? 2021年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題16-21題
原題16
1．在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
變式題1基礎(chǔ)
2．已知△ABC中，，a＝3．再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（1）b的值；
（2）△ABC的面積
條件①：b+c＝6；
條件②：b＝2c．
變式題2鞏固
3．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，若，，且的角平分線交于D點(diǎn)，求的長(zhǎng).
變式題3鞏固
4．在中，，.
（1）求的大小；
（2）在下列三個(gè)條件中，選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.
①；②邊上的高等于1；③.
變式題4鞏固
5．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.
①；②；③.
已知中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，___________.
（1）求A；
（2）若且，求的面積.
變式題5鞏固
6．在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)（將序號(hào)填在橫線上，多填則默認(rèn)為所填的第一個(gè)序號(hào)），補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.
在中，它的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，的面積是，______.若問(wèn)題中的三角形存在，求值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
變式題6提升
7．在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答.
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且___________.
（1）求角的大??；
（2）若點(diǎn)滿足，且，求面積的最大值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
變式題7提升
8．在中，．
（1）D為線段上一點(diǎn)，且，求長(zhǎng)度；
（2）若為銳角三角形，求面積的范圍．
原題17
9．如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．

（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
變式題1基礎(chǔ)
10．四棱錐S﹣ABCD如圖所示，其中四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC，SA⊥平面ABCD，DA＝DCAB＝1，AC與BD交于點(diǎn)G，直線SC與平面ABCD所成角的余弦值為，點(diǎn)M在線段SA上．

（1）若直線SC平面MBD，求的值；
（2）求平面SBC與平面BCD所成二面角的正切值．
變式題2基礎(chǔ)
11．三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求平面和平面的夾角的余弦值．
變式題3鞏固
12．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，平面平面，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
變式題4鞏固
13．在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
變式題5鞏固
14．在四棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，，，，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
變式題6提升
15．如圖，在四棱柱中，四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，.側(cè)棱平面，.

（1）求二面角的余弦值；
（2）設(shè)是的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面PDB？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式題7提升
16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，
，分別為中點(diǎn)，．

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
原題18
17．在核酸檢測(cè)中, “k合1” 混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.
現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.
（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的
分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)
變式題1基礎(chǔ)
18．已知有五個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅色，2個(gè)黑色.現(xiàn)在對(duì)五個(gè)小球隨機(jī)編為1，2，3，4，5號(hào)，紅色小球的編號(hào)之和為A，黑色小球的編號(hào)之和為B，記隨機(jī)變量.
（1）求時(shí)的概率；
（2）求隨機(jī)變量X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
變式題2基礎(chǔ)
19．某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號(hào)電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號(hào)電動(dòng)汽車1年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”．從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲及以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“＋”表示A組的客戶，“⊙”表示B組的客戶．

注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動(dòng)汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值．
（1）記A，B兩組客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為m，n，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試比較m，n的大小（結(jié)論不要求證明）；
（2）從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，求其中至少有1位是A組的客戶的概率；
（3）如果客戶的電動(dòng)汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350，那么稱該客戶為“駕駛達(dá)人”，從A，B兩組客戶中，各隨機(jī)抽取1位，記“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列．
變式題3鞏固
20．有9個(gè)外觀相同的同規(guī)格砝碼，其中1個(gè)由于生產(chǎn)瑕疵導(dǎo)致質(zhì)量略有減少，小明想通過(guò)托盤天平稱量出這個(gè)有瑕疵的砝碼，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：
方案一：每次從待稱量的砝碼中隨機(jī)選2個(gè)，按個(gè)數(shù)平分后分別放在天平的左、右托盤上，若天平平衡，則選出的2個(gè)砝碼是沒(méi)有瑕疵的；否則，有瑕疵砝的砝碼在下降一側(cè)．按此方法，直到找出有瑕疵的砝碼為止．
方案二：從待稱量的砝碼中隨機(jī)選8個(gè)，按個(gè)數(shù)平分后分別放在天平的左、右托盤上，若天平平衡，則未被選出的那個(gè)砝碼是有瑕疵的；否則，有瑕疵的砝碼在下降一側(cè)，每次再將該側(cè)砝碼按個(gè)數(shù)平分，分別放在天平的左、右托盤上，…，直到找出有瑕疵的砝碼為止．
（1）記方案一的稱量次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布；
（2）上述兩種方案中，小明應(yīng)選擇何種方案可使稱量次數(shù)的期望較小？并說(shuō)明理由．
變式題4鞏固
21．某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步籃兩個(gè)項(xiàng)目.每個(gè)學(xué)生在每個(gè)項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動(dòng)作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三步籃考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，一組先進(jìn)行三步籃考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無(wú)需進(jìn)行下一個(gè)項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行考核，無(wú)論第二個(gè)項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核.已知小明定點(diǎn)投籃考核合格的概率為0.8，三步籃考核合格的概率為0.7，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無(wú)關(guān).
（1）若小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說(shuō)明理由.
變式題5鞏固
22．在我國(guó)，月日的月日數(shù)恰好與火警電話號(hào)碼相同，而且這一天前后，正值風(fēng)干物燥、火災(zāi)多發(fā)之際，全國(guó)各地都在緊鑼密鼓地開(kāi)展冬季防火工作，為增加全民的消防安全意識(shí)，于年發(fā)起，公安部將每年的月日定為全國(guó)的“消防日”．為切實(shí)提高中學(xué)生消防安全知識(shí)，增強(qiáng)火災(zāi)的應(yīng)對(duì)能力，某市特舉辦以“消防安全進(jìn)萬(wàn)家，平安相伴你我他”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙同學(xué)將代表學(xué)校參加．為取得好成績(jī)，二人在消防知識(shí)題庫(kù)中各隨機(jī)選取題練習(xí)，每題答對(duì)得分，答錯(cuò)得分，練習(xí)結(jié)果甲得分，乙得分．若以二人練習(xí)中答題正確的頻率作為競(jìng)賽答題正確的概率，回答下列問(wèn)題．
競(jìng)賽第一環(huán)節(jié)，要求甲乙二人各選兩題做答，每題答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分，求甲乙二人得分和的概率分布列和期望；
第二環(huán)節(jié)中，要求二人自選兩道題或四道題做答，要求一半及一半以上正確才能過(guò)關(guān)，那么甲乙二人怎樣選擇，各自過(guò)關(guān)的可能性較大．
變式題6鞏固
23．甲?乙?丙?丁?戊五位同學(xué)參加一次節(jié)日活動(dòng)，他們都有機(jī)會(huì)抽取獎(jiǎng)券.墻上掛著兩串獎(jiǎng)券袋（如圖），A，B，C，D，E五個(gè)袋子分別裝有價(jià)值100，80，120，200，90（單位：元）的獎(jiǎng)券，抽取方法是這樣的：每個(gè)同學(xué)只能從其中一串的最下端取一個(gè)袋子，得到其中獎(jiǎng)券，直到禮物取完為止.甲先取，然后乙?丙?丁?戊依次取，若兩串都有禮物袋，則每個(gè)人等可能選擇一串取.

