2023高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題15 周期性、單調(diào)性奇偶性對(duì)稱性的靈活運(yùn)用（精講精練）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題15 周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性的靈活運(yùn)用
【命題規(guī)律】
從近五年的高考情況來(lái)看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用
核心考點(diǎn)二：函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用
核心考點(diǎn)三：已知奇函數(shù)
核心考點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題
核心考點(diǎn)五：利用中心對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題
核心考點(diǎn)六：利用周期性和對(duì)稱性解決函數(shù)問(wèn)題
核心考點(diǎn)七：類周期函數(shù)
核心考點(diǎn)八：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性
核心考點(diǎn)九：函數(shù)性質(zhì)的綜合

【真題回歸】
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（????）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?，，，，所?br /> 一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)椋?，即?br /> 因?yàn)椋裕?br /> 代入得，即，
所以，
．
因?yàn)椋?，即，所以?br /> 因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br /> 聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)?，所以?br /> 所以．
故選：D
3．（多選題）（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤．
故選：BC．
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法．
由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC．
故選：BC．
[方法三]：
因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤．
故選：BC．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．
【答案】???? ；???? ．
【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性
若，則的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參

函數(shù)為奇函數(shù)

[方法三]：
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻?，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
【方法技巧與總結(jié)】
1、單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；
②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；
④得出結(jié)論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結(jié)論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2、奇偶性技巧
（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．
（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足．
（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．
（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．
（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．
對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．
（8）常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)：①函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3、周期性技巧

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．
5、對(duì)稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用
【典型例題】
例1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】顯然當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則對(duì)稱軸為，
若是上減函數(shù)，則解得，
故選：A．
例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假設(shè)，
所以，所以，
所以為奇函數(shù)，
而是向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以的對(duì)稱中心為，所以，
由求導(dǎo)得
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即，取等號(hào)，
所以所以在R上單調(diào)遞增，
因?yàn)榈?br /> 所以，解得，
故選：B
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且滿足，則下列正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴（舍去），或，即，故A錯(cuò)誤；
又，故，
∴，對(duì)于函數(shù)，
則，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，故D錯(cuò)誤；
∵，，
∴，
令，則，
∴函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，即，
∴，即，故B正確；
∵，
∴函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，即，故C錯(cuò)誤．
故選：B．
核心考點(diǎn)二：函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用
【典型例題】
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵為偶函數(shù)，
∴，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，可得，
整理得，，
解得或．
故選：B．
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為（???）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，
因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，
所以在R上為增函數(shù)，
因?yàn)?，所以，?br /> 所以，
所以不等式可化為，
所以，解得或，
所以不等式的解集為，
故選：C
例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，則使不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
且，不等式即為．
又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式等價(jià)于，
則，所以，，解得．
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：A．
例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，又，，
所以不等式，可化為，
即，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以，
解得．
故選：D．
例8．（2023春·廣西·高三期末）是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（????）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則
．
∴．
故選：A
例9．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)f（x）=，則滿足恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以是上的奇函數(shù)，
由
，
所以是上的增函數(shù)，
所以等價(jià)于：

