2022-2023學(xué)年海南省洋浦中學(xué)高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算可得，然后求其模即可.【詳解】解：由，則，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算，重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式化簡(jiǎn)集合A，再與集合B求交集即可.【詳解】由得：，又 ，，而集合B為偶數(shù)集，故.故選：B．3．設(shè)a、b為兩條直線，、為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中正確的是（    ）A．若a，b與所成的角相等，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)定理，并進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，將一個(gè)圓錐放到平面上，則它的每條母線與平面所成的角都是相等的，故“若與所稱的角相等，則”故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則位置關(guān)系可能是平行，相交或異面，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則是錯(cuò)誤的，兩平面還可能是相交平面；故D錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，若，則，兩個(gè)平面垂直時(shí)，與它們垂直的兩條直線一定是垂直的.故選：B.4．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得正方體的邊長(zhǎng)，然后求得球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以球的直徑，半徑，所以球的體積為.故選：A5．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則A．20 B．27 C．36 D．45【答案】C【分析】先由題意，得到，推出，再由等差數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，，，因此又，.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，熟記等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.6．設(shè)、，向量，，且，，則（      ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，則，解得，則，因?yàn)?/span>，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)A． B． C． D．【答案】C【詳解】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，，A（1，0，0），，故，，所以，故選C.【解析】本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運(yùn)算，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力. 8．如圖，將半徑為1的球與棱長(zhǎng)為1的正方體組合在一起，使正方體的一個(gè)頂點(diǎn)正好是球的球心，則這個(gè)組合體的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】該組合體可視作一個(gè)正方體和個(gè)球體的組合體，進(jìn)而求出體積.【詳解】由題意，該組合體是一個(gè)正方體和個(gè)球體的組合體，其體積為.故選：A. 二、多選題9．大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．此數(shù)列的第20項(xiàng)是200 B．此數(shù)列的第19項(xiàng)是180C．此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 D．此數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABC【分析】首先尋找出數(shù)列的規(guī)律，歸納出通項(xiàng)公式，然后判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，奇數(shù)項(xiàng)是后一項(xiàng)減去后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，，故C正確；由此可得，故A正確；，故B正確；是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不可能有，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（    ）A． B．C．若，則 D．【答案】BD【分析】理解新定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，若為負(fù)數(shù)，可知，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由定義知B正確，對(duì)于C，若，則，共線，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由定義知，故D正確．故選：BD11．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（    ）A．直線與底面所成的角為 B．平面與底面夾角的余弦值為C．直線與直線的距離為 D．直線與平面的距離為【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出線面角，面面角，平行線間距離及線面距離.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則，，，，，，A選項(xiàng)：，平面的法向量，設(shè)直線與底面所成的角為，則，直線與底面所成的角不為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，設(shè)平面的法向量，則，令，則設(shè)平面與底面的夾角為，則，平面與底面夾角的余弦值為，故B正確；C選項(xiàng)，，直線與直線的距離為：，故C正確；D選項(xiàng)，，平面，平面，又，平面的法向量，直線與平面的距離為：，故D正確；故選：BCD.12．如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>平面，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.  三、填空題13．已知數(shù)列滿足,,,則______.【答案】0【分析】根據(jù)題意多寫出幾項(xiàng),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,找到周期,求出和即可.【詳解】解:由題知,∵,,,∴,同理可得,,,,,∴數(shù)列為以6為周期的周期數(shù)列,.故答案為:014．已知等差數(shù)列中，，，則與的等差中項(xiàng)為__________.【答案】8【分析】用基本量表示題干條件，求得通項(xiàng)公式，由與的等差中項(xiàng)為代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，不妨設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，又，，故，解得，故，故與的等差中項(xiàng)為.故答案為：815．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為________．【答案】3【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖為半圓可求半徑與母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)軸截面及內(nèi)切球的半徑可求圓錐的高.【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球的體積為，故內(nèi)切球的半徑滿足，故.設(shè)母線的長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，故，故，故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，為內(nèi)切圓的圓心，則共線且，，而，故，故，故答案為：3. 四、雙空題16．平面的一個(gè)法向量是，且點(diǎn)在平面上，若是平面外一點(diǎn)，則___________，點(diǎn)P到平面的距離是___________.【答案】          【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示以及模長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)面距的向量公式，可得答案.【詳解】由題意，，則，點(diǎn)P到平面的距離，故答案為：；. 五、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求n的值；（2）求出的通項(xiàng)公式.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）直接對(duì)進(jìn)行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通項(xiàng)公式【詳解】解：（1），因?yàn)?/span>，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以【點(diǎn)睛】此題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題18．已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見(jiàn)的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.19．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，. 20．在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面，，，過(guò)A作，垂足為F，點(diǎn)E、G分別是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面∥平面；(2)求證：【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）分別證明∥平面，∥平面，然后利用面面平行的判定定理證明即可. （2）由已知條件推導(dǎo)出，，由此能證明面，再根據(jù)線面垂直的判定定理得證．【詳解】（1）∵，，垂足為，∴是的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥，∵平面，平面，∴∥平面；又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面 ，平面平面，平面，且，∴平面SBC，又∵平面，∴，又∵，，平面，∴平面，平面，所以.21．如圖，正四棱錐P-ABCD底面正方形的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為.(1)求該正四棱錐的表面積；(2)求該正四棱錐外接球的體積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）取AB中點(diǎn)E，連接PE，則，求出即可求出該正四棱錐的表面積.（2）連接AC，BD，設(shè)，連接，在上取一點(diǎn)O，使，由題目條件可求得，即可求出該正四棱錐外接球的體積.【詳解】（1）取AB中點(diǎn)E，連接PE，則，從而，該正四棱錐的表面積；（2）連接AC，BD，設(shè)，連接，在上取一點(diǎn)O，使，在中，，又在中，，即，解得，從而該正四棱錐外接球的體積：.22．如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【詳解】（Ⅰ）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，，，，，， ，.設(shè)為平面 的一個(gè)法向量，則即 可取.于是. 【解析】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常常可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理．  

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