?專題13 圓錐曲線壓軸解答題?？继茁窔w類
【命題規(guī)律】
解析幾何是高考數(shù)學的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計算量大．令同學們畏懼．通過對近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點：
（1）解析幾何通性通法研究；
（2）圓錐曲線中最值、定點、定值問題；
（3）解析幾何中的常見模型；
解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”．所有的解析幾何試題都是圍繞這八個字的內(nèi)容與三大核心考點展開．
【核心考點目錄】
核心考點一：軌跡方程
核心考點二：向量搭橋進行翻譯
核心考點三：弦長、面積背景的條件翻譯
核心考點四：斜率之和差商積問題
核心考點五：弦長、面積范圍與最值問題
核心考點六：定值問題
核心考點七：定點問題
核心考點八：三點共線問題
核心考點九：中點弦與對稱問題
核心考點十：四點共圓問題
核心考點十一：切線問題
核心考點十二：定比點差法
核心考點十三：齊次化
核心考點十四：極點極線問題
【真題回歸】
1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．

（1）求點P到橢圓上點的距離的最大值；
（2）求的最小值．




2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．
（1）求C的方程；
（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M．從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：
①M在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．




3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．
（1）求C的方程；
（2）設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．




4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．
（1）求E的方程；
（2）設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．




5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面積．





【方法技巧與總結(jié)】
1、直接推理計算，定值問題一般是先引入?yún)?shù)，最后通過計算消去參數(shù)，從而得到定值．
2、先猜后證，從特殊入手，求出定點或定值，再證明定點或定值與參數(shù)無關(guān)．
3、建立目標函數(shù)，使用函數(shù)的最值或取值范圍求參數(shù)范圍．
4、建立目標函數(shù)，使用基本不等式求最值．
5、根據(jù)題設不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)取值范圍．
【核心考點】
核心考點一：軌跡方程
【規(guī)律方法】
求動點的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程．
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線方程；
（2）過點的直線與雙曲線交于異支兩點，求點的軌跡方程．




例2．（2022春·吉林遼源·高三遼源市第五中學校?？计谥校┮阎^定點的直線交曲線于A，B兩點．
（1）若直線的傾斜角為，求；
（2）若線段的中點為，求點的軌跡方程．




例3．（2022·全國·高三專題練習）在學習數(shù)學的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題．
（1）已知動點為圓外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；
（2）若動點為橢圓外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，求出動點的軌跡方程；
（3）在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動點的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．




核心考點二：向量搭橋進行翻譯
【規(guī)律方法】
把幾何語言轉(zhuǎn)化翻譯為向量語言，然后用向量知識來解決．
【典型例題】
例4．（2023·廣西南寧·南寧二中校考一模）已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點和上頂點B，且（其中A為右頂點）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，求實數(shù)m的取值范圍．




例5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的離心率，點、之間的距離為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由．




例6．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線與圓交于點第一象限，曲線為、上取滿足的部分．
（1）若，求b的值；
（2）當，與x軸交點記作點、，P是曲線上一點，且在第一象限，且，求；
（3）過點斜率為的直線l與曲線只有兩個交點，記為M、N，用b表示，并求的取值范圍．




例7．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，是C上一點．
（1）求C的方程；
（2）過點的直線與C交于兩點A，B，與直線交于點N．設，，求證：為定值．




核心考點三：弦長、面積背景的條件翻譯
【規(guī)律方法】
首先仍是將題目中的基本信息進行代數(shù)化，坐標化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設點設線、直由聯(lián)立、看判別式、韋達定理．
將有關(guān)弦長、面積背景的問題進行條件翻譯時，一般是應用弦長公式、點到直線的距離公式及面積公式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長）將有關(guān)弦長、面積的條件翻譯為：（1）關(guān)于某個參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)要求求出最值；（2）關(guān)于某個參數(shù)的方程，根據(jù)要求得出參數(shù)的值或兩參數(shù)間的關(guān)系．
【典型例題】
例8．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且當軸時，．
（1）求的方程；
（2）設在點處的切線交軸于點，證明：．