（1）求丙取得的禮物券為80元的概率；
（2）記丁取得的禮物券為X元，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
變式題7提升
24．個(gè)人所得稅起征點(diǎn)是個(gè)人所得稅工薪所得減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個(gè)稅起征點(diǎn)與個(gè)人稅負(fù)高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點(diǎn).隨著我國(guó)人民收入的逐步增加，國(guó)家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費(fèi)支出水平增長(zhǎng)等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國(guó)實(shí)施個(gè)稅新政.實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括: ①個(gè)稅起征點(diǎn)為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除; ③專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下:

舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元)
新個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元)
繳稅級(jí)數(shù)
每月應(yīng)納稅所得額(含稅) 收入個(gè)稅起征點(diǎn)
稅率/%
每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除
稅率/%
1
不超過(guò)元

不超過(guò)元

2
部分超過(guò)元至元部分

部分超過(guò)元至元部分

3
超過(guò)元至元的部分

超過(guò)元至元的部分

4
超過(guò)元至元的部分

超過(guò)元至元的部分

5
超過(guò)元至元部分

超過(guò)元至元部分

···
···
···
···


隨機(jī)抽取某市名同一收入層級(jí)的無(wú)親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無(wú)親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除，同時(shí)他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除.新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入.根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題.
（1）按新個(gè)稅方案，設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
（2）根據(jù)新舊個(gè)稅方案，估計(jì)從2022年1月開(kāi)始，經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個(gè)稅之和就能購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為元的華為智慧屏巨幕電視?
變式題8提升
25．為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？
（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為.
①求出的最大值點(diǎn)；
②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.
原題19
26．已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
變式題1基礎(chǔ)
27．已知函數(shù).
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)以及極值；
（3）求函數(shù)的值域.
變式題2基礎(chǔ)
28．已知函數(shù)．
（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求在上的最大值與最小值．
變式題3鞏固
29．已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.
變式題4鞏固
30．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，若直線是函數(shù)的圖象的切線，求的最小值；
（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.
變式題5鞏固
31．已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程（用表示）
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
變式題6鞏固
32．設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.
變式題7提升
33．已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式題8提升
34．已知函數(shù)，，…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
原題20
35．已知橢圓一個(gè)頂 點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．
變式題1基礎(chǔ)
36．設(shè)橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))的中點(diǎn)為.若拋物線：的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，，且的面積為，求直線的斜率.
變式題2基礎(chǔ)
37．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式題3鞏固
38．已知雙曲線：上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)與其兩個(gè)頂點(diǎn)的連線的斜率之積為.
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）橢圓：的離心率等于，過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作兩條與雙曲線的漸近線平行的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.
變式題4鞏固
39．橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為的垂心？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式題5鞏固
40．已知橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離是，且成等的比數(shù)列.
（1）求橢圓的方程；
（2）我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若直線的斜率為，當(dāng)，求此時(shí)“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程.
變式題6鞏固
41．已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，原點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以此橢圓的上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式題7提升
42．如圖所示，橢圓C：（a＞b＞0）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為，最小距離為．

（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C上的點(diǎn)A（A不在坐標(biāo)軸上）的直線l與x，y軸的交點(diǎn)分別為M，N，且＝，過(guò)原點(diǎn)O的直線與l平行，且與C交于B，D兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．
變式題8提升
43．如圖，橢圓的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，，兩切線的斜率分別為，.
①求的值；
②若與橢圓交于，兩點(diǎn)，與圓切于點(diǎn)A，與軸正半軸交于點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且滿足，求的方程.
原題21
44．設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．
變式題1基礎(chǔ)
45．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5.
(1)求a18的值；
(2)求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
變式題2鞏固
46．對(duì)于數(shù)列，，…，，記，.設(shè)數(shù)列，，…，和數(shù)列，，…，是兩個(gè)遞增數(shù)列，若與滿足，，且，，則稱，具有關(guān)系.
（Ⅰ）若數(shù)列：4，7，13和數(shù)列：3，，具有關(guān)系，求，的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，存在無(wú)數(shù)對(duì)具有關(guān)系的數(shù)列；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，寫出一對(duì)具有關(guān)系的數(shù)列和，并驗(yàn)證你的結(jié)論.
變式題3鞏固
47．若無(wú)窮數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”．
（1）若具有性質(zhì)“”，且，，求；
（2）若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，求證：具有性質(zhì)“”．
變式題4鞏固
48．若數(shù)列滿足：對(duì)于任意的，總存在且，使成立，則稱數(shù)列為“Z數(shù)列”.
（1）若，判斷數(shù)列是否為“Z數(shù)列”，說(shuō)明理由；
（2）證明等差數(shù)列為“Z數(shù)列”的充要條件是“的公差d等于首項(xiàng)”；
（3）是否存在既是等比數(shù)列又是“Z數(shù)列”的數(shù)列？若存在，求出所有可能的公比的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式題5提升
49．對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).
（1）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，求的值；
（2）記為，，，四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)組成的數(shù)對(duì)序列和，試分別對(duì)和兩種情況比較和的大??；
（3）在由五個(gè)數(shù)對(duì)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列使最小，并寫出的值.(只需寫出結(jié)論).
變式題6提升
50．給定整數(shù)，數(shù)列、、、每項(xiàng)均為整數(shù)，在中去掉一項(xiàng)，并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.
（Ⅰ）已知數(shù)列、、、、，寫出、、的值及的特征值；
（Ⅱ）若，當(dāng)，其中、且時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.

