? 2021年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題變式題17-22題
原題17
1．已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
變式題1基礎(chǔ)
2．已知向量，又，則的最大值是___________．
變式題2基礎(chǔ)
3．已知向量與的夾角為，且，，設(shè)，，則向量在方向上的投影為___________．
變式題3鞏固
4．如圖，已知是半徑為2，圓心角為的一段圓弧上一點(diǎn)，，則的最小值為___________.

變式題4鞏固
5．已知向量的模長為1，平面向量滿足：，則的取值范圍是_________.
變式題5鞏固
6．已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
變式題6提升
7．已知向量，若對任意的單位向量，均有，則的取值范圍是______
原題18
8．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
變式題1基礎(chǔ)
9．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的的值.
變式題2基礎(chǔ)
10．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期及上的最值；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.
變式題3鞏固
11．已知函數(shù).
（1）求的對稱中心坐標(biāo)；
（2）若有解，求的最小值.
變式題4鞏固
12．已知向量，，且.
（1）求及；
（2）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式題5鞏固
13．已知向量，，設(shè).
（1）求函數(shù)的對稱中心；
（2）已知為銳角，，，，求的值.
變式題6提升
14．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，求的最小值.
變式題7提升
15．已知函數(shù)
(1)若，求；
(2)若時(shí)，，求．
原題19
16．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
變式題1基礎(chǔ)
17．如圖，在所有棱長都等于2的正三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線與所成角的大??；
（2）直線與平面所成角的大小.
變式題2基礎(chǔ)
18．如圖，四邊形為平行四邊形，且，點(diǎn)，為平面外兩點(diǎn)，且，．

（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成的角．
變式題3鞏固
19．如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E，F(xiàn)分別是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．若把等腰梯形沿虛線AF，BE折起，使得點(diǎn)C和點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)P，如圖②．

（1）求證：平面PEF⊥平面ABEF；
（2）求平面PAE與平面PAB所成銳二面角的余弦值．
變式題4鞏固
20．如圖1，菱形中，動(dòng)點(diǎn)，在邊，上(不含端點(diǎn))，且存在實(shí)數(shù)使，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示.

（1）若，設(shè)三棱錐和四棱錐的體積分別為，，求；
（2）試討論，當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，二面角是否為定值，若是，求出該二面角的余弦值，若不是，說明理由.
變式題5鞏固
21．如圖，在三棱臺中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
變式題6提升
22．請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.
①；②；③點(diǎn)在平面的射影在直線上.如圖，平面五邊形中，是邊長為的等邊三角形，，，，將沿翻折成四棱錐，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別是的中點(diǎn)，且___________.

（1）求證：；
（2）當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
變式題7提升
23．已知多邊形是邊長為2的正六邊形，沿對角線將平面折起，使得.

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由.
原題20
24．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式題1基礎(chǔ)
25．?dāng)?shù)列滿足，
（1）記，是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和
變式題2基礎(chǔ)
26．在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前n項(xiàng)和滿足：.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.
變式題3鞏固
27．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（1）求和；
（2）若對于一切恒成立，求整數(shù)的最小值.
變式題4鞏固
28．已知是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，.
（1）求q；
（2）設(shè)是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.
變式題5鞏固
29．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列， ，且的等差中項(xiàng)為.若數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列前n項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
變式題6提升
30．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足：，，數(shù)列為等差數(shù)列．
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對于任意均有，求正整數(shù)的值．
變式題7提升
31．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項(xiàng)和，求證：，.
原題21
32．如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，

（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
變式題1基礎(chǔ)
33．在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)圓過點(diǎn)且和定直線相切.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
變式題2基礎(chǔ)
34．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，且.
（1）求拋物線方程；
（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.求△OPQ面積的最小值.
變式題3鞏固
35．已知直線，分別與拋物線相切于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線的方程；
（2）若直線與的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在圓上，設(shè)直線，與軸分別交于點(diǎn)，，求的取值范圍.
變式題4鞏固
36．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，記，.

