?專題04 數(shù)列的通項(xiàng)、求和及綜合應(yīng)用
【命題規(guī)律】
數(shù)列是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，大小均有．其中，小題重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，和其它知識(shí)綜合考查的趨勢(shì)明顯（特別是與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合問題），浙江卷小題難度加大趨勢(shì)明顯；解答題的難度中等或稍難，隨著文理同卷的實(shí)施，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度．往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合．在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考查“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等，與不等式結(jié)合，“放縮”思想及方法尤為重要．?dāng)?shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合問題，也應(yīng)適度關(guān)注．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的基本量問題
核心考點(diǎn)二：證明等差等比數(shù)列
核心考點(diǎn)三：等差等比數(shù)列的交匯問題
核心考點(diǎn)四：數(shù)列的通項(xiàng)公式
核心考點(diǎn)五：數(shù)列求和
核心考點(diǎn)六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
核心考點(diǎn)六：實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題
核心考點(diǎn)七：以數(shù)列為載體的情境題
【真題回歸】
1．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
2．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．
【答案】2
【解析】由可得，化簡(jiǎn)得，
即，解得.
故答案為：2.
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．
4．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【解析】（1）因?yàn)?，即①?br /> 當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
5．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
(3)求．
【解析】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因?yàn)樗砸C，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因?yàn)?br /> ，
所以
，
設(shè)
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
6．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又
所以

【方法技巧與總結(jié)】
1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列滿足（常數(shù)）（，）不能判斷數(shù)列為等差數(shù)列，需要補(bǔ)充證明；
2、數(shù)列滿足，則是等差數(shù)列；
3、數(shù)列滿足，為非零常數(shù)，且，則為等比數(shù)列；
4、在處理含，的式子時(shí)，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；但是有些題目雖然要求的通項(xiàng)公式，但是并不便于運(yùn)用，這時(shí)可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項(xiàng)公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項(xiàng)公式，注意在使用上述方法求通項(xiàng)公式時(shí)，要對(duì)第一項(xiàng)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)．
6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（1）形如（，），可變形為，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；
（2）形如（，），此類問題可兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問題；
（3）形如，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問題．
7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為進(jìn)行討論．
8、用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：，，裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．
常見的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)：
（1）要善于通過通項(xiàng)公式特征識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
（2）在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；
（3）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：
（1）若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前項(xiàng)和；
（2）通項(xiàng)公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；
（3）要善于識(shí)別一些變形和推廣的分組求和問題．
11、在等差數(shù)列中，若（，，，，），則．
在等比數(shù)列中，若（，，，，），則．
12、前項(xiàng)和與積的性質(zhì)
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．
①，，，…也成等差數(shù)列，公差為．
②也是等差數(shù)列，且，公差為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，．
若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則，．
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為
①當(dāng)時(shí)，，，，…也成等比數(shù)列，公比為
②相鄰項(xiàng)積，，，…也成等比數(shù)列，公比為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，沒有較好性質(zhì)．
13、衍生數(shù)列
（1）設(shè)數(shù)列和均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為，，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等差數(shù)列，公差為．
②數(shù)列，也是等差數(shù)列，而是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列和均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為．
②數(shù)列，，，，，
也是等比數(shù)列，而是等差數(shù)列．
14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．
15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項(xiàng)為例，最小值項(xiàng)同理）
方法：利用數(shù)列的單調(diào)性；
方法2：設(shè)最大值項(xiàng)為，解方程組，再與首項(xiàng)比較大小．
【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的基本量問題
【規(guī)律方法】
利用等差數(shù)列中的基本量（首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)），等比數(shù)列的基本量（首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)）翻譯條件，將問題轉(zhuǎn)換成含基本量的方程或不等式問題求解．
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由已知，
解得，