參考答案：
1．（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；
（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；
若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；
若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.
【詳解】（1），則由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，
與矛盾，故這樣的不存在；
若選擇②：由（1）可得，
設(shè)的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
，
則周長(zhǎng)，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：
；
若選擇③：由（1）可得，即，
則，解得，
則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：
.
2．（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；
【分析】若選條件①：（1）由已知可得c＝6﹣b，利用余弦定理可得b的值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
若選條件②：（1）由已知利用余弦定理可得b2﹣7b+12＝0，解方程可得b的值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】若選條件①：b+c＝6，即c＝6﹣b，
（1）因?yàn)?，a＝3，
所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得：，可解得b＝4．
（2）因?yàn)椋?br /> 所以△ABC的面積．
若選條件②：b＝2c，
（1）因?yàn)?，a＝3，
所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得：，可得b2﹣7b+12＝0，
解得b＝4或3．
（2）因?yàn)椋?br /> 當(dāng)b＝4時(shí)，△ABC的面積，
當(dāng)b＝3時(shí)，△ABC的面積．
3．
【分析】選①利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選②利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選③利用三角形面積公式可得.再由，結(jié)合角平分線和面積公式即可得解.
【詳解】選①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
選②，由得，
∴即，
∴又，
∴.
當(dāng)時(shí)，
為的角平分線，所以，
由 ，得，
由，，解得：.
4．（1）；（2）選①不符合題意；選②：；選③：.
【分析】（1）由余弦定理結(jié)合的范圍即可求解；
（2）若選①：由余弦定理求出，得出三角形存在兩個(gè)不符合題意；若選②：利用邊角關(guān)系可求出，可知三角形為等腰三角形且唯一確定，求出角，由三角形的面積公式即可求解；若選③：由正弦定理化邊為角求出角，此時(shí)三角形存在一個(gè)，求出邊，再由面積公式即可求解.
【詳解】（1）由可得，
在中，由余弦定理可得：，
因?yàn)?，所以?br /> （2）若選①：
在中，由余弦定理可得：
，即，
所以，解得：或，且都能構(gòu)成三角形，
此時(shí)存在兩組解，不符合題意；
若選②：邊上的高等于1，因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)?，所以，?br /> 此時(shí)為等腰三角形，且唯一確定，
.
若選③：，
由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋裕?br /> 所以存在且唯一確定，
又因?yàn)?，，所以?br /> 所以.
5．條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.
【分析】選①，（1）利用三角形內(nèi)角的關(guān)系及兩角和的正弦公式可得，即可得出答案；
（2）根據(jù)余弦定理可得為等邊三角形，從而求得三角形的邊長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可得出答案.
選②，（1）利用三角形內(nèi)角的關(guān)系及兩角和的正切公式可得，即可得出答案；
（2）同上.
選③，（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩腳和差的正弦定理可得，即可得出答案；
（2）同上.
【詳解】解：選①，（1），
由誘導(dǎo)公式得：，即，
因?yàn)?，所以，又，所以?br /> （2）由余弦定理：，所以，
從而，又，所以，所以為等邊三角形，
又因?yàn)?，所以，則.
選②，（1）由誘導(dǎo)公式得，
整理即有，
又已知，且，
所以，又，所以.
（2）同上.
選③，（1）已知，
由正弦定理可得，
可得：，即，
因?yàn)?，所以，即?br /> 又，所以.
（2）同上.
6．條件選擇見(jiàn)解析，.
【分析】先利用正弦定理將已知等式中的邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，可推出，再由，可得．
選擇條件①：結(jié)合余弦定理，和，解該方程組即可求解；
選擇條件②：由正弦定理可得，從而求得和的值，再由余弦定理即可求解；
選擇條件③：由正弦定理可得，從而求得和的值，再由余弦定理即可求解．
【詳解】解：，
由正弦定理可得，即，
，，
，
，，即，
又，．
的面積，
．
選擇條件①：
由余弦定理知，
又，
，化簡(jiǎn)得，，
解得或（舍負(fù)），
．
選擇條件②：
，由正弦定理得，
又，
，，
由余弦定理知，，
．
選擇條件③：
由正弦定理知，，
，
，，
又，．
下面的步驟同②．
7．條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.
【分析】（1）選①：由正弦定理得，整理得，利用余弦定理可得解；選②：利用余弦定理得，再利用余弦定理可得解；選③：利用余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即可求解；
（2）由，可知，利用余弦定理化簡(jiǎn)整理得，再利用基本不等式結(jié)合面積公式可求最值.
【詳解】若選①：（1）由正弦定理得，
所以，整理得，
所以，
又，所以.
若選②：（1）由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，
所以，
又，所以.
若選③：（1）由余弦定理得，化簡(jiǎn)得
又，所以.
（2），所以，
在中，由余弦定理知，，
即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
從而，，
所以面積的最大值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（5）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.
8．（1）；（2）.
【分析】(1)由三角形面積及所給數(shù)量積過(guò)求出角B，再求出并借助余弦定理即可得解；
(2)設(shè)，由銳角三角形求出范圍，借助正弦定理用表示出AB，列出用表示的面積關(guān)系，經(jīng)化簡(jiǎn)變形即可作答.
【詳解】（1）在中，依題意得：，
則有，于是得，而，則，
又，則，
在中，從而得等邊，即，，
在中由余弦定理得，解得；
（2）在中，，設(shè)，由正弦定理得：
，
于是得，
因是銳角三角形，則，且，
于是有，則，即，，
從而得，
所以面積的取值范圍是．
9．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
由于為正方體，為中點(diǎn)，故，
從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，
據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，
當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，
即點(diǎn)為中點(diǎn).

