課時(shí)跟蹤檢測 （七）  等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式1．[多選]下列說法中不正確的是(　　)A．等比數(shù)列中的某一項(xiàng)可以為0B．等比數(shù)列中公比的取值范圍是(－∞，＋∞)C．若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)常數(shù)列的公比為1D．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列解析：選ABD　對于A，因?yàn)榈缺葦?shù)列中的各項(xiàng)都不為0，所以A不正確；對于B，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比不為0，所以B不正確；對于C，若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)常數(shù)不為0，根據(jù)等比數(shù)列的定義知此數(shù)列的公比為1，所以C正確；對于D，只有當(dāng)a，b，c都不為0時(shí)，a，b，c才成等比數(shù)列，所以D不正確．故選A、B、D.2．已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝(　　)A．64  B.81C．128  D.243解析：選A　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題知a2＋a3＝a1q＋a2q＝q(a1＋a2)＝6，又因?yàn)?/span>a1＋a2＝3，所以q＝2，a1＝1，所以a7＝a1·q6＝26＝64.3．等差數(shù)列{an}中，d＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝(　　)A．－4  B.－6C．－8  D.－10解析：選B　由題知a1＝a2－d＝a2－2，a3＝a2＋d＝a2＋2，a4＝a2＋2d＝a2＋4.因?yàn)?/span>a1，a3，a4成等比數(shù)列，所以a＝a1·a4，即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.4．(2020·溫州中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列，則q＝(　　)A．1或－  B.1C．－  D.－2解析：選A　由題意，可知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.∴a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1或－.5．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝4an＋6(n∈N*)且a1＞0，則下列數(shù)列中是等比數(shù)列的是(　　)A．{an＋6}  B.{an＋1}C．{an＋3}  D.{an＋2}解析：選D　由an＋1＝4an＋6可得an＋1＋2＝4an＋8＝4(an＋2)，因此＝4，又a1＞0，所以an＞0，從而an＋2＞0(n∈N*)，故{an＋2}是等比數(shù)列．6．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＋2a2＝4，a＝4a3a7，則a5＝________.解析：設(shè)公比為q，則由題意，得所以所以a5＝2×4＝.答案：7．已知等比數(shù)列{an}中的前三項(xiàng)為a,2a＋2,3a＋3，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：因?yàn)?/span>2a＋2為等比中項(xiàng)，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)，整理得a2＋5a＋4＝0，解得a＝－1或a＝－4.但當(dāng)a＝－1時(shí)，第二、三項(xiàng)均為零，故a＝－1應(yīng)舍去，綜上，a＝－4.答案：－48．在7和56之間插入a，b兩數(shù)，使7，a，b,56成等差數(shù)列，插入c，d兩數(shù)，使7，c，d,56成等比數(shù)列，則a＋b＋c＋d＝________.解析：∵7，a，b,56成等差數(shù)列，∴a＋b＝7＋56＝63.∵7，c，d,56成等比數(shù)列，∴公比q3＝＝8.∴q＝2.∴c＝14，d＝28.∴c＋d＝42.∴a＋b＋c＋d＝105.答案：1059．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，∴由①，得a1＝q，由②，得q＝2或q＝，又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝q＝2，∴an＝2n.10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列．解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)．所以a1＝－.又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.(2)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，又a1＝－，所以是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列．  1．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q≠1，＝a11，則k＝(　　)A．12  B.15C．18  D.21解析：選D　＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1＞0，q≠1，∴＝10，∴k＝21，故選D.2．(2020·哈爾濱六中高三月考)明代朱載堉對文藝的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了“十二平均律”，此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國的鍵盤樂器上，包括鋼琴，故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”．“十二平均律”是指一個(gè)八度有十三個(gè)單音，相鄰兩個(gè)單音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)單音的頻率是第一個(gè)單音的頻率的2倍，設(shè)第二個(gè)單音的頻率為f2，第八個(gè)單音的頻率為f8，則等于(　　)A.  B.C.  D.解析：選A　依題意知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q，則a13＝a1q12，且a13＝2a1，∴q＝2， ∴＝＝q6＝＝.3．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，S2＝8，S4＝32，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，則{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝________.解析：設(shè)公差為d，公比為q，由已知得∴又∵b2(a2－a1)＝b1，∴q＝＝＝＝.∴bn＝2×n－1.答案：2×n－14．在各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.(1)求證：{an}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式．(2)試問－是這個(gè)等比數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，指明是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由．解：(1)證明：∵2an＝3an＋1，∴＝，故{an}是等比數(shù)列，且其公比為.∵a1q·a1q4＝，∴a＝，又a1＜0，∴a1＝－，∴an＝n－1＝－n－2.(2)由(1)的結(jié)論，令－＝－n－2，得4＝n－2，解得n＝6，為正整數(shù)，則－是該數(shù)列的第6項(xiàng)．5．設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列．(1)證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由．解：(1)證明：因?yàn)?/span>＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一個(gè)常數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，aa4依次構(gòu)成等比數(shù)列．(2)令a1＋d＝a，則a1，a2，a3，a4分別為a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．假設(shè)存在a1，d使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列，則a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝，則1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化簡得t3＋2t2－2＝0　(*)，且t2＝t＋1.將t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，則t＝－.顯然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.3 等比數(shù)列

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