例9．（2022春·江蘇徐州·高三期末）已知橢圓：的離心率為，直線過C的焦點且垂直于x軸，直線被C所截得的線段長為．
（1）求C的方程；
（2）若C與y軸的正半軸相交于點P，點A在x軸的負半軸上，點B在C上，，，求的面積．




例10．（2022春·浙江金華·高三期末）已知雙曲線上一點，直線交于，點．
（1）證明：直線與直線的斜率之和為定值；
（2）若的外接圓經(jīng)過原點，求的面積．




核心考點四：斜率之和差商積問題
【規(guī)律方法】
在面對有關(guān)等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時，可設法將條件翻譯成關(guān)于斜率的關(guān)系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關(guān)系式，再根據(jù)要求做進一步的推導判斷．
【典型例題】
例11．（2022·浙江·模擬預測）已知曲線C上的任意一點到點和直線的距離之比恒為．
（1）求曲線C的方程；
（2）記曲線的左頂點為A，過的直線l與曲線C交于P，Q兩點，P，Q均在y軸右側(cè)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點．若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．




例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中學?？计谀┤鐖D，已知拋物線C：，過焦點F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點，且與其準線交于點D．

（1）若線段AB的長為5，求直線的方程；
（2）在C上是否存在點M，使得對任意直線l，直線的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點M的坐標；若不存在，請說明理由．




例13．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓的右頂點為，若點在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求面積的最大值．




例14．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓：的離心率為，是上一點．
（1）求的方程．
（2）設，分別為橢圓的左、右頂點，過點作斜率不為0的直線，與交于，兩點，直線與直線交于點，記的斜率為，的斜率為．證明：①為定值；②點在定直線上．




核心考點五：弦長、面積范圍與最值問題
【規(guī)律方法】
弦長和面積的最值問題首先需要將弦長和面積表達出來，弦長可用弦長公式求出；面積的表達以直線與橢圓相交得到的為例，總結(jié)一下高考中常見的三角形面積公式．對于，有以下三種常見的表達式：
①（隨時隨地使用，但是相對比較繁瑣，想想弦長公式和點到直線距離）②（橫截距已知的條件下使用）
③（縱截距已知的條件下使用）
【典型例題】
例15．（2021秋·上海普陀·高三曹楊二中階段練習）已知橢圓，過點作關(guān)于軸對稱的兩條直線，且與橢圓交于不同兩點與橢圓交于不同兩點，．

（1）已知經(jīng)過橢圓的左焦點，求的方程；
（2）證明：直線與直線交于點；
（3）求線段長的取值范圍．




例16．（2022·四川達州·統(tǒng)考一模）平面直角坐標系 ?中， 已知橢圓?， 橢圓??．設點?為橢圓?上任意一點， 過點?的直線?交橢圓?于?兩點， 射線?交橢圓?于點?．
（1）求 ?的值；
（2）求 ?面積的最大值．




例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中學校考期末）已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切．

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的直線，與橢圓分別交于四點，如圖，求四邊形的面積的取值范圍．




核心考點六：定值問題
【規(guī)律方法】
求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
【典型例題】
例18．（2022春·廣東肇慶·高三肇慶市第一中學?？茧A段練習）已知雙曲線的離心率是2，直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的右支交于兩點．當直線垂直于軸時，．
（1）求雙曲線的標準方程．
（2）記雙曲線的左?右頂點分別是，直線與交于點，試問點是否恒在某直線上？若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．




例19．（2022春·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：的右焦點為F，上頂點為，下頂點為，為等腰直角三角形，且直線與圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線l交橢圓C于D，E兩點（異于點，），直線，相交于點Q．證明：點Q在一條平行于x軸的直線上．




例20．（2022春·北京豐臺·高三北京豐臺二中?？茧A段練習）已知橢圓過點為．
（1）求橢圓的方程及其焦距；
（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別與軸交于點，求的值．