(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，
則：，
從而：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
從而：，
則：，
整理可得：，故（舍去）.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.



10．（1）；（2）．
【分析】（1）連接MG，因?yàn)锳BCD，則，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，
SCMG，由相似比即可得到答案；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面SBC的法向量，由向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可．
【詳解】解：（1）連接MG，因?yàn)锳B⊥CD，AD⊥DC，則AB∥CD，
由題意，DC＝1，AB＝2，則，
因?yàn)橹本€SC平面MBD，平面SAC∩平面MBD＝MG，SC?平面SAC，
則SCMG，故；
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A（0，0，0），B（0，2，0），S（0，0，1），C（1，1，0），
所以，
設(shè)平面SBC的法向量為，
則，
令y＝1，則，
因?yàn)镾A⊥平面ABCD，則平面ABCD的一個(gè)法向量為，
所以，
設(shè)面SBC與平面BCD所成二面角為θ，
則，
所以，
所以，
故平面SBC與平面BCD所成二面角的正切值為．


11．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【分析】（1）連接，，則交于點(diǎn)，利用三角形中位線性質(zhì)得到，再根據(jù)線面平行的判定即可證明平面；
（2）首先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，，即可得到，，再利用線面垂直的判定即可證明平面.
（3）利用空間向量法求解二面角余弦值即可.
【詳解】（1）連接，，則交于點(diǎn).
如圖所示：

在中，，分別是，的中點(diǎn)，
.
又平面，平面．平面；
（2）如圖，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
，，．
，，
，．
又，平面，
平面；
（3）設(shè)平面的法向量為．
，．
，令，則，，
．
由（2）可知：是平面的法向量．
．
由圖可知：二面角的平面角是銳角．
二面角的余弦值是．
12．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）在中，證明，根據(jù)面面垂直，證明線面垂直，得到，進(jìn)而證得平面；
（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)建立法向量，即可求得二面角的正弦值.
【詳解】解：（1）證明：在正中，為的中點(diǎn)，∴，
∵平面平面，平面平面，且
∴平面
又∵平面
∴
又∵，且.
∴平面.
（2）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，
在正中，，平面平面，
平面平面，∴平面，
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨取，則有，，，，，，
∴，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
則由，
令，則，
又因?yàn)槊妫?br /> 取作為面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為,
∴，
∴，因此二面角的正弦值為.
13．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）連接且交于點(diǎn)，連接，可證明，即得證；
（2）以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解
【詳解】（1）

證明：連接且交于點(diǎn)，連接．
由題意可知，，為中線，
所以為重心，，
所以，平面，平面，
所以平面．
（2）因?yàn)椋?，，所以?br /> 又因?yàn)?，，所以，即?br /> 所以，，兩兩垂直．
故以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由圖可知，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則有即，可令，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有即，可令，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即二面角的正弦值為．
14．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接、、，可得，從而得到平面；
（2）取的中點(diǎn)為，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接、、，
因?yàn)?，，故四邊形為等腰梯形?br /> 如圖，過(guò)作的垂線，垂足分別為，則，

因?yàn)?，所以，故，同理?br /> 所以，所以.
所以四邊形與四邊形都是菱形，且為的中點(diǎn)，
所以為的中點(diǎn)，，又因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面.
（2）解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br /> 平面，所以平面；
取的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈妊菪?，所?
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則,
所以，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，
取，則，故.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，,
取，則，故.
所以，
因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，故二面角的余弦值為．
15．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，易得平面，平面，則以，，方向建立空間直角坐標(biāo)系，顯然平面的一個(gè)法向量是，再求解平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，由求解；
（2）法一：連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，設(shè)N是EC的中點(diǎn)，再連接ON，由中位線得到，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，滿足平面PDB，在中，利用平面幾何知識(shí)求解；法二：利用空間向量法，設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)平面，由求解.
【詳解】（1）由題意，是正三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，
所以，
又平面，平面.
如圖1，以，，方向建立空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，
顯然，平面的一個(gè)法向量是，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
設(shè)二面角的平面角為，
則.
（2）在線段上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).
論證如下：
如圖2甲連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EC，設(shè)N是EC的中點(diǎn)，再連接ON，
又菱形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，由中位線知：，
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫鍼DB，平面PDB，
所以平面PDB.
如圖乙，在中，作交BP于點(diǎn)F，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，

所以由中位線關(guān)系得：，①
又由可得：與相似，又N是EC的中點(diǎn)，
所以，結(jié)合①知：，從而可得.
法二：利用空間向量法，設(shè)，即有，
因?yàn)椋?br /> 所以，又，，
于是，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
因?yàn)?，的中點(diǎn)為，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，
即，
解得，
即線段上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).
16．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）不存在；理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）作的中點(diǎn)，連接，先利用面面平行的判定定理，證明出平面平面，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出平面；
（2）作垂直于，作，連接，作中點(diǎn)，連接，先證出為二面角的平面角，進(jìn)而求得和，最后在直角三角形中求得；
（3）先假設(shè)存在點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，表示出和，根據(jù)向量共線的性質(zhì)建立等式對(duì)求解．
【詳解】（1）作的中點(diǎn)，連接，
∵在中，為中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
同理可證明平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面；
（2）作垂直于，作，連接，作中點(diǎn)，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵為中點(diǎn)，
∴，，
∵側(cè)面底面，
∴底面，
∵，
∴，
∴為二面角的平面角，
∵，
∴∽，
∴，，
∴
∴，
∴，
即二面角的余弦值為；

