2021年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）高考真題變式題第21-23題解析版

這是一份2021年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）高考真題變式題第21-23題解析版，共32頁(yè)。試卷主要包含了拋物線截直線所得弦長(zhǎng)為，已知拋物線，已知等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
變式題1基礎(chǔ)
2．拋物線截直線所得弦長(zhǎng)為．
（1）求的值；
（2）以此弦為底邊，以軸上點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，求點(diǎn)坐標(biāo)．
變式題2基礎(chǔ)
3．已知過點(diǎn)的拋物線方程為，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且.
（1）求拋物線的方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；
（2）求所在的直線方程.
變式題3鞏固
4．已知拋物線：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，分別以、為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程.
變式題4鞏固
5．過直線y=﹣1上動(dòng)點(diǎn)M，作拋物線的切線MA?MB，A?B為切點(diǎn)，∠AMB=90°.
（1）求拋物線方程；
（2）若△MAB面積為32，求直線AB的斜率.
變式題5鞏固
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，，是的兩條切線， ，是切點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.
（1）求拋物線的方程；
（2）證明：.
變式題6提升
7．已知：拋物線，曲線，過上一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為．
（1）若，求兩條切線的方程；
（2）求面積的取值范圍．
原題22
8．在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．
（1）寫出的一個(gè)參數(shù)方程;
（2）過點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．
變式題1基礎(chǔ)
9．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）把的參數(shù)方程式化為普通方程， 的極坐標(biāo)方程式化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)．
變式題2基礎(chǔ)
10．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，半圓C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程及C的參數(shù)方程；
（2）若直線平行于l，且與C相切于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．
變式題3鞏固
11．已知直線l的參數(shù)方程為（為常數(shù)，為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（1）求直線l和曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
變式題4鞏固
12．在極坐標(biāo)系中，直線：，圓：．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和圓的參數(shù)方程；
（2）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到直線和x軸的距離分別為，求的最大值．
變式題5鞏固
13．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與，軸的交點(diǎn)分別為，.
（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）為曲線上一點(diǎn)，求的面積的最大值.
變式題6提升
14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為(，為參數(shù)).
（1）求曲線的普通方程并說明曲線的形狀.
（2）以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求曲線的對(duì)稱中心到曲線的距離的最大值.
變式題6提升
15．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，點(diǎn)軌跡為.
（1）求的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求面積的最小值.
原題23
16．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范圍．
變式題1基礎(chǔ)
17．（1）解不等式：；
（2）求函數(shù)的值域.
變式題2鞏固
18．已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求f(x)≥6的解集；
（2）若f(x)≥2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
變式題3鞏固
19．已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式題4鞏固
20．已知.
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式題5鞏固
21．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范圍.
變式題6提升
22．已知函數(shù)（，）.
（1）當(dāng)，時(shí)，解不等式；
（2）若的最小值為，求的最小值.
參考答案：
1．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；
（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.
【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值
由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．
所以．
從而有．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法
拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.
[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點(diǎn)在圓M上，則
．
故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法
設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．
設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長(zhǎng)公式得．
點(diǎn)P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當(dāng)時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡(jiǎn)潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；
2．（1）；（2）或.
【分析】（1）設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得關(guān)于的等式，即可解得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】（1）設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，
聯(lián)立，消去整理可得，
，解得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
解得；
（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，解得或.
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
3．(1)拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)或.
【分析】(1)根據(jù)給定條件求出p值即可求解；
(2)設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并借助弦長(zhǎng)公式求解即得.
【詳解】(1)因點(diǎn)在拋物線方程上，則，
所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：；
(2)顯然，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為：，
由消去x得：，設(shè)，則有，
于是得，解得，即直線AB：，
所以所在的直線方程：或.
4．(1)
(2)1，
【分析】（1）設(shè)，，分別求出以為切點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立兩切線方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，代入可得點(diǎn)的軌跡方程；
（2）由（1）知和到直線的距離，利用三角形面積公式求得面積，可求得S的最小值和直線的方程.
