? 2021年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題11-15題
原題11
1．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________．
變式題1基礎(chǔ)
2．若的展開式中的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)______.
變式題2基礎(chǔ)
3．在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為展開式的第_____項(xiàng).
變式題3鞏固
4．設(shè)，則_____________．
變式題4鞏固
5．在展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為________．（結(jié)果用數(shù)值表示）
變式題5鞏固
6．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為________．
變式題6鞏固
7．已知，則________．
變式題7提升
8．將名支教教師安排到所學(xué)校任教，每校至多人的分配方法總數(shù)為，則二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.
變式題8提升
9．若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為-4，則_____．
原題12
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______； 的面積為_______．
變式題1基礎(chǔ)
11．已知拋物線的焦點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為________．
變式題2基礎(chǔ)
12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)___________，___________.
變式題3鞏固
13．已知拋物線的焦點(diǎn)是F，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，OA的垂直平分線交x軸于B點(diǎn)，（1）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，則_________（用p表示）；（2）若N是線段AF的中點(diǎn)，則_________（用p表示）．
變式題4鞏固
14．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則此拋物線的方程為______.若點(diǎn)為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，，則直線必過定點(diǎn)______.
變式題5鞏固
15．已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則的值為__________；拋物線方程為__________.
變式題6鞏固
16．已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸的拋物線過點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________；設(shè)為該拋物線的焦點(diǎn)，、、為該拋物線上三點(diǎn)，若，則______________.
變式題7提升
17．拋物線，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為______．
變式題8提升
18．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線與圓于四點(diǎn)，則 ______.

原題13
19．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則
________；________.

變式題1基礎(chǔ)
20．已知中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則______．
變式題2基礎(chǔ)
21．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為邊（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
變式題3鞏固
22．如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則________.

變式題4鞏固
23．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn).且線段的中點(diǎn)在直線上，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為______．
變式題5鞏固
24．已知平面向量，，滿足，，則的取值范圍是___________
變式題6提升
25．已知邊長(zhǎng)為2的正方形邊上有兩點(diǎn)P?Q，滿足，設(shè)O是正方形的中心，則的取值范圍是___________.
變式題7提升
26．已知向量滿足，則的最大值為________．
原題14
27．若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為___．
變式題1基礎(chǔ)
28．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-1，），則sin（α+）的值= ______ ．
變式題2基礎(chǔ)
29．在平面內(nèi)將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
變式題3鞏固
30．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若，則______.
變式題4鞏固
31．，則與的關(guān)系是_______ .
變式題5鞏固
32．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________________．
變式題6鞏固
33．若點(diǎn)A（cosθ，sinθ）與關(guān)于x軸對(duì)稱，則θ的一個(gè)取值為___________.
變式題7提升
34．已知是正整數(shù)，且，則滿足方程的有________個(gè)
變式題8提升
35．在角、、、…、的終邊上分別有一點(diǎn)、、、…、，如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則______．
原題15
36．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，恰 有2個(gè)零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．
變式題1基礎(chǔ)
37．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________．
變式題2鞏固
38．關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
其中所有真命題的序號(hào)是__________.
變式題3鞏固
39．已知函數(shù)和，有下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為；
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；
其中正確結(jié)論的序號(hào)為________.
變式題4鞏固
40．已知函數(shù)則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________
變式題5鞏固
41．已知定義在上的奇函數(shù)對(duì)任意都滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___
變式題6提升
42．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四個(gè)判斷，正確的是___________.
①當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).
變式題7提升
43．設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)， ，使得無解；
②當(dāng)時(shí)， ，使得有兩解；
③當(dāng)時(shí)， ，使得有解；
④當(dāng)時(shí)， ，使得有三解；
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．