（3）不存在．
假設(shè)存在，連接，交于點(diǎn)，為平面和平面的交線，
以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則（1，0，0），（1，2，0），（﹣1，2，0），（﹣1，0，0），
，，（0，1，0），
設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
∵，
即，令，則，
∵因?yàn)槠矫妫?br /> ∴，
∴，，，
∵，共線，，，
∴，
∴，無(wú)解，
故在棱上不存在一點(diǎn)，使得平面.

17．（1）①次；②分布列見(jiàn)解析；期望為；（2）．
【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；
②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.
【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；
所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；
②由題意，可以取20，30，
，，
則的分布列:







所以；
（2）由題意，可以取25，30，
兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，
則.



18．（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計(jì)算公式、組合的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)整數(shù)的奇偶性，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)、古典概型計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，或
所以或或，
所以；
（2）因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以A，B必然一奇一偶，所以X為奇數(shù)，
所以，，
即X所有可能的取值為，
當(dāng)時(shí)，或或，所以；
由（1）知，；
當(dāng)時(shí)，或，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以.
所以隨機(jī)變量X的概率分布列如下表：
P
1
3
5
7
9
X






隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.
19．（1）；（2）；（3）分布列見(jiàn)解析.
【分析】（1）直接得出答案;（2）設(shè)“從抽取的20位客戶中任意抽取2位，至少有一位是A組的客戶”為事件M，利用古典概型及排列組合能求出從抽取的20位客戶中任意抽取2位至少有一位是A組的客戶的概率;（3）依題意ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列.
【詳解】（1）;
（2）設(shè)“從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，至少有1位是A的客戶”為事件，
則，
所以從抽取的20位客戶中隨機(jī)抽取2位，至少有1位是A組的客戶的概率是;
（3）由題圖，知A組“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為1，B組“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為，的取值范圍為，
則，，.
所以隨機(jī)變量的分布列為：

0
1
2





20．（1）分布列見(jiàn)解析；（2）方案一稱量次數(shù)的期望較小，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，從而得到，，
，，再計(jì)算分布列即可.
（2）首先根據(jù)（1）得到，設(shè)方案二的稱量次數(shù)為隨機(jī)變量為，則，
計(jì)算，即可得到答案.
【詳解】（1）由題知： ，
，，
，，
分布列為：











（2）由（1）知：，
設(shè)方案二的稱量次數(shù)為隨機(jī)變量為，則，
，，
.
所以小明應(yīng)選擇方案一可使稱量次數(shù)的期望較小.
21．（1）分布列答案見(jiàn)解析；（2）小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，4，10，分別計(jì)算出概率得分布列；
（2）由（1）求出期望，再求得小明先進(jìn)行三步籃考核，記為小明的累計(jì)得分的分布列，計(jì)算出期望，比較期望的大小可得．
【詳解】解：（1）由已知可得，的所有可能取值為0，4，10，
則，
，
，
所以的分布列為：

0
4
10

0.2
0.24
0.56

（2）小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，理由如下：
由（1）可知小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，累計(jì)得分的期望為，
若小明先進(jìn)行三步籃考核，記為小明的累計(jì)得分，
則的所有可能取值為0，6，10，
，
，
，
則的期望為，
因?yàn)椋?br /> 所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核.
22．分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；甲選道題，乙選道題．
【分析】求出甲答題的正確率和乙答題的正確率，設(shè)甲乙二人得分和的隨機(jī)變量為，則的可能取值為，，，，，進(jìn)而求出相應(yīng)概率并列分布列，利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法計(jì)算即可；
分別求出甲乙選題和選道題的過(guò)關(guān)率，即可判斷.
【詳解】解：由已知得，甲答題的正確率為，乙答題的正確率為，
設(shè)甲乙二人得分和的隨機(jī)變量為，則的可能取值為，，，，.
則




的分布列為














甲選題，過(guò)關(guān)率為
甲選題時(shí)，過(guò)關(guān)率為
甲選道題
乙選題，過(guò)關(guān)率為
乙選題，過(guò)關(guān)率為
乙選道題.
23．（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】（1）列出甲乙丙摸卷的所有可能，根據(jù)互斥事件概率的加法公式即可求出丙取得的禮物券為80元的概率；
（2）列出甲乙丙丁戊摸卷的所有可能，得到丁取得的禮物券X元為隨機(jī)變量，求其分布列即可.
【詳解】（1）由題意知，列舉如下：

所以丙取得的禮物券為80元的概率:
.
（2）如下圖，

所以X的可能取值為100，80，200，90，
又因?yàn)椋?br /> ；
；
；
所以分布列為：
X
80
90
100
200
P





所以.
24．（1）分布列見(jiàn)解析，3150；（2）12個(gè)月.
【分析】（1）先求出的可能值為，再求其對(duì)應(yīng)的概率即得解；
（2）先求出該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者每月少繳的個(gè)稅為元，再解不等式即得解.
【詳解】解:既不符合子女教育扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，
月繳個(gè)稅元;
只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，
月繳個(gè)稅元;
只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，
月繳個(gè)稅元;
既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額元，
月繳個(gè)稅元.
所以的可能值為，
依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是，
所以
，
，
，
所以的分布列為