核心考點七：定點問題
【規(guī)律方法】
求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
【典型例題】
例21．（2023·河南鄭州·高三階段練習）已知拋物線（其中）的焦點為，點、分別為拋物線上兩個動點，滿足以為直徑的圓過點，設點為的中點，當時，點的坐標為．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線、與拋物線的另一個交點分別為、，點、分別為、的中點，證明：直線過定點．




例22．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習）已知橢圓C：的離心率為，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線經(jīng)過點A，且點F到直線的距離為
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：與橢圓C交于E、F兩點（E、F兩點與A、B兩點不重合），且以EF為直徑的圓過橢圓C的右頂點，證明：直線l過定點，并求出該定點坐標．




例23．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）已知動圓與圓及圓中的一個外切，另一個內(nèi)切．
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）若直線與軌跡相交于、兩點，以線段為直徑的圓經(jīng)過軌跡與軸正半軸的交點，證明直線經(jīng)過一個不在軌跡上的定點，并求出該定點的坐標．




核心考點八：三點共線問題
【規(guī)律方法】
證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；（2）距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上；（5）點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線．（6）面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”．
【典型例題】
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知的右焦點為，點到的一條漸近線的距離為，過點的直線與相交于兩點．當軸時，．
（1）求的方程．
（2）若，是直線上一點，當三點共線時，判斷直線的斜率是否為定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由．




例25．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．




例26．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設、分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓上一點（不在坐標軸上），直線交軸于點，為直線上一點，且，求證：、、三點共線．




核心考點九：中點弦與對稱問題
【規(guī)律方法】
對于中點弦問題常用點差法解決．
【典型例題】
例27．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓E：的離心率為，點A，B分別為橢圓E的左右頂點，點C在E上，且面積的最大值為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設F為E的左焦點，點D在直線x＝﹣4上，過F作DF的垂線交橢圓E于M，N兩點．證明：直線OD平分線段MN．




例28．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習）已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
（1）求C的方程；
（2）若，試問C上是否存在P，Q兩點關(guān)于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存在，請說明理由．




例29．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為，準線為，記準線與軸的交點為，過作直線交拋物線于，（）兩點．

（1）若，求的值；
（2）若是線段的中點，求直線的方程；
（3）若，是準線上關(guān)于軸對稱的兩點，問直線與的交點是否在一條定直線上？請說明理由．




核心考點十：四點共圓問題
【規(guī)律方法】
證明四點共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．
方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內(nèi)對角時，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角）．
方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．
【典型例題】
例30．（2022春·山西運城·高三?？茧A段練習）已知點在拋物線上，過動點作拋物線的兩條切線，切點分別為?，且直線與直線的斜率之積為．
（1）證明：直線過定點；
（2）過?分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為?，問：是否存在一點使得???四點共圓？若存在，求所有滿足條件的點；若不存在，請說明理由．




例31．（2022·浙江麗水·高三統(tǒng)考競賽）如圖，已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，過分別作拋物線的切線，交于點．過拋物線上一點（在下方）作切線，交于點．

（1）當時，求面積的最大值；
（2）證明四點共圓．




例32．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且．設動點P形成的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的標準方程；
（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點共圓．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．




核心考點十一：切線問題
【規(guī)律方法】
（1）若點是圓上的點，則過點的切線方程為．
（2）若點是圓外的點，由點向圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
（3）若點是橢圓上的點，則過點的切線方程為．
（4）若點是橢圓外的點，由點P向橢圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
【典型例題】
例33．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右頂點分別為，過左焦點的直線與橢圓交于點（點在點的上方）．

（1）求證：直線的斜率乘積為定值；
（2）過點分別作橢圓的切線，設兩切線交于點，證明：．




例34．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓上，為坐標原點
（1）求橢圓的標準方程
（2）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的切線，切點分別為，，不在坐標軸上），若直線的橫縱截距分別為，，求證：為定值




例35．（2023·全國·高三專題練習）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點．

（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設點為拋物線準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中為切點．設直線，的斜率分別為，，求證：為定值．