參考答案：
1．
【分析】利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式并整理化簡(jiǎn)，然后令的指數(shù)為零，求解并計(jì)算得到答案.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)
令，解得，
故常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：.
2．
【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)，即可求得參數(shù)值.
【詳解】的通項(xiàng)公式，
令，解得.
故可得，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式由項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)值，屬簡(jiǎn)單題.
3．13
【解析】先求出的通項(xiàng)公式，再令指數(shù)為零可得常數(shù)項(xiàng)為展開式的第13項(xiàng).
【詳解】由題意，由題意得，解得，
所以在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為展開式的第13項(xiàng).
故答案為：13.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理展開式，通項(xiàng)公式是求解這類問題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
4．10
【分析】由二項(xiàng)展開式展開為6項(xiàng)可得，進(jìn)而由二項(xiàng)式定理即可求解.
【詳解】解：，
二項(xiàng)展開式展開后有6項(xiàng)，
，
由二項(xiàng)式定理得，
故答案為：10.
5．
【分析】展開式中，通項(xiàng)公式：，依題意，只需考慮時(shí)，即只需中項(xiàng)的系數(shù)，利用其展開式中通項(xiàng)公式即可得出．
【詳解】展開式中，
通項(xiàng)公式：，
依題意，只需考慮時(shí)，即只需中項(xiàng)的系數(shù)，
其展開式中通項(xiàng)．
令，解得．
.
故答案為：70．
6．-16
【分析】轉(zhuǎn)化，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?
所以的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
7．
【分析】由題可知，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，即可求出和，便可得出.
【詳解】由題知，，
且，
則，
，
所以.
故答案為：0
8．
【詳解】試題分析：,所以二項(xiàng)式等腰，，當(dāng)時(shí)，，所以含項(xiàng)的系數(shù)為,故填：.
考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.排列組合.
9．8
【分析】先由題意得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而得到含項(xiàng)與含項(xiàng)的系數(shù)，然后根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，解方程可得所求．
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，
令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為；
令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為．
由題意得，
整理得，
∴，
解得．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式的應(yīng)用及組合數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵根據(jù)展開式的通項(xiàng)得到條件中所涉及的兩項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解答本題的難點(diǎn)是組合數(shù)的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，難度較大．
10．???? 5????
【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.
因?yàn)?，，解得，故?br /> 所以，
故答案為：5；.
11．???? ????
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積．
【詳解】設(shè)，由拋物線的定義知，焦點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，則，

因此，解得，故；
所以的面積．
故答案為：；.
12．???? 8???? 4
【解析】由準(zhǔn)線方程可求得，即可求出，將代入拋物線方程可求得，再利用焦半徑公式即可求出
【詳解】準(zhǔn)線方程為，，即，
，
將代入拋物線方程可得，解得，
.
故答案為：8；4.
13．???? ????
【分析】（1）由AB與x軸垂直，得，由此可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得；
（2）利用可求得橫坐標(biāo)，再結(jié)合焦半徑公式得，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)锳B與x軸垂直，則，則；
（2）設(shè)OA的中點(diǎn)，則MB直線斜率為，解得，而，，則．
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線民拋物線相交，考查拋物線的焦半徑公式．涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，對(duì)拋物線上的點(diǎn)，可根據(jù)拋物線的定義求得焦半徑．
14．???? ????
【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式可得，求解即可得到拋物線方程；過拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的兩條切線和，求得切點(diǎn)弦方程，即可得道 必過定點(diǎn).
【詳解】點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，
，解得，
拋物線的方程為.
過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線和，
設(shè)切點(diǎn)為，，則切點(diǎn)弦所在的直線方程為.
設(shè)，則直線，即，
所以直線必過定點(diǎn).
故答案為：，.
15．???? 答案見解析???? 答案見解析
【分析】由于拋物線的開口方向未定，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上這一條件，拋物線開口向下，向左、向右均有可能，以此分類討論，利用焦半徑公式列方程可得的值，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上可得的值.
【詳解】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可知拋物線開口向下，向左、向右均有可能，
當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，設(shè)拋物線方程為（），
此時(shí)準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義知，解得.
所以拋物線方程為，這時(shí)將代入方程得.
當(dāng)拋物線開口向左或向右時(shí)，可設(shè)拋物線方程為（），
從知準(zhǔn)線方程為，由題意知，
解此方程組得，，，，
綜合（1）、（2）得，；
，；
，；
，；
，.
故答案為：，，，，；，，，，.
16．???? ???? 12
【解析】根據(jù)已知條件，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求得參數(shù)的值，得到拋物線的方程；寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù),可判斷點(diǎn)F是重心,進(jìn)而利用三角形重心公式可求的值,再根據(jù)拋物線的定義,即可求得答案．
【詳解】解：由已知條件可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
將的坐標(biāo)代入，得，解得,
拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程：
設(shè)
,
點(diǎn)F是重心,
，即．
再由拋物線的定義可得,
||+||+||,
故答案為,12．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心坐標(biāo)公式,拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,求得的值是解題的關(guān)鍵．
17．
【分析】由題意首先確定直線AB的方程，然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可確定的面積.
【詳解】由題意可知：，結(jié)合焦半徑公式有：，
解得：，故直線AB的方程為：，
與拋物線方程聯(lián)立可得：，
則，
故的面積.
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦半徑公式，直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
18．1
【分析】設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)F的直線，與聯(lián)立，結(jié)合拋物線的第一定義和韋達(dá)定理及圓的性質(zhì)，求出的乘積
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，可設(shè)直線方程為，直線，與聯(lián)立得：，可得,,
,
答案為1.
【點(diǎn)睛】拋物線的弦長(zhǎng)問題通常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離,本題既考查了直線與圓，又考查了直線與拋物線的應(yīng)用問題
19．???? 0???? 3
【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.
【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則，
，，
.
故答案為：0；3.
20．##4.5

