2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題第21-23題解析版

這是一份2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題第21-23題解析版，共31頁。試卷主要包含了已知且，函數(shù)，若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.，已知函數(shù)在處的切線與軸平行，已知函數(shù)的定義域?yàn)椋阎瘮?shù)，設(shè)函數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
? 2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題21-23題
原題21
1．已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
變式題1基礎(chǔ)
2．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
變化題2基礎(chǔ)
3．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在處的切線與軸平行．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
變式題3鞏固
4．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> （1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
變式題4鞏固
5．已知函數(shù)
（1）若在處有極值，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍.
變式題5提升
6．設(shè)函數(shù)（）．
（1）當(dāng)時(shí)，試求下列問題：
①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②函數(shù)在的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求出的取值范圍．
變式題6提升
7．已知函數(shù)（）
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若過點(diǎn)可作函數(shù)圖像的三條不同切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
原題22
8．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．
（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，寫出Р的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點(diǎn)．
變式題1基礎(chǔ)
9．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長度單位相同.
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若過原點(diǎn)的直線l被圓C截得的弦長為2，求直線l的傾斜角.
變化題2基礎(chǔ)
10．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)，求線段PA中點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程.
變式題3鞏固
11．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：，曲線：(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系
（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程：
（2）射線：(，)分別交曲線，于，兩點(diǎn)，求的最大值.
變式題4鞏固
12．已知曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P是曲線C上任一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．
變式題5提升
13．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．
（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式題6提升
14．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.在極坐標(biāo)系中，曲線，點(diǎn).在直角坐標(biāo)系中，，，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并判與4的大小關(guān)系；
（2）直線與曲線交于、兩點(diǎn)，為曲線的右頂點(diǎn)，求的面積.
原題23
15．已知函數(shù)．

（1）畫出和的圖像；
（2）若，求a的取值范圍．
變式題1基礎(chǔ)
16．已知函數(shù).
（1)解不等式；
（2)記函數(shù)的最小值為，且，其中均為正實(shí)數(shù)，求證：
變化題2基礎(chǔ)
17．已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，且函數(shù)的最小值為，求證：.
變式題3鞏固
18．設(shè)函數(shù)的最小值為.
（1）求的值；
（2）若，且，，用表示，，中的最大值，證明：
變式題4鞏固
19．已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若，求證：．
變式題5提升
20．已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）不等式的最小值為，若，為正數(shù)，且，證明：.
變式題6提升
21．設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足．
（1）證明：；
（2）若對任意的實(shí)數(shù)x，y，z，a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

參考答案：
1．（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,
令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的解為且．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．
因?yàn)椋詢蛇吶?shù)得，即，問題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．
當(dāng)與為同一直線時(shí)有得
直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因?yàn)椋傻茫?br /> 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取對?shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實(shí)數(shù)a的范圍為．]
【整體點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，
方法一：將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.
方法三：將問題取對，分成與兩個(gè)函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點(diǎn)的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．
方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.
2．(1)
(2)

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極值點(diǎn)和極值，列出方程求解函數(shù)的解析式；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及極值，通過有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，數(shù)形結(jié)合求出k的范圍．
（1）
對求導(dǎo)，得，
由題意，得 ,解得 ,
∴.
（2）
由（1）可得,令，得或,
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值；
當(dāng)時(shí)，取得極小值,
函數(shù)的大致圖象圖如所示.:

要使方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
由圖可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
3．（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.
【分析】（1）先由切線與軸平行求得的取值，然后令，得增區(qū)間，令，得減區(qū)間;
（2）在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于，，，列出不等式組求解，即可確定的取值范圍.
【詳解】解：（1），
在處的切線與軸平行，
，，
，
，
又在上為增函數(shù)，且，
存在唯一的使得，
令，得，令，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2），
令，即在上有兩個(gè)實(shí)根，
，令，得，
令，得，令，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上有兩個(gè)實(shí)根，
解得，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，以及利用函數(shù)零點(diǎn)存在情況求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.
4．（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）答案見解析
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令，分析導(dǎo)數(shù)在零點(diǎn)分割定義域所得區(qū)間上的符號，即可的出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）原函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，即可討論出答案.
【詳解】（1），
因?yàn)?，所以的零點(diǎn)為0和1.
令，得；令，得或.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）由（1）知，在上的極大值為，
極小值為，
因?yàn)椋?，所?
，由，得.
當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為在上根的個(gè)數(shù)，需要結(jié)合函數(shù)的極值，討論的范圍得出方程根的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.
5．（1）；（2）答案見解析；（3）.
【分析】（1）由題可得，再分析處是否為極值即可；
（2）求導(dǎo)可得，再分與討論單調(diào)區(qū)間即可；
（3）由（2）可得，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得，求得，再分別證明與即可
【詳解】解：（1）函數(shù)在處有極值
，又因?yàn)椋獾?
當(dāng)
列出表格如下：