即，
所以，
令，
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：，
因?yàn)榍叶x域?yàn)椋?br /> 所以是上的偶函數(shù)，
所以只需求在上的最大值即可．
當(dāng)時(shí)，，
，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得：，
即，
故選：A．
核心考點(diǎn)三：已知奇函數(shù)+M
【典型例題】
例10．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知（a，b為實(shí)數(shù)），，則______．
【答案】-2014
【解析】
，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，
其中，
所以，
解得：
故答案為：-2014
例11．（2022·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，且，則（???????）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】
設(shè)，因?yàn)椋?br /> 所以為奇函數(shù)，
因?yàn)椋?br /> 所以，
則．
故選：D．
例12．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）若對(duì)，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
由題設(shè)，且，
∴，則，
∴為奇函數(shù)，令，
∴，即是奇函數(shù)，
∴在上的最小、最大值的和為0，即，
∴．
故選：B
核心考點(diǎn)四：利用軸對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題
【典型例題】
例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由題意，故有
故和是直線和曲線、曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
故曲線和曲線的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．
即點(diǎn)（x1，5﹣x1）和點(diǎn)（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線段的中點(diǎn)在直線y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故選：D．
例14．（2021春·高一單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（???）
A．（0，2] B．
C．[2，＋∞） D．∪[2，＋∞）
【答案】B
【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 且，
所以函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
令，可得，
則不等式可化為，
即，即，
又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，在為偶函數(shù)，
所以，即，解得，
所以不等式的解集為．
故選：B．
例15．（2021春·西藏拉薩·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，所以是偶函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，
將圖像向右平移一個(gè)單位得到圖像，
所以關(guān)于直線對(duì)稱，且在單調(diào)遞增．
∵，，，
∴，
∴，
又∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴，
∴．
故選：A
核心考點(diǎn)五：利用中心對(duì)稱解決函數(shù)問(wèn)題
【典型例題】
例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，
又為上的偶函數(shù)，，，
，
是周期為的周期函數(shù)，
，又，，
．
故選：C．
例17．（2021春·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象共有個(gè)交點(diǎn)為、、、，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br /> 函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，所以，，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，
故函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
函數(shù)與圖象共有個(gè)交點(diǎn)為、、、，且這六個(gè)點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，．
故選：B．
例18．（2021春·貴州黔東南·高一凱里一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)分別為，，…，，則交點(diǎn)的所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
即若點(diǎn)為交點(diǎn)，則點(diǎn)也為交點(diǎn)，同理若為交點(diǎn)，則點(diǎn)也為交點(diǎn)，……
則交點(diǎn)的所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為，
故選：D．
例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，，且，則不等式的解集為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
則，且函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
不妨設(shè)，
則，
所以，
則不等式，
即為，解得，
所以不等式的解集為．
故選：A．
例20．（2021春·四川綿陽(yáng)·高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)滿足，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則所有這些零點(diǎn)之和為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)滿足，
則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且（1），
函數(shù)，
則，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又函數(shù)是由函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到的函數(shù)，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
令，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)楹瘮?shù)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，
所以2021個(gè)零點(diǎn)除之外的2020個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
則所有這些零點(diǎn)之和為．
故選：D．
核心考點(diǎn)六：利用周期性和對(duì)稱性解決函數(shù)問(wèn)題
【典型例題】
例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則（????）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
用代替得：，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
故①，
用代替得：②，
由①② 得：，
所以函數(shù)的周期，
所以，即，
因?yàn)?，令得：，故?br /> ，解得：，
所以時(shí)，，
因?yàn)椋?br /> 令，得，
其中，所以，
因?yàn)椋?br /> 令得：，即，
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)椋?br /> 令得：，
故，
．
故選：C
例22．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，（且），且．則（????）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，
所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
又因?yàn)椋裕?br /> 所以，所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
由及得
所以
所以函數(shù)的周期為，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，（且），且，
所以，解得：或，因?yàn)榍遥裕?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，
所以，，，
，，，
，所以，
所以，
故選：．
例23．（2023·山東濟(jì)寧·高三嘉祥縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值的集合為（????）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，
所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，且為周期是2的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以畫出函數(shù)圖像如下圖所示：

①當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可知與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，即，令，解得．
當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可知與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
由圖像可知，時(shí)，直線與（）有三個(gè)公共點(diǎn)；
又因?yàn)橹芷冢芍ǎ?br /> 故選：B．
例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
又函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位可得，
所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于對(duì)稱，
在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與在右側(cè)的圖象，

數(shù)形結(jié)合可得，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個(gè)不同的公共點(diǎn)，
則由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得兩圖象在右側(cè)有5個(gè)交點(diǎn)，
則，解得．
故選：D．
例25．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，恒有，且當(dāng)時(shí)，1，則（????）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以的最小正周期?，
因?yàn)椋?br /> ，，，
，又是周期為8的周期函數(shù)，
所以，

，所以．
故選：B
例26．（2023·山東濟(jì)寧·高三嘉祥縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值的集合為（????）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，
所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，且為周期是2的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以畫出函數(shù)圖像如下圖所示：

①當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可知與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，即，令，解得．
當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像可知與（）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
由圖像可知，時(shí)，直線與（）有三個(gè)公共點(diǎn)；
又因?yàn)橹芷?，可知（）?br /> 故選：B．
例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
又函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位可得，
所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于對(duì)稱，
在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與在右側(cè)的圖象，

數(shù)形結(jié)合可得，若函數(shù)圖象與的圖象恰有10個(gè)不同的公共點(diǎn)，
則由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得兩圖象在右側(cè)有5個(gè)交點(diǎn)，
則，解得．
故選：D．
例28．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，恒有，且當(dāng)時(shí)，1，則（????）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因?yàn)椋缘淖钚≌芷谑?，
因?yàn)椋?br /> ，，，
，又是周期為8的周期函數(shù)，
所以，