故選：D.
例2．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，則=（????）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，即，
等式兩邊開方可得：，即，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以.
故選：C．
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前4項(xiàng)之積為64，則（????）
A．1 B． C．2 D．1或
【答案】D
【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公比為，數(shù)列共有項(xiàng)，則滿足首項(xiàng)為，公比為，項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，
因?yàn)樗许?xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，所以，
所以，，
故滿足，解得，
又，
所以.
故選：D
例4．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（????）
A．1 B．2 C．81 D．80
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，解?
又，，成等比數(shù)列，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，
則，即，整理得.
因?yàn)?，所?
所以.
故選:C.
例5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，
∴，
當(dāng)時(shí)，

，
∵n＝1時(shí)，，∴，
，
故選：D.
例6．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），所以.從而，故
，
，
兩式相減，得
，所以.所以.
故選：C.
例7．（2022·江蘇無錫·高三期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（????）
A．1460 B．1472
C．1666 D．1678
【答案】C
【解析】有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，
由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，2，14，26，38，50，…，182，194是兩個(gè)數(shù)列的相同項(xiàng).
共有個(gè)，也是等差數(shù)列，
它們的和為，
這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為1666.
故選：C.
核心考點(diǎn)二：證明等差等比數(shù)列
【規(guī)律方法】
判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見的方法如下．
（1）定義法：對(duì)于的任意正整數(shù)：
①若為一常數(shù)，則為等差數(shù)列；
②若為常數(shù)，則為等比數(shù)列．
（2）通項(xiàng)公式法：
①若，則為等差數(shù)列；
（2）若，則為等比數(shù)列．
（3）中項(xiàng)公式法：
①若，則為等差數(shù)列；
②若，則為等比數(shù)列．
（4）前項(xiàng)和法：若的前項(xiàng)和滿足：
①，則為等差數(shù)列．
②，則為等比數(shù)列．
【典型例題】
例8．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）將兩側(cè)同除，
可得，，
又因?yàn)椋?br /> 即數(shù)列是首項(xiàng)為1，,公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，，即，
則，

.
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，由得，
∴，又∵，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴，
∵，
∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知，∴
∵，
∴
∴
，
∴.
例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，.
(1)求，；
(2)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，則，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，則，即，解得，
所以，.
（2）因?yàn)椋?br /> 所以，且，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故，則.
例11．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．
(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；
(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，
（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．
【解析】（1）由題意知的取值為，
； ；
；
所以X的分布列為

0
1
2




所以；
（2）（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，
時(shí)，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，
于是有 ，即 ，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列;
（ii） ，所以 ，
當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時(shí)，球落在甲手上的概率趨向于一個(gè)常數(shù).
例12．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）已知數(shù)列滿足：，．
(1)求，；
(2)設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(3)求數(shù)列前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．
【解析】（1）依題意，數(shù)列滿足：，，
所以.
（2），

.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（3），，
所以，
所以.
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)的乘積.
(1)若為常數(shù)列，求這個(gè)常數(shù)；
(2)若，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）已知，當(dāng)時(shí)，有，
因?yàn)闉槌?shù)列，所以
故這個(gè)常數(shù)為2.
（2）已知，
所以當(dāng)時(shí)，，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，，
因此的首項(xiàng)為1，且從第二項(xiàng)開始，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【解析】，，，即，解得：；
由題意知：；由得：，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，則.
例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）問題：已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項(xiàng)公式﹔若不存在，說明理由．
在①﹔②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】選①：


，即是以2為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列
，即
當(dāng)時(shí)，
顯然，時(shí)，上式不成立，所以.
選②：當(dāng)時(shí)，，即
所以
整理得
又，
所以從第二項(xiàng)起，是以2為公比，4為首項(xiàng)的等比數(shù)列
當(dāng)時(shí)，，即
顯然，時(shí)，上式成立，所以
選③：

又
是以2為公比和首項(xiàng)的等比數(shù)列
，即
核心考點(diǎn)三：等差等比數(shù)列的交匯問題
【規(guī)律方法】
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．
【典型例題】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項(xiàng)（其中是公差不為的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由得：，
，則，
為等比數(shù)列，等比數(shù)列的公比為；
當(dāng)時(shí)，，，解得：，

