝，設(shè)火星表面的重力加速度為g火，則 ＝＝0.4，故B正確.2.關(guān)于萬有引力定律應(yīng)用于天文學(xué)研究的歷史事實(shí)，下列說法中正確的是(　　)A.天王星、海王星和冥王星，都是運(yùn)用萬有引力定律、經(jīng)過大量計(jì)算后發(fā)現(xiàn)的B.在18世紀(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的7個(gè)行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七個(gè)行星——天王星的運(yùn)動(dòng)軌道總是同根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出來的結(jié)果有比較大的偏差，于是有人推測，在天王星軌道外還有一個(gè)行星，是它的存在引起了上述偏差C.海王星是牛頓運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律，經(jīng)大量計(jì)算而發(fā)現(xiàn)的D.冥王星是英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的【答案】　B【解析】　天王星是通過觀察發(fā)現(xiàn)的，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；海王星是英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.3.土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1 μm到10 m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距離從7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為14 h，引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(估算時(shí)不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用)(　　)A．9.0×1016 kg   B．6.4×1017 kgC．9.0×1025 kg   D．6.4×1026 kg【答案】　D【解析】土星“光環(huán)”的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝。其中r為軌道半徑，大小為1.4×105 km，T為繞土星運(yùn)動(dòng)的周期，約為14 h，代入數(shù)據(jù)得：M≈6.4×1026 kg，D正確。4.(2019·昆明市三中高一下學(xué)期月考)若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(　　)A.            B.           C.          D.【答案】　A【解析】　由G＝mr得M∝，則＝·＝，A正確。5.據(jù)報(bào)道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個(gè)在地球表面重量為600 N 的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?/span>960 N.由此可推知，該行星的半徑與地球半徑的比值為(　　)A.0.5                B.2             C.3.2            D.4【答案】　B【解析】　若地球質(zhì)量為M0，則“宜居”行星質(zhì)量為M＝6.4M0，由mg＝G得＝·＝，所以＝＝＝2，選項(xiàng)B正確.6.一物體從某行星表面某高度處自由下落。從物體開始下落計(jì)時(shí)，得到物體離行星表面高度h隨時(shí)間t變化的圖像如圖所示，不計(jì)阻力。則根據(jù)h－t圖像可以計(jì)算出(　　)A．行星的質(zhì)量                                  B．行星的半徑C．行星表面重力加速度的大小                    D．物體受到行星引力的大小【答案】C【解析】：根據(jù)圖像可得物體下落25 m，用的總時(shí)間為2.5 s，根據(jù)自由落體公式可求得行星表面的重力加速度，C項(xiàng)正確；根據(jù)行星表面的萬有引力約等于重力，只能求出行星質(zhì)量與行星半徑平方的比值，不能求出行星的質(zhì)量和半徑，A項(xiàng)和B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槲矬w質(zhì)量未知，不能確定物體受到行星的引力大小，D項(xiàng)錯(cuò)誤。7.科學(xué)家們推測，太陽系的第十顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”。由以上信息我們可能推知(　　)A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等        B．這顆行星的自轉(zhuǎn)周期與地球相等C．這顆行星質(zhì)量等于地球的質(zhì)量          D．這顆行星的密度等于地球的密度【答案】　A【解析】　由題意知，該行星的公轉(zhuǎn)周期應(yīng)與地球的公轉(zhuǎn)周期相等，這樣，從地球上看，它才能永遠(yuǎn)在太陽的背面。故A正確。行星的自轉(zhuǎn)周期、質(zhì)量和密度都只與行星本身有關(guān)，而與繞中心天體如何運(yùn)行無關(guān)，B、C、D錯(cuò)誤。8.進(jìn)入21世紀(jì)，我國啟動(dòng)了探月計(jì)劃——“嫦娥工程”。同學(xué)們也對月球有了更多的關(guān)注。(1)若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；(2)若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)。已知月球半徑為r，萬有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M月。【答案】：(1)　(2)【解析】：(1)根據(jù)萬有引力定律和向心力公式G＝M月R月()2①mg＝G②聯(lián)立①②得R月＝。(2)設(shè)月球表面的重力加速度為g月，根據(jù)題意：v0＝③mg月＝G④聯(lián)立③④得　M月＝。9.某星球“一天”的時(shí)間T＝6 h，用彈簧測力計(jì)在星球的“赤道”上比在“兩極”處測同一物體的重力時(shí)讀數(shù)小10%，設(shè)想該星球自轉(zhuǎn)的角速度加快，使赤道上的物體會(huì)自動(dòng)飄起來，這時(shí)星球的“一天”是多少小時(shí)？【答案】：1.9 h,　【解析】：設(shè)該物體在星球的“赤道”上時(shí)重力為G1，在兩極處時(shí)重力為G2。在“赤道”上G－G1＝mω2R ①在“兩極”處G＝G2 ②依題意得G2－G1＝0.1G2 ③設(shè)該星球自轉(zhuǎn)的角速度增大到ωx時(shí)，赤道上的物體自動(dòng)飄起來，這里的自動(dòng)飄起來是指星球表面與物體間沒有相互作用力，物體受到的萬有引力全部提供其隨星球自轉(zhuǎn)所需的向心力，則有G＝mωR????????????? ④又ωx＝，ω＝ ⑤由①～⑤得Tx＝ h≈1.9 h，即赤道上的物體自動(dòng)飄起來時(shí)，這時(shí)星球的“一天”是1.9 h。10.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。求：(1)地球的密度；(2)地球自轉(zhuǎn)的角速度增大到原來的多少倍，地球?qū)?huì)瓦解。【答案】：(1)　(2)倍【解析】：(1)物體在地球兩極時(shí)，引力等于重力，則有mg0＝；物體在赤道上時(shí)，引力與支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律，則有－mg＝mR，綜上可得g0－g＝R，故有R＝，M＝，ρ＝＝(2)設(shè)地球剛要瓦解時(shí)的周期為T′，由分析可得＝mR，g0＝，聯(lián)立解得g0＝R，又因?yàn)?/span>g0－g＝R，則＝。解得＝，故自轉(zhuǎn)角速度增大到原來的倍時(shí)地球?qū)?huì)瓦解。

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