1



0


單調(diào)遞增
極大值1
單調(diào)遞減

所以，在處有極大值.
（2）?????
當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)
當(dāng)，令，得
時(shí)，在為單調(diào)增函數(shù)
時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)
綜上：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無減區(qū)間
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為
（3）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（2）知，
增區(qū)間為，減區(qū)間為

解得：
因?yàn)椋?br /> 所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)
由得
下證

令


在

即，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)
綜上：時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)
6．（1）①的單調(diào)增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為；②函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)；（2）.
【分析】（1）①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷已知函數(shù)的單調(diào)性；②根據(jù)單調(diào)性及函數(shù)值判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)
（2）根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，反推函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性以及最大最小值的正負(fù)，從而確定參數(shù)的取值范圍
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
①令得：或；令得：，
所以，的單調(diào)增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為
②由①得：時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，
所以函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)
（2）
故：在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
由于在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，故：?
即：在（0，）上單調(diào)遞減，在（，1）上單調(diào)遞增；
由于在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則
?
?
綜上所述：a的取值范圍是
7．（1）單調(diào)區(qū)間：，，；（2）.
【分析】（1）求出當(dāng)時(shí)f(x)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象上的切點(diǎn),求得切線的方程，代入點(diǎn)，可得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，利用極值列不等式即可實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.
令，解得：；令，解得：或；
所以的單增區(qū)間為，的單減區(qū)間為和.
（2）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象上的切點(diǎn)，則過點(diǎn)A的切線斜率，所以過點(diǎn)A的切線方程為.
因?yàn)辄c(diǎn)在該切線上，所以.
若過點(diǎn)可作函數(shù)圖像的三條不同切線，則關(guān)于t的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
記，則其圖像與x軸由三個(gè)不同的交點(diǎn).
令，解得：t=0或t=a.
由三次函數(shù)的圖像可知：只需，即，
即，解得：.
所以實(shí)數(shù)a的范圍為.
8．（1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點(diǎn).
【分析】（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為，將代入可得；
（2）方法一：設(shè)，設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.
【詳解】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程可得，
將代入可得，即，
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為；
（2）
[方法一]【最優(yōu)解】
設(shè)，設(shè)
，
，
則，即，
故P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，
則圓心距為，，兩圓內(nèi)含，
故曲線C與沒有公共點(diǎn).
[方法二]：
設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，，，因?yàn)椋?br /> 所以，，，
由，
即，
解得，
所以，，代入的方程得，
化簡得點(diǎn)的軌跡方程是，表示圓心為，，半徑為2的圓；
化為參數(shù)方程是，為參數(shù)；
計(jì)算，
所以圓與圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)．
【整體點(diǎn)評】本題第二問考查利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題，
方法一：利用參數(shù)方程的方法，設(shè)出的參數(shù)坐標(biāo)，再利用向量關(guān)系解出求解點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，得到參數(shù)方程.
方法二：利用代數(shù)方法，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量關(guān)系將的坐標(biāo)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得到點(diǎn)的軌跡方程，最后化為參數(shù)方程.
9．（1）；（2）直線l的傾斜角為或．
【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】（1）圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為：，即，
進(jìn)一步利用，得到圓的極坐標(biāo)方程為；
（2）設(shè)直線的方程為：或，
由圓的圓心，，又弦長為2，
圓心到的距離，解得，
所以直線的傾斜角為，
當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)，且斜率不存在時(shí)，所截得的弦長也為2，
故直線的傾斜角為．
的傾斜角或．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題的第2問容易漏掉.解析幾何中，涉及直線的方程問題時(shí)，要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程與普通方程的互化可以得出結(jié)果；
（2）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程.
【詳解】（1）因?yàn)?，即?br /> 所以，由于，
所以，即，
直線l的直角坐標(biāo)方程為；
（2）因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），
因此，
所以曲線C的普通方程，
又由，得，所以，
設(shè)，則，且，即，
所以，即，
由于，
得，即，
故線段PA中點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為.
11．（1）：，：；（2）最大值為.
【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程?極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
（2）利用極徑的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出最大值.
【詳解】（1）曲線：，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為，整理得，
曲線：(為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為.
（2）射線：(，)交曲線于點(diǎn)，
所以，
所以，
射線：(，)交曲線于點(diǎn)兩，
所以，
所以，
故，
當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.
【點(diǎn)睛】坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題常用處理方法：
(1)把極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程分別化成直角坐標(biāo)方程，根據(jù)解析幾何的知識進(jìn)行求解計(jì)算；
(2)有時(shí)利用極坐標(biāo)的意義，用極徑的幾何意義分別表示線段長度，可簡化運(yùn)算．
12．（1）（為參數(shù)），；（2）.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程直接求解）曲線C的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)公式求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離及三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
直線l的直角坐標(biāo)方程為
（2）設(shè)，
P到直線l的距離（其中）
當(dāng)時(shí)，P到直線l的距離的最大值.
13．（1）（2）
【分析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為，結(jié)合求解即可；
（2）將曲線的參數(shù)方程消掉參數(shù)得出，將其代入圓的方程結(jié)合得出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為
，即
（2）曲線的參數(shù)方程為，消掉參數(shù)化為
將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程得出
曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
，即，解得
實(shí)數(shù)的取值范圍是
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問題一時(shí)，關(guān)鍵是利用實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化.
14．（1），；（2）.
【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，化簡曲線，并判斷點(diǎn)在曲線上， 利用橢圓的定義判斷與4的大小關(guān)系；（2）直線方程與曲線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積公式求解.
【詳解】（1）曲線，
即，根據(jù)，，，
可得：，化簡為，
即，即
所以曲線的直角坐標(biāo)方程為：，
，滿足，即點(diǎn)在橢圓上，橢圓的焦點(diǎn)，
所以；
（2）直線的直角坐標(biāo)方程是，與橢圓方程聯(lián)立方程，
得，解得：或，
，直線與軸的交點(diǎn)，
則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以及綜合應(yīng)用，本題第一問的關(guān)鍵是判斷點(diǎn)在曲線上.
15．（1）圖像見解析；（2）
【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；
（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時(shí)的值可求.
【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：