所以
在舊政策下該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年每月應(yīng)納稅所得額為元，
其月繳個(gè)稅為元，
由知在新政策下該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元，
所以該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者每月少繳的個(gè)稅為元.
設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)月，該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者少繳的個(gè)稅的總和就超過(guò)
則
因?yàn)?br /> 所以
所以經(jīng)過(guò)個(gè)月﹐該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者就能購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為元的華為智慧屏巨幕電視.
25．（1）；（2）①；②分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即得；
（2）由題可求，然后利用導(dǎo)數(shù)可求最值，再利用條件可求隨機(jī)變量的分布列，即得.
【詳解】（1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是；
（2）①由題可知，
，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值點(diǎn)，
②的可能取值為0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列為

0
1
2
3






的期望為.
26．（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：













增
極大值
減
極小值
增

所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，，.
27．(1)；
(2)極值點(diǎn)為，極小值為，極大值為；
(3)
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，求出，即可求出切線方程；
(2)令得，討論函數(shù)的變化情況，從而得到函數(shù)的極值；
(3)由(2)知函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的值域.
【詳解】由函數(shù)，知的定義域?yàn)镽，得，
(1)曲線在處的切線斜率為，又，
所以曲線在處的切線方程為：；
(2)令，得，即函數(shù)的極值點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，在時(shí)取得極大值；
(3)由(2)知在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?
28．（1）；（2）最大值與最小值分別為與．
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可求出結(jié)果；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?br /> 所以．
所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）由（1）知
令，則；令，則．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以
又，所以．
所以在上的最大值與最小值分別為與．
29．（1）；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；（3）最大值為，最小值為.
【分析】（1）求導(dǎo)，代入可得切線斜率，又，求解即可；
（2）代入，故，分，討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)即可；
（3）結(jié)合（2）中單調(diào)性可得，，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可比較和0的大小.
【詳解】（1）的導(dǎo)函數(shù)為，所以，
依據(jù)題意，有，即，解得.
（2）由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.
（3）由（2）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以最大值為?br /> 設(shè)，其中，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，
故最小值為.
30．（1）-1；（2）.
【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可用表示出，得到的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值；
（2）根據(jù)極值存在的條件，由可得在上有變號(hào)根，由函數(shù)的單調(diào)性和圖象即有或，解出不等式組即可求解．
【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，又，，
令，
解得，解得，在上遞減，在上遞增.，的最小值為-1.
（2）因?yàn)椋?
設(shè)，則
由，得.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
且，，.顯然.
結(jié)合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，
則或解得
故a的取值范圍為.
31．（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由直線的點(diǎn)斜式方程可求得所求的切線方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分，兩種情況，分別分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得原函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由（2）所得的單調(diào)性，分，兩種情況，得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而可求得其最值.
【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所以，?br /> 所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為；
（2）因?yàn)?，所?br /> 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，所以
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
32．（1）；（2）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）
【分析】（1）若，，計(jì)算可得切點(diǎn)，計(jì)算可得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線的方程；
（2）求定義域，以及，分別解不等式、即可得單間區(qū)間和單增區(qū)間；
（3）結(jié)合（2）可求得，解不等式即可求解.
【詳解】（1）若，，可得，所以切點(diǎn)為，
，所以切線的斜率，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；
（2）定義域?yàn)椋?br /> ，
因?yàn)椋?，故?br /> 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；
（3）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則在沒(méi)有零點(diǎn)，
由（2）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
解得：，
當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，
所以若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍為.
33．（1）；（2）.
【分析】（1）求導(dǎo)，分析單調(diào)性，即可得到最值；
（2）原式等價(jià)于，構(gòu)造，找到的極小值點(diǎn)，利用“隱零點(diǎn)”的方式來(lái)解決問(wèn)題.
【詳解】（1）當(dāng)，
,令
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增
所以
（2）因?yàn)榧?br /> 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立
因?yàn)?br /> 設(shè)因?yàn)楣蚀嬖?，?br /> 且在時(shí)，在時(shí)，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
故要滿足題意，有
由代入上式

即
由
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而
故①當(dāng)時(shí)，函數(shù)符合要求
又所以，即
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)不符合要求
綜上：
34．（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）求，分別討論、、以及時(shí)，求不等式和的解集即可求解；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，分四類、、以及時(shí)討論時(shí)的范圍，前三類只需舉反例說(shuō)明不成立，當(dāng)時(shí)，分和兩種情況討論即可求解.
【詳解】（1）由可得
①若，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
②若，由得：或，且，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
③若，由得：，
恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
④若，由得：或，且，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，所以，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
所以對(duì)恒成立，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
所以，所以，
綜上可知：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)：
①可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；
②可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.
35．（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，從而可求的范圍，注意判別式的要求.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)，故，
因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）

設(shè)，
因?yàn)橹本€的斜率存在，故，
故直線，令，則，同理.
直線，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又

故即，
綜上，或.
36．(1)；(2).
【分析】(1)根據(jù)已知條件，分別求出A、B、F1、F2點(diǎn)，進(jìn)而求出、、即可求解；(2)結(jié)合已知條件設(shè)出直線PQ，并與橢圓方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)的關(guān)系式，然后利用直線PQ的斜率表示出面積，再結(jié)合面積數(shù)值即可求解.
【詳解】(1)由題意易知，，，，則，，
得，，
故橢圓的方程為:.
(2)由題意，得，直線不與軸垂直，
設(shè)直線的方程為，，，
由，
則，，，
所以，
解得，，即，
故直線的斜率為.
37．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）由題意得，解方程組可求出的值，從而可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合可求出的值，從而可求出直線方程
【詳解】（1）由題意得：，解得
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，
，不符合題意
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線的方程為，，
由消整理得：
，
解得或
，
∴