（2）假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng)，
由（1）得：，又，；
成等比數(shù)列，，即，
成等差數(shù)列，，，
，
整理可得：，又，，
即，解得：，則，與已知中是公差不為的等差數(shù)列相矛盾，
假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在滿足題意的項(xiàng).
例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列中是否存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)，并證明你的結(jié)論．
【解析】（1），，則當(dāng)時(shí)，，即，而，因此，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，即，所以.
（2）記，由（1）知，，不妨假設(shè)存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，則，因?yàn)?，所以，令，則，于是有對(duì)是遞增的，則，即，因此，即，其左邊為負(fù)數(shù)，右邊為正數(shù)，矛盾，所以數(shù)列中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)．
例18．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中成等差數(shù)列，則__________．
【答案】9
【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，
即，又，
所以或（不符合題意，舍去）.
所以，
故答案為：9.
例19．（2022·湖北·高三期中）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則=______．
【答案】?1
【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且是數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，解得，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，
則.
故答案為：.
例20．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)利為，若，，1成等比數(shù)列，且，則的公差的取值范圍為______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，?成等比數(shù)列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范圍為．
故答案為：．
例21．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為零，等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù)．若，，且是正整數(shù)，則的值可以是______．
【答案】
【解析】由題意知：是首項(xiàng)為，公差為，且的等差數(shù)列，
是首項(xiàng)為，公比為，且的等比數(shù)列，
∴，
要使為正整數(shù)，即為正整數(shù)，
∵，，∴，
設(shè)，，即，即，
又∵，∴為正整數(shù)，
則滿足范圍的的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又，
即，
又由題意知：，且為有理數(shù)，
∴，∴只有當(dāng)時(shí)，滿足題意，
此時(shí)：.
故答案為：.
例22．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））對(duì)于集合A，，定義集合. 己知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，，．設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，，將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前30項(xiàng)和_________.
【答案】1632
【解析】為正項(xiàng)等比數(shù)列，則，解得或（舍），∴；
為等差數(shù)列，則，∴，∴.
由，可得當(dāng)時(shí)，，
故數(shù)列的前30項(xiàng)包含數(shù)列前33項(xiàng)除去數(shù)列第2、4、6項(xiàng)，
.
故答案為：1632
例23．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)數(shù)列，滿足，，則它們的公共項(xiàng)由小到大排列后組成新數(shù)列．在和中插入個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)和______．
【答案】1589
【解析】，數(shù)列是以2首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
，，，，
因?yàn)?，所以，，?br /> 知顯然不是數(shù)列中的項(xiàng)．
，
是數(shù)列中的第4項(xiàng)，
設(shè)是數(shù)列中的第項(xiàng)，則、．
，
不是數(shù)列中的項(xiàng)．
，
是數(shù)列中的項(xiàng)．
，，，，，
數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
因?yàn)椋?br /> 所以的前項(xiàng)包括的前項(xiàng)，以及的前項(xiàng)，
所以