，所以．
故選：B
核心考點(diǎn)七：類周期函數(shù)
【典型例題】
例29．（2022·天津一中高三月考）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，
當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，選B．
例30．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高三期中）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以，
所以，，
又因?yàn)椋愠闪ⅲ?br /> 故，
解不等式可得或．
例31．（2022山西省榆林市高三二模理科數(shù)學(xué)試卷）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
當(dāng)時(shí)，，又，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，從而，選C．
核心考點(diǎn)八：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性
【典型例題】
例32．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)對(duì)任意，都有成立．有以下結(jié)論：
①；②是上的偶函數(shù)；③若，則；
④當(dāng)時(shí)，恒有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．
則上述所有正確結(jié)論的編號(hào)是________
【答案】①③
【解析】對(duì)于①令，則，解得，①正確；
對(duì)于②令，則，∴，∴是上的奇函數(shù)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③令，則，∴，③正確；
對(duì)于④設(shè)，則，∴，
則，∴在上單調(diào)遞減，④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．
例33．（2022·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，得，
因?yàn)?，所以?br /> 即，設(shè)，
則在上單調(diào)遞減，
而，
則，解得：；
因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，
則為R上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
，
則，解得：；
綜上，原不等式的解集為．
故選：B．
例34．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知
，．
由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合在上單調(diào)遞增可得在上單調(diào)遞增，
所以，
所以．
故選：C
例35．（2022·黑龍江大慶·三模（理））已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（???????）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】
解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，
又的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，
作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象，如圖所示：

由圖可知，函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有8個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，
所以方程核心考點(diǎn)九：函數(shù)性質(zhì)的綜合
【典型例題】
例36．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由于函數(shù)定義在上的偶函數(shù)，在是增函數(shù)，
由得，
所以，
解方程得，
令，則，
所以是方程的兩根，
由韋達(dá)定理得，解得，
則不等式即，
設(shè)，，，故，
所以單調(diào)遞增，且，故解集為．
故答案為：．
例37．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，為奇函數(shù)，則__________．
【答案】68
【解析】而是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故有，且，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
而，
所以，
用替換得：，
令，則有，
即；
令，則，
則，即；
令，則有；
所以．
；
；
；
所以
．
故答案為：68
例38．（2023春·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)a＞0，b＞0，若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，則a+b的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】不妨令，
顯然滿足，可知為偶函數(shù)，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，
且x1＜x2＜x3＝b，
所以必有x2＝0，且﹣x1＝x3＝b，故x1+x2+x3＝0，
將x2＝0，x3＝b代入原方程得：，
當(dāng)b≥a時(shí)，原方程化為，解得，
此時(shí)，
當(dāng)b＜a時(shí)，原方程化為，解得a＝b＝0，與a＞0，b＞0矛盾，
故．
故答案為：．
例39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的，均有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____；
【答案】4042
【解析】圖像關(guān)于軸對(duì)稱的偶函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，
令替換，則有，
所以函數(shù)的周期為2，且函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
依次類推，可以求出，當(dāng)時(shí)，
由此可在同一平面直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)與的部分圖象．

函數(shù)的零點(diǎn)，即為函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
當(dāng)時(shí)，，兩函數(shù)圖像無(wú)交點(diǎn)，又兩函數(shù)在上有2021個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性知它們?cè)谏弦灿?021個(gè)交點(diǎn)，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱兩零點(diǎn)和為2，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為4042．
故答案為：4042．

【新題速遞】
一、單選題
1．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）己知函數(shù)，，若與圖像的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，，則下列說(shuō)法正確的有（????）個(gè)
①若，則????????????????②若，則
③若，則??????④若，則
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，令，則，即函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為0，同理易知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為0，
即與也恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，如下圖：

易知在，且，與圖像相切，由當(dāng)時(shí)，，則，，故，從而，所以，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，如下圖：

則，，所以，又圖像關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合圖像有，即有，故③正確；
對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，由，與的圖像在y軸右側(cè)的前1012個(gè)周期中，每個(gè)周期均有2個(gè)公共點(diǎn)，共有2024個(gè)公共點(diǎn)，故④正確．
故選：C．
2．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)
C．的單調(diào)性與有關(guān)
D．若不等式的解集是，則
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且．
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，則錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且．
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以在上是增函數(shù)，則正確；
定義域?yàn)镽，，
所以，為R上的偶函數(shù)．
又由前面分析知，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，在上是減函數(shù)．
所以，可知，當(dāng)且時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
從而的單調(diào)性與無(wú)關(guān)，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椴坏仁降慕饧牵?br /> 由前面分析知，為R上的偶函數(shù)．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
所以，所以，解得或，則D錯(cuò)誤．
故選：B．
3．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則．
因?yàn)椋?，即?br /> 所以在上單調(diào)遞減．
不等式等價(jià)于不等式，即．
因?yàn)?，所以，所以?br /> 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得
故選：A
4．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（????）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】，
故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又在上嚴(yán)格遞增；
即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．
故選：B．
5．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】