（1）
設(shè)，，，
則以A為切點(diǎn)的切線為，整理得：，
同理：以為切點(diǎn)的切線為：，
聯(lián)立方程組：，解得，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立方程組，整理得：，
恒成立，
由韋達(dá)定理得：，，故，
所以點(diǎn)的軌跡方程為；
（2）
解：由（1）知：，
到直線的距離為：，
∴，
∴時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的交點(diǎn)相關(guān)問題，涉及到拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．屬中檔題.
5．（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)，MA，MB的斜率分別為，設(shè)出直線MA的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)，可得，由此得解；
（2）直線AB：y=kx+m，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線的距離公式，再由△MAB面積為32，即可求得k.
【詳解】解：（1）設(shè)，MA，MB的斜率分別為，
∵∠AMB=90°，∴，
直線，即，即，
聯(lián)立，消y并整理可得=0，
∵相切，∴，即，
同理可得，
即是的解，故，∴p=2；
（2）設(shè)直線AB：y=kx+m，聯(lián)立，
消y并整理可得，x2﹣4kx﹣4m=0，
設(shè)，
則由韋達(dá)定理可得，，
∵∠AMB=90°，
∴，可得，
∴，
點(diǎn)M到直線AB的距離為，解得.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
6．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由通徑公式，求，即可求得拋物線方程；（2）證法一：首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，并求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，并通過數(shù)量積公式，可證明，即可證明；證法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，并表示，以及.
【詳解】（1）解：由題意可知，，準(zhǔn)線方程為.
當(dāng)軸時(shí).根據(jù)拋物線的定義可知，，解得，
故的方程為.
（2）證法一：設(shè)，，由，得，
所以的斜率，
從而切線的方程為，即，
同理可知，的斜率，的方程為，
兩式聯(lián)立，解得，，
所以.
設(shè)的方程為，
由得，則，.
即，
所以，即.
則，，
因?yàn)?br>，
所以.
由，得，故.
證法二：設(shè)，，由得，，
所以的斜率，
所以切線的方程為，即，
同理可知，的斜率，的方程為，
設(shè)，則，，
所以，兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的兩個(gè)解，
即直線的方程為，亦即.
又直線恒過定點(diǎn)，
所以，即且直線的方程為.
由得.
所以，.
由拋物線定義知.
所以，
所以.
7．（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)所求切線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，由可求出的值，即可求得所求的兩條切線的方程；
（2）設(shè)、、，寫出拋物線在點(diǎn)、處的切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩切線方程，可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式可得出面積關(guān)于的表達(dá)式，利用函數(shù)思想可求得面積的取值范圍.
【詳解】（1）顯然切線斜率存在，設(shè)切線方程為，
由，得，由，得，
因此，兩條切線的方程為；
（2）設(shè)、、，
先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.
證明：聯(lián)立，消去可得，即，
即，解得，所以，直線與拋物線相切于點(diǎn).
所以，切線的方程為，可得，
切線的方程為，可得，
的方程為，到的距離．
由，得，
由韋達(dá)定理可得，，
為曲線上一點(diǎn)，則，所以，且，
，
，，
，，則.
因此，面積的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
8．（1），（為參數(shù)）；
（2）和．
【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；
（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】（1）由題意，的普通方程為，
所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）
（2）[方法一]：直角坐標(biāo)系方法
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，故舍去．
②當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即．
故，即，解得．
所以切線方程為或．
兩條切線的極坐標(biāo)方程分別為和．
即和．
[方法二]【最優(yōu)解】：定義求斜率法
如圖所示，過點(diǎn)F作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
在中，，又軸，所以兩條切線的斜率分別和．
故切線的方程為，，這兩條切線的極坐標(biāo)方程為和．
即和．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）
方法一：直角坐標(biāo)系中直線與圓相切的條件求得切線方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，
方法二：直接根據(jù)傾斜角求得切線的斜率，得到切線的直角坐標(biāo)方程，然后轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,在本題中巧妙的利用已知圓和點(diǎn)的特殊性求解，計(jì)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解.