故答案為：.
核心考點(diǎn)四：數(shù)列的通項(xiàng)公式
【規(guī)律方法】
常見求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有如下六種：
（1）觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法猜想其通項(xiàng)公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒數(shù)法：形如的關(guān)系式
（6）構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（比）數(shù)列構(gòu)造為等差（比）數(shù)列來求通項(xiàng)公式．
【典型例題】
例24．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）在數(shù)列中.，是其前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，恒有、、成等比數(shù)列，則___________
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，由題可得，即，
化簡(jiǎn)得，得，
兩邊取倒數(shù)得，
，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
所以，.
故答案為：.
例25．（2022·黑龍江·肇州縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列_____________．
【答案】
【解析】由題意可得，
所以，
所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 故答案為：
例26．（2022·福建·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，整理得，
設(shè)公差為，則，即，
所以，
所以.
故答案為：.
例27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】由兩邊取倒數(shù)可得，即．
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3等差數(shù)列.
所以，所以．
故答案為：.
例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則__________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
則，即有，當(dāng)時(shí)，，得，滿足上式，
，，因此數(shù)列是常數(shù)列，即，所以.
故答案為：
例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br /> 整理得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列，所以，解得．
故答案為：.
例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式_________
【答案】
【解析】依題意，，
所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
，
所以，
經(jīng)檢驗(yàn)，也符合上式. 所以.
綜上所述， .
故答案為： .
例31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（），則___________
【答案】
【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，因此，
化簡(jiǎn)整理得，而，有，即有，，
因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，
所以.
故答案為：
例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_____________.
【答案】
【解析】由得，，
則，
即，又，所以.
故答案為：.
例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率______（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】易知擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為．“第次由甲擲”這一事件，包含事件“第n次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲”和事件“第n次由乙擲，第次由甲擲”，這兩個(gè)事件發(fā)生的概率分別為，，
故（其中），
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
于是，即．
故答案為：
核心考點(diǎn)五：數(shù)列求和
【規(guī)律方法】
求數(shù)列前項(xiàng)和的常見方法有以下四種．
（1）公式法：利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（2）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng)．其方法核心有兩點(diǎn)：一是裂項(xiàng)，將一個(gè)式子分裂成兩個(gè)式子差的形式；二是要能相消．常見的裂項(xiàng)相消變換有以下形式．
①分式裂項(xiàng)：；
②根式裂項(xiàng)：；
③對(duì)數(shù)式裂項(xiàng)；
④指數(shù)式裂項(xiàng)
（3）錯(cuò)位相減法
（4）分組轉(zhuǎn)化法
【典型例題】
例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.
（2）因?yàn)?，所以?br /> 所以.
（3）由（1）知，可得，
所以，①
又因?yàn)?，?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以①②，得，
所以.
例35．（2022·陜西渭南·一模（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，即，
又各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，即.
因?yàn)闈M足上式，
所以是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列.
所以.
設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?br /> 所以，
解得（或舍去），
所以.
（2），
所以，
，
兩式相減得：

所以.
例36．（2022·陜西渭南·一模（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式的解集為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
關(guān)于的不等式的解集為.
和4是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有，
解得，所以，.
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可得，，
則.
數(shù)列的前項(xiàng)和

.
例37．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）（1）解法一??由知，
可得，，…，，
則，（累乘法的應(yīng)用）
即，又，所以，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，（注意驗(yàn)證的情況）
所以．
解法二??由知，
又，則是以－2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以．
（2）由（1）知
，
故．
例38．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)公比為，由題意得
解得

（2）
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
．
例39．（2022·四川省蓬溪縣蓬南中學(xué)高三階段練習(xí)）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列滿足：；
(1)判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）將兩邊同除
得：，
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，


是“指數(shù)型數(shù)列”
（2）因?yàn)?，則

.
例40．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））數(shù)列滿足，（為正常數(shù)），且，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）數(shù)列滿足,，
可得成等差數(shù)列，即奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,設(shè)公差為,
且偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,公比為,且，，,
可得,,
解得,
則,化為
（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
數(shù)列的前項(xiàng)和



當(dāng)為奇數(shù)時(shí),


當(dāng)時(shí)也適合上式.
綜上:
例41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)闉楣顬榈牡炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，
且
所以，解得，則公差，
所以，
由于，所以，

