2021年新高考北京數(shù)學卷及答案解析（原卷+解析卷）-試卷下載-教習網(wǎng)

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1. 已知集合，，則（    ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計算即可.【詳解】由題意可得：.故選：B.2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：.故選：D.3. 已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.4. 某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（    ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A. 5. 若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（    ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B6. 《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A. 64 B. 96 C. 128 D. 160【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.7. 函數(shù)是A. 奇函數(shù)，且最大值為2 B. 偶函數(shù)，且最大值為2C. 奇函數(shù)，且最大值為 D. 偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當時，取最大值.故選：D.8. 某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.
  9. 已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則    A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，弦長取得最小值為，解得.故選：C.10. 已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（    ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，，所以.對于，，取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題5小題，每小題5分，共25分．11. 在的展開式中，常數(shù)項為__________．【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.12. 已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸與于點.若，則點的橫坐標為_______；的面積為_______．【答案】    ①. 5    ②. 【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標，求出縱坐標后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，，解得，故，所以，故答案為：5；.13. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則 ________；________.【答案】    ①. 0    ②. 3【解析】【分析】根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.14. 若點關(guān)于軸對稱點為，寫出的一個取值為___．【答案】（滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱，，則，當時，可取的一個值為.故答案為：（滿足即可）. 15. 已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有個1零點；③存在負數(shù)，使得恰有個3零點；④存在正數(shù)，使得恰有個3零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．     三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16. 在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：. 17. 如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點．（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】(1)首先將平面進行擴展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結(jié)，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點，當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
  18. 在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【解析】【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.
  19. 已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.20. 已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點M，N，當|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標準方程.（2）設(shè)，求出直線方程后可得的橫坐標，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標準方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.21. 設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列： ①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．【解析】【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.【詳解】(1)因為所以，因為所以所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當，則前四項為:0，0，0，1，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當時命題成立，當時：若，則，利用性質(zhì)③：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因，有即當時命題成立，證畢.綜上可得：，(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，，因此，此時，，滿足題意.【點睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

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