9．(1) 的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2) 與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為極坐標(biāo)分別為.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）曲線 的參數(shù)方程利用消去參數(shù)化為普通方程．把代入可得極坐標(biāo)方程; （Ⅱ）曲線 的極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程：．聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可得出．
試題解析：（Ⅰ）將消去參數(shù)，化為普通方程，
即的普通方程為，
由，得，
再將代入，得，
即的直角坐標(biāo)方程為.
（Ⅱ）由解得或
所以與交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.
10．（1）；（t為參數(shù)，）；（2）.
【解析】（1）將參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程，然后再化為參數(shù)方程；
（2）由點(diǎn)D在曲線C上可設(shè)，由題意可知曲線C在點(diǎn)D處的切線斜率為，然后可得D點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）直線l的普通方程為；C的普通方程為．
可得C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．
（2）由點(diǎn)D在曲線C上可設(shè)，由題意可知曲線C在點(diǎn)D處的切線斜率為，．故D的直角坐標(biāo)為，即．
11．（1）直線的普通方程為；曲線的普通方程為；（2）.
【分析】（1）直接消去參數(shù)方程中的參數(shù)可得其普通方程；
（2）由直線與圓有公共點(diǎn)，可得圓心到直線的距離小于半徑，從而可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍
【詳解】（1）由直線的參數(shù)方程（為常數(shù)，為參數(shù)），得：．
由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）得：．
故直線的普通方程為；曲線的普通方程為．
（2）∵直線與圓有公共點(diǎn)，圓心，半徑，
∴圓心到直線的距離．
∴，即所求的取值范圍為．
12．（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）．
【解析】(1)利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，普通方程與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論得到關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定其最大值即可.
【詳解】（1）由：得，；
因?yàn)?，代入有直線的直角坐標(biāo)方程為：，即為
由圓：得，，因?yàn)椋?，
，所以圓直角坐標(biāo)方程為：
由得，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
則
又
那么
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，解題的關(guān)鍵寫出圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題的處理方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
13．（1），；（2）.
【分析】（1）利用三角消參得到曲線的普通方程；由得直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）分別求出和點(diǎn)到直線的距離的最大值，即可求出的面積的最大值.
【詳解】（1）由得，即為曲線的普通方程；
由且消去，得，
即曲線的直角坐標(biāo)方程為.
（2）由（1）知曲線的直角坐標(biāo)方程為，
令得；令得，
所以，，
所以.
設(shè)
則到直線的距離為，
當(dāng)（其中）時(shí)取最大值.
故此時(shí)的面積最大值為.
14．（1）曲線的普通方程為，曲線是以為圓心，1為半徑的圓；（2）.
【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)，曲線的方程消去曲線的參數(shù)，可得曲線的普通方程以及的形狀；
（2）將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，設(shè)出曲線的對(duì)稱中心即為圓心，利用點(diǎn)線距公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出距離的最大值．
【詳解】（1）曲線的方程為(，為參數(shù))可知
(，為參數(shù))
消去參數(shù)得曲線的普通方程為
∴曲線是以為圓心，1為半徑的圓.
（2）將曲線的極坐標(biāo)方程為，即，
化為直角坐標(biāo)方程為
曲線的對(duì)稱中心即為圓心
∴曲線的對(duì)稱中心到曲線的距離
∵
∴曲線的對(duì)稱中心到曲線的距離的最大值為.
15．（1），；（2）.
【分析】（1）消去參數(shù)化方程為直角坐標(biāo)方程，然后由公式代為極坐標(biāo)方程，設(shè)，得，代入極坐標(biāo)方程后可得極坐標(biāo)方程；
（2），得，求出的橫坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，由求得面積，由，可轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，從而求得最小值．
【詳解】（1）由平方關(guān)系消去參數(shù)得，代入得
，化簡(jiǎn)得，此為的極坐標(biāo)方程；
設(shè)，若則，在上，，即，
所以極坐標(biāo)方程為；
（2）由題意點(diǎn)直角坐標(biāo)為，設(shè)，由（1），
則，，
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以的最小值是2．
16．（1）.（2）.