（1）若，求的最小值；
（2）若對任意的直線，，恒為銳角，求的取值范圍.
變式題5鞏固
37．設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且與軸不垂直時(shí)，若在軸上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，求的取值范圍．

變式題6提升
38．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線與拋物線交于（坐標(biāo)原點(diǎn)）、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．

①若，求實(shí)數(shù)的值；
②過、、分別作軸的垂線，垂足分別為、、．記、分別為三角形和四邊形的面積，求的取值范圍．
變式題7提升
39．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值；
（3）求的最小值.
原題22
40．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：對任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
變式題1基礎(chǔ)
41．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
變式題2基礎(chǔ)
42．設(shè)函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求方程的根（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，）
變式題3鞏固
43．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對，都有，求的取值范圍；
（3）若方程有兩個(gè)不同的解，求的取值范圍.
變式題4鞏固
44．已知，設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)，，且，，證明：
（?。?；（ⅱ）．
注：為自然對數(shù)的底數(shù)．
變式題5鞏固
45．已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
變式題6提升
46．已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若存在正數(shù)，使得對任意均有成立．
證明：（?。?；
（ⅱ）．
變式題7提升
47．已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，設(shè)，
（?。┳C明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）記（?。┲械牧泓c(diǎn)為，證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案：
1．
【分析】設(shè)，由平面向量的知識可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設(shè)，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.


【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.
2．
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，結(jié)合和向量的數(shù)量積，，再利用圓的參數(shù)方程，即可求解.
【詳解】由題意，以為分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，可得?br /> 設(shè)，可得，
又因?yàn)椋傻茫?br /> 又由，
因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡為，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，
可設(shè)，
可得，
當(dāng)時(shí)，可得的最大值是.
故答案為：.

3．2
【分析】由題意計(jì)算和，在方向上的投影為.代入相應(yīng)數(shù)值計(jì)算即可.
【詳解】與的夾角為，且， ,又，，設(shè),在方向上的投影為在方向上的投影為
故答案為：2
4．##
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積求最值乘轉(zhuǎn)換成求三角函數(shù)的最值即可．
【詳解】解：已知是半徑為2，圓心角為的一段圓弧上一點(diǎn)，，
以圓心為原點(diǎn)，垂直平分線所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則：，，，由題設(shè)：，；
則



其中；
所以，當(dāng)時(shí)，
則的最小值為；
故答案為：．
5．
【解析】不妨設(shè)，，則根據(jù)條件可得：， ，根據(jù)柯西不等式得到，令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得.
【詳解】由題意知：不妨設(shè)，，
則根據(jù)條件可得：
，，
根據(jù)柯西不等式得：

因?yàn)椋?br /> ， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；
令，則，又，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，即；
，而，所以當(dāng)時(shí)，，即，故的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：設(shè)，，則根據(jù)條件可得：，
，利用柯西不等式和換元法把問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵.
6．
【分析】先設(shè)，且，再根據(jù)向量?；?，最后化簡整理結(jié)合柯西不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，且，而，
所以




，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為，
故答案為：.
7．
【分析】由于，，為單位向量，不妨設(shè)，，，則，令，結(jié)合的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：，，為單位向量，
不妨設(shè)，，，
，
令，
當(dāng)共線時(shí)，若，，此時(shí)不滿足題意，
當(dāng)不共線時(shí)，，
，
，
，
，
，即，
，即，
故答案為：．
8．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，

，
由可得，
所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.
9．（1）最小正周期是；（2），此時(shí)；，此時(shí).
【分析】（1）由二倍角公式，并結(jié)合輔助角公式可得，再利用周期可求出答案；
（2）由的范圍，可求得的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，從而可求得的最值同時(shí)求得對應(yīng)的的值.
【詳解】（1）



函數(shù)的最小正周期是.
（2），
，
，


此時(shí)，，

此時(shí)，
10．（1）的最小正周期，在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，；
【解析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡，由周期公式計(jì)算得的最小正周期，由的范圍求出的范圍，進(jìn)一步求出的范圍，則答案可求．
（2）由，可解得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
【詳解】解：（1）
．
的最小正周期，
因?yàn)闀r(shí)，所以，
所以，所以
在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
（2）令，，
得，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
11．（1）的對稱中心坐標(biāo)為，；（2）.
【分析】（1）首先利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）依題意有解，故須，求出函數(shù)的最小值，即可得解；
【詳解】解：
.
（1）由，解得，，
故的對稱中心坐標(biāo)為，.
（2）若有解，
即有解，故須，
∵，
∴，
故，
∴的最小值是.
12．（1），；（2）.
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合差角的余弦公式，可求數(shù)量積，將模平方，再開方，即可求得模；
（2），令，則，令，則，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍．
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，.
（2），令，則，，，顯然時(shí)，.
令，則，，顯然是上的增函數(shù)，在上的值域?yàn)?，?
13．（1），；（2）
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及輔助角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）依題意可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，最后根據(jù)利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得；
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以.
令，，則，，所以函數(shù)的對稱中心為，
（2）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉殇J角，所以，
因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所?br /> 所以