（2）由于，
，

，
所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和，


例42．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故，則；
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，
所以.
（2）由（1）知，令，得，
故當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，易知，，，，
所以；
綜上：.
核心考點(diǎn)六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
【典型例題】
例43．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（????）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【答案】A
【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，顯然的最小值是.
又，∴
，即的最小值是.
故選：A
例44．（2022·福建三明·高三期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．是數(shù)列中的最大值
C． D．?dāng)?shù)列無最大值
【答案】C
【解析】等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，
又由，即，又，則有或，
又當(dāng)時(shí)，可得，由，則與矛盾
所以，則有，
由此分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因?yàn)椋郧绊?xiàng)積為中，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；
對(duì)于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
例45．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，由已知得，，，
則.
當(dāng)時(shí)，，滿足.
所以，.
設(shè)，則.
設(shè)數(shù)列中的第項(xiàng)最大，則應(yīng)滿足，即，整理可得
解得，又，所以，，
又.
所以，數(shù)列中的最大項(xiàng)為.
故選：C.
例46．（2022·全國(guó)·安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（????）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?br /> 當(dāng)時(shí)，解得：
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：
數(shù)列是首相為，公比為2得等比數(shù)列
所以，所以
易得
，即
，即
所以，即
易知時(shí)， ，，，，
滿足 ，所以
所以，
故選：C
例47．（2022·山西運(yùn)城·高三期中）已知數(shù)列滿足，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，可知為等比數(shù)列，所以，故，進(jìn)而，所以
，
故，即，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的奇數(shù)，滿足，由于單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，有最大值 ，所以,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，滿足，由于單調(diào)遞減， ，
綜上可得 ，
同理，
故當(dāng) 時(shí)， ，故，
綜上：，
故選：D
例48．（2022·山東聊城·高三期中）若函數(shù)使得數(shù)列，為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（????）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，對(duì)，，
即，
即，對(duì)恒成立，
由于在上單調(diào)遞增，故，
故.
即.
故選：B
例49．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)積為32，，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，
因?yàn)?，所以?br /> 從而
不妨令，則，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，
故對(duì)于，，，
從而，則.
故的取值范圍為.
故選：D.
例50．（2022·北京八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，
則，解得，
故的取值范圍是
故選：D
例51．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由①，可得②，所以②－①得，即.因?yàn)椋?，故是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合，故.
顯然隨著增大而增大，隨著增大而減小，且，，
故要使得恒成立，則.
故選：B
核心考點(diǎn)六：實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題
【規(guī)律方法】
解數(shù)列應(yīng)用題的一般步驟
（1）閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)題意數(shù)列問題模型．
（3）應(yīng)用數(shù)列知識(shí)求解．
（4）將數(shù)列問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等．
【典型例題】
例52．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購(gòu)買40套住房，總房?jī)r(jià)1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率，當(dāng)付清全部房款時(shí)，各次付款的總和為（????）
A．1205萬元 B．1255萬元 C．1305萬元 D．1360萬元
【答案】B
【解析】由題意知，還的次數(shù)為次，每次付款本金均為50萬元，利息依次為構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，
則所還欠款利息總額為萬元，故各次付款的總和為萬元.
故選：B.
例53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元.余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第n月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列結(jié)論正確的是（????）（參考數(shù)據(jù)：，）
①
②
③2020年小王的年利潤(rùn)約為40000元
④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達(dá)41萬
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
【答案】A
【解析】對(duì)于①選項(xiàng)，元，故①錯(cuò)誤
對(duì)于②選項(xiàng)，第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則第月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意故②正確；
對(duì)于③選項(xiàng)，由得
所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為1.2的等比數(shù)列，
所以，即
所以2020年小王的年利潤(rùn)為元，故③正確；
對(duì)于④選項(xiàng)，兩年后，小王手中現(xiàn)款為元，即41萬，故④正確.
故選：A.
例54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（????）（取，）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
【答案】B
【解析】設(shè)，從6月份起每月底用于下月進(jìn)貨的資金依次記為，，…，，，同理可得，
所以，
而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.2，