即
即
即
令，根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，
，，

故選：A．
6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知f（x），g（x）分別為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于x的不等式在（0，ln 2）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榉謩e為偶函數(shù)和奇函數(shù)，
①，
所以，即②，
①②聯(lián)立可解得，，
不等式為，
，則，，
設(shè)，則，
，，，在上是增函數(shù)，，
又在時(shí)是增函數(shù)，所以，，
，在恒成立，則．
故選：C．
7．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞增，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對(duì)A：∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，A錯(cuò)誤；
由題意可得：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增
∵，則
∴函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，
∵函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，即
∴，則函數(shù)的周期為4
當(dāng)時(shí)，則有：
的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，
若，則，即，C、D錯(cuò)誤；
的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，
∵，則，B正確；
故選：B．
8．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足的x的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋杂膳己瘮?shù)性質(zhì)知
所以，解得：．
故選：A．
二、多選題
9．（2023春·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)
故，
由可得，
又可得，兩式相減得，
所以函數(shù)的周期為4；
由可得
又可得，兩式相加得
所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；
則，，故A選項(xiàng)正確；
又，則，由函數(shù)的周期為4
可得，，故B，D選項(xiàng)正確；
可得，所以，故C選項(xiàng)不正確；
故選：ABD．
10．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)、的定義域均為，為偶函數(shù)，且，，下列說(shuō)法正確的有（????）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) D．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)
【答案】BC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以．
由，可得，可得，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，
又因?yàn)椋傻茫?br /> 所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且，
則，從而，則，
所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，?br /> 又因?yàn)椋?，?br /> 又因?yàn)椋瑒t，所以，，
故，因此，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，D錯(cuò)．
故選：BC．
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，均為奇函數(shù)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因?yàn)槿?，為奇函?shù)，
所以，
令得，，即，，A選項(xiàng)正確；
所以，，即，
所以，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，對(duì)稱，
所以，，即
所以，，
所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
所以，，，故D選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，其中為常數(shù)，
所以，所以，
故令得，即，故C選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（????）
A．圖象關(guān)于對(duì)稱 B．
C．的最小正周期為4 D．對(duì)任意都有
【答案】BCD
【解析】為上的奇函數(shù)，則，．為偶函數(shù)，即關(guān)于軸對(duì)稱，則．
所以，則，故，則最小正周期為4；
對(duì)A，，故圖象不關(guān)于對(duì)稱，A錯(cuò)；
對(duì)B，，B對(duì)；
對(duì)C，最小正周期為4，，的最小正周期為4，C對(duì)；
對(duì)D，，D對(duì)；
故選：BCD
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
令得：，解得：，所以
令得：，即，所以，故A正確；
B選項(xiàng)，令得：，即，
因?yàn)椋瑒t，所以，所以，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 即，所以，
，所以，
即，所以，
所以的周期為4，，故C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br /> 所以令得：，解得：，
令中得：，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
三、填空題
14．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．
【答案】．
【解析】因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)楹瘮?shù)，由有：且，
因?yàn)椋笾聢D象如圖，

①當(dāng)且時(shí)，，所以，顯然滿足；
②當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，
又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：
由，解得：或．
綜上，滿足的取值范圍是．
故答案為：．
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程可以是___________（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定義域?yàn)椋煽芍?，是偶函?shù)，
由可知周期為4，
因?yàn)椋赎P(guān)于直線對(duì)稱，
又因?yàn)椋砸彩堑膶?duì)稱軸，
因?yàn)樵谏洗嬖趯?dǎo)函數(shù)，所以是的極值點(diǎn)，
即，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，
故切線方程可能為，
故答案為：（答案不唯一）
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，給出下列幾個(gè)命題：
①是周期函數(shù)；
②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
③在上是減函數(shù)；
④．
其中正確命題的序號(hào)是_____．（寫出所有正確命題的序號(hào)）
【答案】①②③④
【解析】因?yàn)椋?，所以，所以的周期為，即為周期函?shù)，故①正確；
因?yàn)椋?，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；
因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且為奇函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，
因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以在上為減函數(shù)，故③正確；
由，令得，故④正確，
故答案為：①②③④
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則___________．
【答案】2
【解析】因?yàn)?，?duì)稱軸為，所以的對(duì)稱中心為，即，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
所以方程的解均有且只有一個(gè)，
因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，
所以，
故答案為：2
18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的極大值為，極小值為，則______．
【答案】6
【解析】由題意，，故關(guān)于對(duì)稱．
故取得極大與極小值的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以．
故答案為：6
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的定義域?yàn)?，且滿足，若，則___________．
【答案】2024
【解析】因?yàn)椋裕?br /> 由，得，有，
可得，有，
又由，可得，可知函數(shù)的周期為4，
可得，
有，
因?yàn)?，所?br /> 由得，
所以，
即，
所以
所以．
故．
故答案為：2024
20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，則____．
【答案】4
【解析】∵的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，又為奇函數(shù)，∴，故，
則，∴函數(shù)的周期，又∵，∴．
故答案為：4．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多