【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集.
（2）利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1）[方法一]：絕對(duì)值的幾何意義法
當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，
則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，
當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，
∴數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，
所以的解集為.
[方法二]【最優(yōu)解】：零點(diǎn)分段求解法
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，無解；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上，的解集為．
（2）[方法一]：絕對(duì)值不等式的性質(zhì)法求最小值
依題意，即恒成立，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：絕對(duì)值的幾何意義法求最小值
由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)a表示的點(diǎn)的距離，得，故，下同解法一.
[方法三]：分類討論+分段函數(shù)法
當(dāng)時(shí)，
則，此時(shí)，無解．
當(dāng)時(shí)，
則，此時(shí)，由得，．
綜上，a的取值范圍為．
[方法四]：函數(shù)圖象法解不等式
由方法一求得后，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)和，
即和，
如圖，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖易知，則．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）解絕對(duì)值不等式的方法有幾何意義法，零點(diǎn)分段法．
方法一采用幾何意義方法，適用于絕對(duì)值部分的系數(shù)為1的情況，
方法二使用零點(diǎn)分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解；
（2）方法一，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得，利用不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式，然后利用絕對(duì)值的意義轉(zhuǎn)化求解；
方法二與方法一不同的是利用絕對(duì)值的幾何意義求得的最小值，最有簡(jiǎn)潔快速，為最優(yōu)解法
方法三利用零點(diǎn)分區(qū)間轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最小值，要注意函數(shù)中的各絕對(duì)值的零點(diǎn)的大小關(guān)系，采用分類討論方法，使用與更廣泛的情況；
方法四與方法一的不同在于得到函數(shù)的最小值后，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解關(guān)于的不等式.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）分三類情況，分別解不等式，最后求并集即可；
（2）利用絕對(duì)值三角不等式及極限思想，即可得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得：，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，可得：，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，可得：(舍去）
綜上，原不等式的解集是.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
即時(shí)取到等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
的最小值為
另一方面，當(dāng)時(shí)，，
.
18．（1）；（2）
【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，然后根據(jù)，利用零點(diǎn)分段法解不等式即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式性質(zhì)可得，把不等式，對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后求出的取值范圍．
【詳解】解：（1）把代入，
可得，
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，則，
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，此式不成立，
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，則．
綜上，不等式的解集為：．
（2），當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
不等式，對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，
若，即，則不等式成立，
若，即，則，
即，解得，則．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
19．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值得性質(zhì)，利用分類討論方法求解不等式；
（2）將不等式解集為R轉(zhuǎn)化為求f(x)的最大值問題，利用絕對(duì)值不等式求得其最大值，然后解關(guān)于a的二次不等式即可.
【詳解】解：（1）原不等式等價(jià)于，不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，，解得，即；
當(dāng)時(shí)，，解得，即；
當(dāng)時(shí)，，解得，即，
綜上所述，不等式的解集為；
（2）由不等式可得，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴，即，解得或.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）利用零點(diǎn)分域法去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，再解不等式組即可求解；
（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，只需的最小值大于或等于即可求解.
【詳解】（1）由，得.
所以 或 或，
即或或，所以，
所以原不等式的解集為.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以的最小值為，
因?yàn)閷?duì)任意恒成立，
所以，解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）分類討論x的范圍求的解集即可.
（2）由絕對(duì)值的幾何意義可得，再討論參數(shù)a求的解集，即可得的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
令，則，而時(shí)，
不等式的解集為.
（2），且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，得，則，
當(dāng)時(shí)，，得，則.
綜上，若，則的取值范圍是.
22．（1）；（2）最小值為.
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合分類討論法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)，即為，得，
所以或或
解得或或，故解集為.
（2）因?yàn)椋?br>所以
.
若的最小值為，則，
所以.
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，
即，時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.