14．(1)
(2)

【分析】( 1 )展開多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,再由倍角公式降冪,利用輔助角公式化積，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f (x)在(0,π)單調(diào)遞增區(qū)間;
( 2 )求出g (x)，由g(x)為奇函數(shù),可得的值,進(jìn)一步求得|m|的最小值.
(1)
（1）
，??????????????????????????
由，，得，
當(dāng)時(shí)，；又，
函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)
由題意，得
函數(shù)為奇函數(shù)，
，??????
當(dāng)時(shí)，的最小值為.
15．(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡即可求解；
（2）根據(jù)角的變換及兩角差的正弦公式，二倍角的余弦公式計(jì)算即可求解.
(1)
，
由得：，
即有，所以．
(2)
由得：
∵，
∴，
∴，
∴，
故
16．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點(diǎn)，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．

【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．
17．（1）；（2）
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，確定坐標(biāo)，即可求出所成角的余弦，轉(zhuǎn)化為與所成角，即可求出結(jié)果;
（2）確定坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角公式，即可求出直線與平面所成角
【詳解】取中點(diǎn),連接,則,
正三棱柱所有棱長都等于2,
,平面平面,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為
軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,
.
（1）

異面直線與所成角的余弦為.
異面直線與所成角是.
（2）,
設(shè)平面的法向量,
,,令,則,
平面的一個(gè)法向量
設(shè)直線與平面所成角,
,
直線與平面所成角.

【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量求異面直線、直線與平面所成的角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
18．（1）證明見解析；（2）30°．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；
【詳解】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，
由題可知，，，，
所以，，即，
在和中，，，，
所以，≌，
所以，故，
又，平面，所以平面；
（2）如圖，在平面內(nèi)，過作的垂線，交于點(diǎn)，

由（1）可知，平面平面，
所以平面，
故直線，，兩兩互相垂直，
分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br /> 則，，，，
所以，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則即，取，則，
所以，，
故直線與平面所成的角為30°．
19．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）通過證明來證得平面，由此證得平面平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【詳解】（1）由已知條件易知四邊形ABEF是正方形，
BE⊥EF且BE⊥PE．又PE∩EF＝E，
所以BE⊥平面PEF．
因?yàn)锽E?平面ABEF，
所以平面PEF⊥平面ABEF．
（2）如圖，過點(diǎn)P作PO⊥EF于點(diǎn)O，
過點(diǎn)O作BE的平行線交AB于點(diǎn)G，
則PO⊥平面ABEF．
又PO，EF，OG所在直線兩兩垂直，
所以分別以O(shè)G，OE，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(2，－1，0)，B(2，1，0)，E(0，1，0)，.
所以.
設(shè)平面PAE的法向量為，
則，故可設(shè).
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè).
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則.

20．（1）；（2）;
【分析】根據(jù)題目信息建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）將直線的方向向量表示出來，根據(jù)數(shù)量積等于0求解題目中的取值，進(jìn)而可以求得，最后獲得體積之比；
（2）分別將兩個(gè)平面的法向量求解出來，根據(jù)面面角的公式求解平面角的余弦值，最后根據(jù)角是鈍角得出結(jié)果即可.
【詳解】(1)取的中點(diǎn)為，
因?yàn)榧矗?
所以,又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br /> 平面平面，
所以平面，
連接,由題意可知,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，,,，
所以，，
因?yàn)?，所以?br /> 解得：或者（舍）；
因?yàn)槿忮F和四棱錐的體積分別為，，
所以.
(2) 二面角是定值,證明如下：
由（1）知，面的法向量，
由，，
設(shè)面的法向量為 ，
所以，
取，則，，即，
設(shè)二面角的平面角為，
所以，
由圖可知二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的平面角的余弦值為.