【分析】根據(jù)題意可證得為直角三角形，將將放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，
求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，，
有，所以為直角三角形，
將放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，
，又M是AB的中點(diǎn)，則，
有，
所以，
故答案為：

21．
【分析】取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為有關(guān)的一次函數(shù)的值域問題，可得出的取值范圍.
【詳解】如下圖所示：

取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，其中，
，，，
因此的取值范圍是，
故答案為：.
22．
【分析】以和所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得和，得到、的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，以和所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，可得?br /> 所以為的中點(diǎn)，
可得，則，所以
又由，
可得，
所以，所以，
則.

23．
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)題意求出的值；然后求弦長(zhǎng)和原點(diǎn)到直線的距離，從而可求出的面積.
【詳解】由題意知：直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，
由，消得，
設(shè)，則，，
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，所以，即，
因?yàn)椋?br /> 所以
，解得或(舍)，
所以，直線的方程為，
所以，
原點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積為.
故答案為：.
24．
【分析】求出，再用，的夾角表示出即可得解.
【詳解】因，則，設(shè)，的夾角為，
于是得，而，
因此，，即，
所以的取值范圍是.
故答案為：
25．
【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，再分類討論求出各種情況下的的范圍即可得到答案.
【詳解】建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

①當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的同一邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，由于，所以滿足，
可得，
所以；

②當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的相鄰邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，
所以，

由于，所以滿足，
其表示的平面區(qū)域如下圖所示：

令，當(dāng)過時(shí)，有最小值，
當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，
所以這種情況下；
③當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的對(duì)邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，
所以，由圖可知，，
所以.

綜上可知：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是要分類討論，二是在每一種情況下要準(zhǔn)確地寫出變量的范圍并求出每種情況下取值范圍.
26．
【分析】根據(jù)題意建立合適平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系確定出的軌跡，結(jié)合的幾何意義以及圓的性質(zhì)求解出最大值.
【詳解】設(shè)，以O(shè)A所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

∵
則A(4,0)，B(2,2)，設(shè)C(x,y)，
∵，∴，
即，∴點(diǎn)C在以(3,1)為圓心，1為半徑的圓上，
表示點(diǎn)A，C的距離，即圓上的點(diǎn)與A(4,0)的距離，
∵圓心到A的距離為，
∴的最大值為.
故答案為：.
27．（滿足即可）
【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對(duì)稱，得出求解.
【詳解】與關(guān)于軸對(duì)稱，
即關(guān)于軸對(duì)稱，
，
則，
當(dāng)時(shí)，可取的一個(gè)值為.
故答案為：（滿足即可）.
28．
【詳解】角α的終邊經(jīng)過點(diǎn) .
.
29．
【分析】依題意可得與軸正向的夾角為且，則與軸正向的夾角為且，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)的定義及兩角和的正（余）弦公式計(jì)算可得.
【詳解】解：由條件可得與軸正向的夾角為且，故與軸正向的夾角為且．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：
30．；
【分析】根據(jù)角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱得到，以及兩角差的余弦公式即可求出.
【詳解】因?yàn)榻桥c角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，
所以，
所以



故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.
31．或
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義及性質(zhì)求解.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以終邊相同或終邊關(guān)于軸對(duì)稱，
故或，
故答案為：或
32．
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，終邊經(jīng)過點(diǎn)A的角為，結(jié)合三角函數(shù)定義求出，的正弦、余弦值，再借助和、差角的正余公式即可計(jì)算作答.
【詳解】設(shè)，顯然，，則有，
依題意，終邊經(jīng)過點(diǎn)的角為，則有，
于是得，解得，
，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
33．（答案不唯一）
【分析】作圖，數(shù)形結(jié)合得到，解之即可.
【詳解】解：因?yàn)锳（cosθ，sinθ）與均在單位圓上，
設(shè)圓與x軸交于P?Q兩點(diǎn)，A在第二象限，B在第三象限，如圖所示：
則∠AOP=θ，∠AOB=，
因?yàn)锳?B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以∠BOP=θ，
所以2θ+=2π，解得θ=，
則符合題意的θ的一個(gè)值可以為.
故答案為：（答案不唯一）.
.
34．11
【詳解】由三角函數(shù)的單調(diào)性及值域，可知，∴除外只有當(dāng)?shù)仁降淖笥覂蛇吘鶠闀r(shí)等式成立，則、、、、、、、、、、時(shí)等式成立，滿足條件的正整數(shù)有11個(gè)，故答案為11.
35．
【解析】利用誘導(dǎo)公式將點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?，然后根?jù)三角函數(shù)定義可得，再利用誘導(dǎo)公式及兩角差的正弦即可得到結(jié)果.
【詳解】，即
由三角函數(shù)定義知
=




.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，兩角和的正弦公式，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，是中檔題.
36．①②④
【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；
對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.