∵
∴
解得，滿足
所以存在符合題意的直線，其方程為.
38．（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則①，由，得到，代入①化簡(jiǎn)得，即得解；
（2）由離心率得橢圓方程為，設(shè)，，求出點(diǎn),由得到，即得解.
【詳解】（1）設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則①
雙曲線的頂點(diǎn)為，，由題設(shè)知
，故，
代入①式可得.
又為雙曲線上任意一點(diǎn)，故，所以，雙曲線的漸近線方程為.
（2）由橢圓的離心率，可得，
故橢圓方程為，即.
設(shè)，，則.②
設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去，
聯(lián)立②式整理得，即，故，
從而.所以.
而直線的方程為，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
結(jié)合②式可得，所以橢圓的方程為，即.
39．（1）；（2）存在；.
【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)條件求出；根據(jù)求得，從而可求出的值，即可求出橢圓方程；
（2）假設(shè)存在，根據(jù)條件設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達(dá)；根據(jù)點(diǎn)F恰為的垂心，得出，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出直線方程.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，即，即?br /> 所以，
所以橢圓方程為.
（2）假設(shè)存在直線l交橢圓于兩點(diǎn)，使點(diǎn)F恰為的垂心.
設(shè)，因?yàn)?，所以?br /> 所以設(shè)直線的方程為，
由，得，
所以，.
因?yàn)镕為的垂心，所以，
即，所以，
所以，解得或(舍)，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足.
所以存在直線l交橢圓于兩點(diǎn)，使點(diǎn)F恰為的垂心，且直線l的方程為.
40．（1）；（2）或.
【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出的值即可求解；
（2）設(shè)“衛(wèi)星圓”圓心 ，半徑，衛(wèi)星圓方程為：，
切線方程為：，利用圓心到切線的距離等于半徑列方程整理為關(guān)于的二次方程，根據(jù)以及即可得與 的值，即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，解得：，
所以橢圓的方程為：；
（2）設(shè)橢圓C的“衛(wèi)星圓”的圓心 ，則，
圓的半徑為，所以圓的方程為，
設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的切線的方程為：，
所以圓心到切線的距離，
整理可得：，
因?yàn)槿糁本€的斜率為，
所以，即，
由可得，所以，可得，
由韋達(dá)定理可得：，
所以，
整理可得：，即，
解得：或（舍）
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以或，
所以“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.
41．（1）；（2）存在，三個(gè).
【分析】（1）求橢圓的方程即是求，兩參數(shù)的值，由題意布列方程即可；
（2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形，其中，由題意可知，直角邊，不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)邊所在直線的方程為（不妨設(shè)，則邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別解出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出兩線段，的長(zhǎng)度，由兩者相等建立方程求參數(shù)，由解的個(gè)數(shù)判斷三角形的個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以①，
直線的方程為，即’
所以，所以②
聯(lián)立①②，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）假設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形，其中，
由題意可知，直角邊，不可能垂直或平行于軸，
故可設(shè)邊所在直線的方程為，（不妨設(shè)），
則邊所在直線的方程為.
由，得（舍），，
故，
，
用代替上式中的，得，
由，得，
即，即，
，解得或.
故存在三個(gè)滿足題設(shè)條件的內(nèi)接等腰直角三角形.
42．（1）；（2）2.
【分析】（1）由題意，，求解即得解；
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，結(jié)合可得，故可表示直線BD的方程為，與橢圓聯(lián)立可得，計(jì)算點(diǎn)A到直線BD的距離為，故，利用均值不等式可得解最大值.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意得
解得，，所以，
所以橢圓C的方程.
（2）點(diǎn)在橢圓上，所以，即，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，
可得，
因?yàn)?，所以，即?br /> 直線的斜率為
因?yàn)?，所以直線BD的方程為，即，
聯(lián)立，解得，所以，
所以，
點(diǎn)A到直線BD的距離為.
所以
因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，三角形ABD面積的最大值為2，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
43．（1）；（2）①；②或.
【分析】（1）由橢圓的離心率公式和已知點(diǎn)的坐標(biāo)可求得，，從而得橢圓方程；
（2）①設(shè)，切線，根據(jù)直線與圓相切的條件和一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系可求得答案；
②由已知得，設(shè)切線為，與橢圓的方程聯(lián)立可得：，由坐標(biāo)間的關(guān)系可求得，再利用直線與圓的位置關(guān)系可求得m，從而得直線的方程.
【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得：，，
所以橢圓方程為：；