【點(diǎn)睛】用向量方法解決立體幾何問題，樹立“基底”意識，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比.
21．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）通過證明，得出平面，即可由線面垂直的性質(zhì)得出；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得為二面角的平面角，，求出平面的法向量和，利用向量關(guān)系可表示出直線與平面所成角的正弦值，即可根據(jù)范圍求出.
【詳解】（1）證明：如圖，作的中點(diǎn)，連接，，
在等腰梯形中，，為，的中點(diǎn)，
∴，
在正中，為的中點(diǎn)，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，，分別為，，，軸正向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
∵，，∴為二面角的平面角，即，
，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則有，即，
則可取，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴，
∵，∴，
∴．

22．條件選擇見解析；（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）取的中點(diǎn)分別為，連接.
選擇①：根據(jù)，，得到，進(jìn)而得到平面，易得平面平面，從而得到平面即可.
選擇②：連接，易得，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到平面，易得平面平面，從而得到平面即可.
選擇③：根據(jù)點(diǎn)在平面的射影在直線上，得到平面平面，進(jìn)而得到平面，則，進(jìn)而得到平面，易得平面平面，從而得到平面即可.
（2）連接，由平面，得到即為與平面所成的角，由，得到為中點(diǎn)時(shí)，最小，然后建立空間直角坐標(biāo)系，取得平面的一個(gè)法向量為，以及平面的一個(gè)法向量為求解.
【詳解】（1）如圖所示：

取的中點(diǎn)分別為，連接.
選擇①：
因?yàn)椋?br /> 所以，即.
又，，
所以平面.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，且平面，平面，
所以平面.
同理可得：平面.
因?yàn)椋?br /> 所以平面平面，…
所以平面.
又平面，
所以.
選擇②：
連接，則，，
因?yàn)椋?br /> 所以.
又，，
所以平面.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，且平面，平面，
所以平面.
同理可得：平面.
因?yàn)椋?br /> 所以平面平面，
所以平面.
又平面，
所以.
選擇③：
因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影在直線上，
所以平面平面.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，?br /> 所以平面，
所以.
又，，
所以平面.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，且平面，平面，
所以平面.…
同理可得：平面.
因?yàn)椋?br /> 所以平面平面，
所以平面.
又平面，
所以.
（2）連接，由（1）可知：平面，
所以即為與平面所成的角.
因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最大，
所以當(dāng)，即為中點(diǎn)，最小.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則.
所以，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得.
由題意可知：平面的一個(gè)法向量為，
所以，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
23．（1）證明見解析；（2）存在，.
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而證得面面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，求平面和平面的法向量，利用空間向量法求得二面角，得到關(guān)于a的方程，即可得解.
【詳解】（1）證明：過作，連接
由正六邊形的性質(zhì)知，且，，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br /> 所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）如圖，以O(shè)為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，

設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，取，得，
又，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，取，得
設(shè)二面角的平面角為，
則，解得，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查面面垂直，及面面角的求法，利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角：
設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則
①兩直線所成的角為(),；
②直線與平面所成的角為(),；
③二面角的大小為(),
24．（1）；（2）.
【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，由①，
得②，①②得
，
又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時(shí)不等式恒成立；
時(shí)，，得；
時(shí)，，得；
所以.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號.
25．（1）； （2）.
【分析】（1）由，化簡得，結(jié)合疊加法求得，得到，再根據(jù)得出數(shù)列的定義，即可求解.
（2）由（1）得到，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，利用乘公比錯(cuò)位相減法，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）由數(shù)列滿足，可得，
所以
，
所以，所以，
當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)滿足，使得數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
可得，
兩式相減，可得
，
所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
26．(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）由，代入條件整理可得，即化為，從而可證明.
(2)由題意分離參數(shù)可得，令，討論出的單調(diào)性，得出其最小項(xiàng)即可得出答案.
（1）， 即，所以，故數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）（2） ，令，則，令得，.由令，解得所以數(shù)列中當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增.所以
27．（1），；（2）2.
【分析】（1）由分別求，， ，再結(jié)合條件，以及等比數(shù)列的性質(zhì)列方程組求解；（2）首先求數(shù)列的前項(xiàng)和，由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，求整數(shù)的最小值.
【詳解】（1）由得，，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，化簡得①（舍）；由得，即②，由①②解得，（舍）.
（2）由（1）得，，于是，，
，
若對于一切恒成立，則
所以整數(shù)的最小值為2.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列，等差數(shù)列，以及錯(cuò)位相減法，數(shù)列與不等式的綜合題型，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸，計(jì)算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題型.
28．（1）；（2）答案見解析.
【解析】（1）先判斷公比是否為，然后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及的值求解出的值；
（2）根據(jù)條件先求解出的通項(xiàng)公式，然后求解出，然后采用作差法比較與的大小關(guān)系.
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，若，則應(yīng)有，這與矛盾，故．
由，相除得，解得．
（2）由題意知，
，
當(dāng)時(shí)，．
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的比較大小的方法：
（1）作差法：作差與作比較；
（2）作商法：作商與作比較（注意正負(fù)）；
（3）函數(shù)單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小；
（4）中間值法：取中間值進(jìn)行大小比較.
29．(1)，
(2)