，畫出函數(shù)圖像如下：

（2），
如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫出圖像，
是平移了個(gè)單位得到，
則要使，需將向左平移，即，
當(dāng)過時(shí)，，解得或（舍去），
則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個(gè)單位，.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.
16．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題知，進(jìn)而分，，三種情況討論求解；
（2）由絕對值三角不等式得，故，所以，再根據(jù)基本不等式得，故.
【詳解】（1）令，
①當(dāng)時(shí)，，則，
②當(dāng)時(shí)，，則，
③當(dāng)時(shí)，，則，
綜上,不等式的解集為；
（2）因?yàn)椋瑒t，，
則，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
所以，
所以，即;
【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用絕對值三角不等式得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，再結(jié)合基本不等式求解即可.
17．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）分類討論：、、求的解集，然后取并集即可；
（2）由絕對值的幾何意義可知，即，再由已知條件等式，應(yīng)用基本不等式“1”的代換可證，即結(jié)論得證.
【詳解】（1）∵，要使，
∴當(dāng)時(shí)，則，解得，得.
當(dāng)時(shí)，則，即恒成立，得.
當(dāng)時(shí)，則，解得，得.
綜上，不等式的解集為.
（2）證明：由，
∴，又正實(shí)數(shù)，滿足，可得，
∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
∴得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）應(yīng)用分類討論的方法求絕對值不等式的解集；
（2）根據(jù)絕對值的幾何含義求最小值，再根據(jù)條件等式結(jié)合基本不等式“1”的代換求證即可.
18．（1）1；（2）證明見解析.
【分析】（1）分、和三段討論去掉絕對值，然后根據(jù)分段函數(shù)最值的求法即可求解；
（2）不妨設(shè)，則，由基本不等式有，解出的取值范圍即可證明.
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
綜上，，
故的值為1.
（2）證明：不妨設(shè)，則，
由（1）知，又， 所以，，
由基本不等式有，即，
所以，即，解得，
所以.
19．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）用分段討論法可得結(jié)果；
（2）由絕對值三角不等式證得，由均值不等式證得，進(jìn)而證得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，不成立；
當(dāng)時(shí)，，解得，故；
當(dāng)時(shí)，，解得，故，
綜上所述，不等式的解集為．
（2），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以．
20．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法去絕對值，由此求得不等式的解集.
（2）首先求得，然后利用基本不等式證得不等式成立.
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，又由，可得；
②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，又由，可得這樣的不存在；
③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，又由，可得.
由上知不等式的解集為.
（2）證明：由，
又由，故函數(shù)的最小值為1，可得，
由上知，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
又有，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
故有.
【點(diǎn)睛】基本不等式的運(yùn)用，常見的有，也即，要注意等號成立的條件.
21．（1）證明見解析；（2）或．
【分析】（1）由基本不等式證明；
（2）首先由柯西不等式求得的最大值，然后再利用絕對值三角不等式進(jìn)行放縮后解關(guān)于的不等式可得．
【詳解】（1）證明：由，，，
三式相加即得，又，
所以．
（Ⅱ）解：
，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立，
又對任意的實(shí)數(shù)x，y，z，a恒成立，
，
，

解得或．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查基本不等式證明不等式成立，考查柯西不等式，絕對值三角不等式，解絕對值不等式．解題關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，一是用柯西不等式求最值，二是用絕對值三角不等式求最值，然后再解不等式得參數(shù)范圍．