?思想02 運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題
【命題規(guī)律】
高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值．高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合，二是著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識，重在領(lǐng)會、運用，屬于思維的范疇，用于對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．
【核心考點目錄】
核心考點一：研究函數(shù)的零點、方程的根、圖象的交點
核心考點二：解不等式、求參數(shù)范圍、最值問題
核心考點三：解決以幾何圖形為背景的代數(shù)問題
核心考點四：解決數(shù)學(xué)文化、情境問題
【真題回歸】
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，

因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設(shè)，，
所以，，
所以


，其中，，
因為，所以，即；
故選：D
????????
2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】設(shè)，，由可得．
要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，
解得或．
①當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；
②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有個零點，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；
④當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有個零點，則，
可得，解得，此時．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．
【答案】13
【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為．
故答案為：13．


4．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，設(shè)，于是，
因為，所以，故的取值范圍是．
故答案為：．
5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________
【答案】???? ????
【解析】方法一：

，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，所以．
故答案為：；．
方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：

，，
，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時，最大，此時．
故答案為：；．
【方法技巧與總結(jié)】
1、以形助數(shù)（數(shù)題形解）：借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)與形之間的關(guān)系，把抽象問題具體化，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想．
2、以數(shù)輔形（形題數(shù)解）：借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性、嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，把直觀圖形數(shù)量化，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想．
【核心考點】
核心考點一：研究函數(shù)的零點、方程的根、圖象的交點
【典型例題】
例1．（2023·河北衡水·高三周測）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，，則在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程的根的個數(shù)為（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，
所以，即，所以函數(shù)的周期為，
當(dāng)時，則，此時，
即，
由，，得，分別作出函數(shù)和，的圖象，如圖所示，

則由圖象可知兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為個，即方程的零點個數(shù)為個．
故選：D．
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則實數(shù)的取值范圍是
A． B．， C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)函數(shù)任意一點關(guān)于直線對稱的點為，
則，所以，
而P在函數(shù)上，所以，即，
所以函數(shù)恒過定點，
（1）當(dāng)時，，設(shè)直線與相切于點，
，
整理可得，解得，
所以；
（2）當(dāng)時，，
設(shè)直線與函數(shù)相切于點點，
，整理可得，解得，
所以，
故，即時，
在時，函數(shù)與的圖象相交有2個交點；
在時，函數(shù)與的圖象相交有2個交點，
故函數(shù)與的圖象相交有4個交點時的的范圍是．
故選：C．


例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－ （x

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