2022-2023學(xué)年海南省農(nóng)墾中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集，，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：D.2．與終邊相同的最小正角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將表示為，即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>,,故與終邊相同的最小正角是，故選：C3．在平行四邊形中，為上任一點(diǎn)，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相反向量的意義及向量加法的三角形法則，化簡可得答案．【詳解】故選：．4．已知角的終邊過點(diǎn)，且，則（    ）A．40° B．50° C．220° D．310°【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式即可.【詳解】；角的終邊過點(diǎn)；且；故選：D5．若A，B，C是三個(gè)互不相同的點(diǎn)，則“”是“A，B，C三點(diǎn)共線”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分、必要條件、向量共線、三點(diǎn)共線的知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)?/span>A，B，C是三個(gè)互不相同的點(diǎn)，所以均不為零向量，若，則A，B，C三點(diǎn)共線，反之亦成立，故“”是“A，B，C三點(diǎn)共線”的充要條件．故選：C6．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值的一次不等式來求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，，∴不等式可變?yōu)?/span>，偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得.故選：B.7．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、兩角差的正弦公式求得正確答案.【詳解】.故選：A8．已知函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，且線段長度的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)的最小正周期，可求得，根據(jù)圖像的平移變換可得平移后函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性可求出，依據(jù)，即可求得答案.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期,則,得,所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，因?yàn)樵搱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 ，所以 當(dāng)時(shí)，，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故最大值為，故選：C 二、多選題9．已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題正確的有（    ）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)得到，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A，舉反例可判斷BD，利用作差法可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，則，對(duì)于A，易得的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，即，故C正確.對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．若向量滿足，則（    ）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【分析】由模與數(shù)量積的關(guān)系求得，再根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)確定與的夾角，判斷向量垂直，求解投影向量即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，故A不正確；又，，所以，即與的夾角為，故B正確；又，所以，故C正確；又在上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.11．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由基本不等式判斷各選項(xiàng)．【詳解】A選項(xiàng)：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，由A知，則，故B正確；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C正確；D選項(xiàng)：由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：BC．12．一半徑為4米的摩天輪如圖所示，摩天輪圓心O距離地面6米，已知摩天輪按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)2．5圈，現(xiàn)在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，以與底面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P距離地面的高度h（米）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，其中，，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．OP旋轉(zhuǎn)的角速度B．摩天輪最低點(diǎn)離地面的高度為2米C．點(diǎn)P距離地面的高度h（米）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為D．點(diǎn)P第二次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間32秒【答案】ABC【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)角速度公式求解即可判斷A正確.對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)題意得到摩天輪最低點(diǎn)離地面的高度為（米），即可判斷B正確.對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)題意得到，再將代入即可判斷C正確.對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)點(diǎn)第二次到達(dá)最高的需要的時(shí)間是秒，即可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可得，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)圈，旋轉(zhuǎn)的角速度（弧度/秒），故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槟μ燧喌陌霃綖?/span>，所以摩天輪最低點(diǎn)離地面的高度為（米），故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題可知，所以.把代入中，則．又，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，求得，所以（秒），根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周需要（秒），故點(diǎn)第二次到達(dá)最高的需要的時(shí)間是秒，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC． 三、填空題13．________．【答案】【分析】由兩角和的正切公式求解即可.【詳解】解：.故答案為：14．已知向量，，則_________．【答案】【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】因?yàn)?/span>，，則，因此，.故答案為：.15．已知在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】/【分析】由，得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，即可得解.【詳解】由，得，因?yàn)?/span>在上的最大值為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.16．高斯是著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>______.【答案】【分析】先把函數(shù)分離常數(shù)，然后求分離常數(shù)后的取值范圍，最后根據(jù)取值范圍求解.【詳解】又，當(dāng)時(shí)，所以的值域里有當(dāng)時(shí)，所以的值域里有當(dāng)時(shí)，所以的值域里有所以的值域?yàn)?/span>故答案為：  四、解答題17．如圖，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可知，即可求解；（2），從而即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樵诹庑?/span>中，.故，故，所以.（2）顯然，所以①，因?yàn)榱庑?/span>，且，，故，.所以.故①式.故.18．已知，為銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正弦二倍角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為銳角，，所以，則；（2）由于，為銳角，則，又，所以.19．已知函數(shù).(1)利用“五點(diǎn)法”完成下面表格，并畫出在區(qū)間上的圖象；  0           (2)解不等式.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)直接計(jì)算可完成表格，由此可作出函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合函數(shù)圖象解三角不等式，即得答案.【詳解】（1）由題意，列表如下：0畫出在區(qū)間上的圖象如圖：（2）不等式，即，所以，所以，即，故的解集為.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）帶入數(shù)據(jù)得到，解不等式得到答案.（2）函數(shù)對(duì)稱軸為，根據(jù)單調(diào)性得到或，解得答案.【詳解】（1），，，即，，解得，即（2），函數(shù)對(duì)稱軸為，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則或，解得或.即.21．在校園美化、改造活動(dòng)中，要在半徑為、圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場(chǎng)地，如圖所示．取的中點(diǎn)M，記．(1)寫出矩形的面積S與角的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)角為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出最大面積．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大值為 【分析】（1）首先得出，再用的三角函數(shù)分別表示出和，則，再根據(jù)二倍角公式，降冪公式和輔助角公式化簡即可；（2）由，得出，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像，得出時(shí)，面積最大，即可得出最大面積．【詳解】（1）由題可知，，在中，，，，在中，，，，．（2），，當(dāng)，即時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大值為．22．若函數(shù)滿足：對(duì)于任意正數(shù)s、t，都有，則稱函數(shù)為“L函數(shù)”.(1)試判斷函數(shù)是否是“L函數(shù)”；(2)若函數(shù)為L函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)是“L函數(shù)”(2) 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合作差法分析判斷；（2）根據(jù)題意可得對(duì)一切正數(shù)s，t恒成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，所以是“L函數(shù)”.（2）當(dāng)時(shí)，由是“L函數(shù)”，得對(duì)一切正數(shù)t恒成立，因?yàn)?/span>，則，可得，所以對(duì)一切正數(shù)t恒成立，又因?yàn)?/span>，則，解得；由，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，由對(duì)一切正數(shù)s，t恒成立，，所以，即；綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 

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