所以，，
∴總利潤(rùn)為，
故選:B．
例55．（2022·云南昭通·高三階段練習(xí)（文））某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高28萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高112萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1100萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要（????）
A．2806萬元 B．2906萬元 C．3106萬元 D．3206萬元
【答案】A
【解析】設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬元，設(shè)備費(fèi)為萬元，則，且，解得，故.依題意，，即，所以，總費(fèi)用為：.
故選：A.
例56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對(duì)于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（????）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【解析】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,
則每輪新增感染人數(shù)為，
經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，
∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時(shí)，，化簡(jiǎn)得，
由，故得，又∵平均感染周期為7天，
所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要天，
故選：B
核心考點(diǎn)七：以數(shù)列為載體的情境題
【規(guī)律方法】
1、應(yīng)用數(shù)列知識(shí)解決此類問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——等差、等比數(shù)列模型．
2、需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，觀察給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式．
3、求解時(shí)要明確目標(biāo)，認(rèn)清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題，然后通過數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出結(jié)果，并回歸實(shí)際問題中，進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論．
【典型例題】
例57．（2022·上海市行知中學(xué)高三期中）定義：對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿足下面兩個(gè)條件：
（1）是的一個(gè)排列；
（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個(gè)數(shù)列：
①數(shù)列的前項(xiàng)和；
②數(shù)列：1，2，3，4，5；
③數(shù)列：1，2，3，4，5，6.
具有“性質(zhì)”的為________；具有“變換性質(zhì)”的為_________.
【答案】???? ①???? ②
【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，
，
，2，3，為完全平方數(shù)
數(shù)列具有“性質(zhì)”；
對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為3，2，1，5，4，具有“性質(zhì)”， 數(shù)列具有“變換性質(zhì)”；
對(duì)于③，，1都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，，2，3，4，5，6，不具有“變換性質(zhì)”．
故答案為：①；②．
例58．（2022·江蘇·沭陽縣建陵高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，組成一個(gè)新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個(gè)數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進(jìn)行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到數(shù)列；第次拓展得到數(shù)列.設(shè)，其中___________，___________.
【答案】???? ????
【解析】由題意可知，第1次得到數(shù)列1，3，2，此時(shí)，
第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時(shí)，
第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時(shí)，
第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時(shí)，
第次得到數(shù)列1，，，，，，2，此時(shí)，
由上述列出的數(shù)列可得：，
所以，
所以，
故答案為：；；
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需要經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），①若，則使得至少需要_______步雹程；②若；則m所有可能取值的和為_______．
【答案】???? 9???? 385
【解析】m=13，依題意， ，
共9共 步驟；
若， ，??或，
若，
若，
的集合為 ，其和為385；
故答案為：9,385.
例60．（2022·全國(guó)·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此規(guī)律類推．若其前n項(xiàng)和，則稱k為的一個(gè)理想數(shù)．將的理想數(shù)從小到大依次排成一列，則第二個(gè)理想數(shù)是______；當(dāng)?shù)捻?xiàng)數(shù)時(shí)，其所有理想數(shù)的和為______．
【答案】???? 2???? 115
【解析】由題意可知 ,故第一個(gè)理想數(shù)為1，第二個(gè)理想數(shù)為2，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列可分為：
第1組1個(gè)數(shù)：1，其和為，
第2組2個(gè)數(shù)：，，其和為，
第3組3個(gè)數(shù)：，，，其和為，
……，
第N組N個(gè)數(shù)：，，，…，，其和為，
于是，前N組共個(gè)數(shù)，其和為，
當(dāng)時(shí)，不可能是2的整數(shù)冪，
設(shè)第組還有t個(gè)數(shù)（），這t個(gè)數(shù)的和為，
所以項(xiàng)數(shù)，其前n項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，若，則是的一個(gè)理想數(shù)．
由項(xiàng)數(shù)，即得，
由，因此．
當(dāng)時(shí)，，理想數(shù)為6；當(dāng)時(shí)，，理想數(shù)為14；
當(dāng)時(shí)，，理想數(shù)為30；當(dāng)時(shí)，，理想數(shù)為62；
所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)時(shí)，所有理想數(shù)的和為．
故答案為：2；115
例61．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________；若，，且數(shù)列是“數(shù)列”，則t的取值范圍是___________.
【答案】???? ????
【解析】∵，，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴；
∴，則，
∵數(shù)列是“數(shù)列”，∴對(duì)任意n≥2，均成立，
即對(duì)于任意n≥2，均成立，
∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故≥，
∴，解得t

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