核心考點十二：定比點差法
【典型例題】
例36．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求




例37．已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．




例38．已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．




核心考點十三：齊次化
【典型例題】
例39．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．




例40．如圖，橢圓，經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q（均異于點，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．




例41．已知橢圓，設直線不經(jīng)過點且與相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點．




核心考點十四：極點極線問題
【典型例題】
例42．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．




例43．（2022·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點．
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上．




例44．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓與軸的交點（點A位于點的上方），為左焦點，原點到直線的距離為．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設，直線與橢圓交于不同的兩點，求證：直線與直線的交點在定直線上．




【新題速遞】
1．（2023春·福建泉州·高三階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，分別以PQ，PF為直徑作圓和圓，且圓和圓交于P，R兩點，且．

（1）求動點的軌跡E的方程；
（2）若直線：交軌跡E于A，B兩點，直線：與軌跡E交于M ，D兩點，其中點M在第一象限，點A，B在直線兩側(cè)，直線與交于點且，求面積的最大值．




2．（2023·北京·高三專題練習）已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，其離心率為，一個焦點為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，直線分別與直線相交于兩點，若為銳角，求直線斜率的取值范圍．




3．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若在點處的切線為，函數(shù)的圖象在點處的切線為，，求直線的方程．




4．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為，右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，．

（1）若的面積為，求橢圓的標準方程；
（2）如圖，過點作斜率的直線l交橢圓于不同兩點M，N，點M關(guān)于x軸對稱的點為S，直線交x軸于點T，點P在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點Q，使，記四邊形的面積為，求的最大值．




5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：的右頂點為，過左焦點F的直線交橢圓于M，N兩點，交軸于P點，，，記，，（為C的右焦點）的面積分別為．
（1）證明：為定值；
（2）若，，求的取值范圍．




6．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率，．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程．




7．（2023·全國·高三專題練習）設分別是橢圓的左?右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，到直線的距離為3，連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，設是橢圓上的一點，過兩點的直線交軸于點，若，求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點，其中點的坐標為，若點是線段垂直平分線上一點，且滿足，求實數(shù)的值．




8．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，為橢圓的左?右頂點，焦距長為，點在橢圓上，直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的方程；
（2）已知為坐標原點，點，直線交橢圓于點不重合），直線交于點．求證：直線的斜率之積為定值，并求出該定值．




9．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是橢圓的上、下焦點，直線過點且垂直于橢圓長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為．
（1）求軌跡的方程；
（2）若動點在直線上運動，且過點作軌跡的兩條切線、，切點為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性．




10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓＋＝1（a＞b＞0），右焦點F（1，0），離心率為，過F作兩條互相垂直的弦AB，CD．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積的取值范圍．




11．（2023·全國·高三專題練習）如圖，橢圓，經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q（均異于點，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．





12．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，，若，求的值．




13．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點為，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求的取值范圍．




14．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點，，動點在橢圓上，且使得的點恰有兩個，動點到焦點的距離的最大值為．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求弦長的取值范圍．




15．（2023·全國·高三專題練習）已知、分別為橢圓的左、右焦點，且右焦點的坐標為，點在橢圓上，為坐標原點．

（1）求橢圓的標準方程
（2）若過點的直線與橢圓交于兩點，且，求直線的方程；
（3）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的兩條切線，切點分別為，（，不在坐標軸上），若直線在軸、軸上的截距分別為、，那么是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．




16．（2023·全國·高三專題練習）某同學在探究直線與橢圓的位置關(guān)系時發(fā)現(xiàn)橢圓的一個重要性質(zhì)：橢圓在任意一點，處的切線方程為．現(xiàn)給定橢圓，過的右焦點的直線交橢圓于，兩點，過，分別作的兩條切線，兩切線相交于點．
（1）求點的軌跡方程；
（2）若過點且與直線垂直的直線（斜率存在且不為零）交橢圓于，兩點，證明：為定值．







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