（2）①設(shè)，切線，即
圓心到切線的距離整理可得：，
所以，
②因?yàn)椋?，所以，所以?br /> 設(shè)切線為，由可得：，所以，
令可得，設(shè)，則，所以，
所以，整理可得：，
所以，解得：，
因?yàn)閳A心到距離，
所以，所以，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以所求的方程為或.
44．（1）不可以是數(shù)列；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由題意考查的值即可說(shuō)明數(shù)列不是數(shù)列；
(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；
(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.
【詳解】(1)因 為 所以，
因 為所 以
所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.
(2)性質(zhì)①，
由性質(zhì)③，因此或，或，
若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因?yàn)榛?，所以?
若，則，
不滿足，舍去.
當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，
當(dāng)時(shí)：
若，則，利用性質(zhì)③：
，此時(shí)可得：；
否則，若，取可得：，
而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因?yàn)椋?br /> 即當(dāng)時(shí)命題成立，證畢.
綜上可得：，.
(3)令，由性質(zhì)③可知：
，
由于，
因此數(shù)列為數(shù)列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此時(shí)，，滿足題意.
【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問(wèn)題”，“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.
45．（1）a18＝3.（2）
【解析】(1)根據(jù)定義直接計(jì)算得到答案.
(2)討論n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況，分別計(jì)算得到答案.
【詳解】(1)由題意易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝n.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
綜上所述：
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用.
46．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)詳解；（Ⅲ）數(shù)列，，，，，，，；數(shù)列，，，，，，，；驗(yàn)證過(guò)程見(jiàn)詳解.
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得到對(duì)任意，都有，推出對(duì)任意，都能使數(shù)列，，，，，和數(shù)列，，，，，具有關(guān)系，即可證明結(jié)論成立；
（Ⅲ）通過(guò)試根的方法，確定一組滿足，且具有關(guān)系的數(shù)列和，再由數(shù)列新定義驗(yàn)證，即可得出結(jié)果.
【詳解】（Ⅰ）由題意可得，，解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ），因?yàn)椋?br /> 對(duì)任意，都有，
即，
則，，和，，一組重新按從小到大順序排列得到新數(shù)列，
，，和，，一組重新按從小到大順序排列得到新數(shù)列，
此時(shí)數(shù)列和數(shù)列滿足，；
當(dāng)時(shí)，可得數(shù)列，，，，，和數(shù)列，，，，，具有關(guān)系；滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，，不能滿足，
當(dāng)時(shí)，，不能滿足，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)按遞增順序排列為，，，，，；
數(shù)列中的項(xiàng)按遞增順序排列為，，，，，；此時(shí)滿足；
綜上，除和外，對(duì)于任意的正整數(shù)，都能滿足題意；
即當(dāng)時(shí)，存在無(wú)數(shù)對(duì)具有關(guān)系的數(shù)列；
（Ⅲ）取數(shù)列，，，，，，，；
數(shù)列，，，，，，，；
則，
即；
，
即；
所以，具有關(guān)系.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列新定義的問(wèn)題，處理此類問(wèn)題時(shí)，通常根據(jù)題中新定義的概念，結(jié)合已知結(jié)論求解，本題中，根據(jù)數(shù)列具有關(guān)系的定義，列出方程求解，可得第一問(wèn)，再第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，可證明第二問(wèn)成立，第三問(wèn)可通過(guò)試根法確定一對(duì)數(shù)列，再結(jié)合新定義驗(yàn)證即可，屬于難題.
47．（1）；（2）不具有性質(zhì)“”；答案見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）由已知定義可得，．由此可求得答案；
（2）由已知求得，．假設(shè)具有性質(zhì)“”，推出矛盾可得結(jié)論；
（3）由已知得，．，．由此可得，，可得結(jié)論.
【詳解】解：（1）因?yàn)榫哂行再|(zhì)“”，所以，．
由，得，由，得，
因?yàn)椋?，即?br /> （2）不具有性質(zhì)“”．．．
由等比數(shù)列的公比為，由，得，故
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，
得，由，所以，故．．．
所以．若具有性質(zhì)“”，則，．
因?yàn)椋?，所以，故不具有性質(zhì)“”
（3）因?yàn)榫哂行再|(zhì)“”，所以，．①
因?yàn)榫哂行再|(zhì)“”，所以，．②
因?yàn)?，，所以由①得；由②，得?br /> 所以，即．．．
由①②，得，，
所以，，．．
所以具有性質(zhì)“”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決數(shù)列的新定義問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于緊抓數(shù)列的定義，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得以解決.
48．（1）不是，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，.
【分析】（1）根據(jù)可判斷；
（2）先證必要性，由可證；再由可證充分性；
（3）先由求得公比，再根據(jù)“Z數(shù)列”的定義驗(yàn)證即可.
【詳解】（1）若是“Z數(shù)列”，則由題時(shí)，存在且，使成立，
所以，而，即，
所以不是“Z數(shù)列”；
（2）必要性：若是“Z數(shù)列”，則由（1），即，，
充分性：若，則，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以任意的，取，滿足成立，所以是“Z數(shù)列”.
所以等差數(shù)列為“Z數(shù)列”的充要條件是“的公差d等于首項(xiàng)”.
（3）設(shè)，則由（1），
即，即，解得，
當(dāng)公比為時(shí)，，時(shí)，，，
，
所以，所以是“Z數(shù)列”，
同理可得公比為時(shí)也成立，
故存在既是等比數(shù)列又是“Z數(shù)列”的數(shù)列，公比為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義，解題的關(guān)鍵是正確理解“Z數(shù)列”的定義，巧妙利用求解.
49．（1）7,8；（2）無(wú)論還是，都有成立；（3），，，，.
【詳解】試題分析：根據(jù)條件中的定義，對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，求解.
依題意，，
.
（2），
，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，且?br /> 所以，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，且?br /> 所以，
所以無(wú)論還是，都有成立.
（3）數(shù)對(duì)序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.
，，，，.
考點(diǎn)：新定義題型.

50．（Ⅰ）；；.的特征值為；（Ⅱ），理由見(jiàn)解析；（Ⅲ）最小值為.
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題中的定義可求出、、的值及的特征值；
（Ⅱ）分、和、兩種情況討論，結(jié)合題中定義可證明出；
（Ⅲ）設(shè)，利用（Ⅱ）中的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的特征值為，可得出，并證明出，即可求出的最小值.
【詳解】（Ⅰ）由題知：，，，
的特征值為；
（Ⅱ）.
理由如下：由于，可分下列兩種情況討論：
當(dāng)、時(shí)，
根據(jù)定義可知：，
同理可得：.
所以，所以.??
當(dāng)、時(shí)，同理可得：


，
所以，所以.??????????????
綜上有：；
（Ⅲ）不妨設(shè)，
，
顯然，，
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
由（Ⅱ）可知、的較小值為，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，其特征值為，不符合題意，則必有
.
下證：若，，總有.
證明：
.
所以.
因此
.
當(dāng)時(shí)，可取到最小值，符合題意.
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的新定義，涉及數(shù)列中不等式的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵就是充分利用題中的新定義進(jìn)行求解，考查推理能力，屬于難題.

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