故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．

37．．
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的根的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
于是，分別畫出其函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．


38．①②③④
【分析】將方程，轉(zhuǎn)化為，令，轉(zhuǎn)化函數(shù)與的交點(diǎn)情況，分，，，討論求解.
【詳解】方程，可化為，
令，則，，在同一坐標(biāo)系中，作出其圖象，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且 在t的值域中，
令，解得，
故方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
當(dāng)，即時(shí)，圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，
令，解得，故方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
當(dāng)，即時(shí)，圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，
令，令，解得，
故方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
當(dāng)，即時(shí)，圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
且，
令，，，，
解得，
故方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
故答案為：①②③④
39．①②③
【分析】
對(duì)于①：作出直線與函數(shù)的大致圖象，根據(jù)題意即可判定；對(duì)于②：令，作出函數(shù)，的大致圖象，先判定的零點(diǎn)t的值或范圍，再對(duì)t的每一個(gè)值判定的根的個(gè)數(shù)，綜合即得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于③：令，則，作出函數(shù)，的大致圖象，判定函數(shù)的零點(diǎn)的值，進(jìn)而求得的根，即得函數(shù)的所有零點(diǎn)之和；對(duì)于④：令，則，作出函數(shù)，的大致圖象，由圖得到函數(shù)的各個(gè)零點(diǎn)，然后分別求得的根的個(gè)數(shù)，即得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】解：對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，，
作出直線與函數(shù)的大致圖象，如下：

由圖可知，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則，故①正確；
對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，，
其對(duì)應(yīng)的方程的根判別式為，
當(dāng)時(shí)，，
令，作出函數(shù)，的大致圖象，
分別如下：


由圖可知，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即，，，且，，
又，且函數(shù)的圖象與直線，，共6個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，
令，則，作出函數(shù)，的大致圖象，
分別如下：


由圖可知，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，即，
函數(shù)的圖象與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，為，
所以函數(shù)所有零點(diǎn)之和為，故③正確；
對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，
令，則，
作出函數(shù)，的大致圖象，分別如下：

由圖可知，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即，，
函數(shù)的圖象與直線，共有4個(gè)交點(diǎn)，
所以有四個(gè)零點(diǎn)，故④不正確．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，涉及分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，解題中注意復(fù)合函數(shù)的拆解與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
40．
【分析】作出的圖象，看它和兩條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】時(shí)，，時(shí)，，遞減；
時(shí)，，遞增；
則時(shí)，取極小值也是最小值；
時(shí)，，時(shí)，，遞減；
時(shí)，，遞增；
則時(shí)，取極小值也是最小值，
綜上所述，可作出圖象，在作兩條直線，
結(jié)合圖象可知，與有個(gè)交點(diǎn).
故答案為：.??

41．4
【分析】先將“函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)化為“與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”，再判斷函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)并畫出函數(shù)與的圖象，最后根據(jù)圖象判斷與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可解題.
【詳解】解：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意都滿足，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且，則，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
根據(jù)上面表述畫出函數(shù)與的圖象，如圖：

所以與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有4個(gè)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有4個(gè)，
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是中檔題.
42．①②
【分析】由可得，利用換元法將函數(shù)分解為和
，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得結(jié)論.
【詳解】由可得：，
設(shè)，則方程等價(jià)于，
若，作出函數(shù)的圖象如圖，

此時(shí)方程有兩根，其中，
由有一解，
由有兩解，此時(shí)共有個(gè)解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如圖，

此時(shí)方程有一根，
由有兩解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；
故答案為：①②.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法
（1）直接法：令，如果能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；
（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，并且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；
（3）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)，和的形式，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（4）利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
43．①④
【分析】分析a取不同值時(shí)函數(shù)的單調(diào)性和圖象性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的圖象及函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定方程的解得個(gè)數(shù).
【詳解】當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的圖象如圖所示，

∴ 當(dāng)時(shí)，無解；①對(duì)，
當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，②錯(cuò)，
當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，可化為,解得(舍去)，
當(dāng)時(shí)，可化為，此方程無解，③錯(cuò)，
當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，可化為,解得，
當(dāng)時(shí)，可化為，
∵ 函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
時(shí)，，時(shí)，
∴???函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)解，
故有三解，④對(duì)，
故選：①④
【點(diǎn)睛】方程的解得個(gè)數(shù)判斷方法：
(1)直接解方程：如果能求出解，由此確定解得個(gè)數(shù)．
(2)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將方程變形為兩個(gè)函數(shù)的等式，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的解．

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