【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列列出方程求解可得，令，構(gòu)造等比數(shù)列求出，即可得；
（2）代入化簡數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和后化簡不等式，分n為奇數(shù)偶數(shù)求解即可.
(1)
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，
解得，所以 ，又由，

令則，

.

(2)
由（1）知，
，
，
，??
兩式相減得 ，
，

若為偶數(shù)，則

若為奇數(shù)，則 ，

綜上，.
30．（1）；；（2）1.
【解析】（1）根據(jù)，由題中條件，即可求出的通項(xiàng)公式；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出的通項(xiàng)，即可得出的通項(xiàng)公式；
（2）先由（1）得到，利用裂項(xiàng)相消法和分組求和的方法，求出，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)，分別求出最值或范圍，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知，，
時(shí)，；
顯然也滿足上式，故；
因?yàn)?，?shù)列為等差數(shù)列，則，即，
由，解得，
所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
因此，所以；
（2）由（1）可得：，
所以
；
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
又隨增加而增加，此時(shí)．
②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
令，則，
∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒有．
綜合①②可知，∴滿足題意的．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見類型：
（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；
（2）無理型；
（3）指數(shù)型；
（4）對數(shù)型.
31．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）由項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，結(jié)合，可得，分析即得解；
（2）由可得，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，利用放縮即得證
(1)
由，
結(jié)合，因此，
由，
得，又，得，
從而是首項(xiàng)為2公差為3的等差數(shù)列，
故的通項(xiàng)公式為.
(2)
由，故
即
可得，從而
，
∵，
∴，
于是
，
∴.
32．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.
（2）方法一：設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為：.
（2）[方法一]：通式通法
設(shè)，，，
所以直線，由題設(shè)可得且.
由可得，故，
因?yàn)?，故，?
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，


故，
令，則且，
故，
故即，
解得或或.
故直線在軸上的截距的范圍為或或.
[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．
由得，所以．
因?yàn)椋?br /> ，．
由得．
同理．
由得．
因?yàn)椋?br /> 所以即．
故．
令，則．
所以，解得或或．
故直線在x軸上的截距的范圍為．
[方法三]【最優(yōu)解】：
設(shè)，
由三點(diǎn)共線得，即．
所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．
設(shè)直線的方程為，
則．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直線在x軸上的截距為．
【整體點(diǎn)評】本題主要是處理共線的線段長度問題，主要方法是長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).
方法一：主要是用坐標(biāo)表示直線，利用弦長公式將線段長度關(guān)系轉(zhuǎn)為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
方法二：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得直線的斜率之和為0，再利用線段長度關(guān)系即為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
方法三：利用點(diǎn)在拋物線上，巧妙設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，借助于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，這樣有助于減少變元，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
33．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓過點(diǎn)且和定直線相切，得到點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，然后利用拋物線的定義求解；
（2）設(shè)直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，由求得m的范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理，利用平面向量的數(shù)量積求解.
【詳解】（1）依題意得，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離.
由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，
所以，解得，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立可得，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，
則，
，
，
.
的取值范圍是.
34．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程，由此求得，進(jìn)而求得拋物線方程.
（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，求得三角形面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.
【詳解】（1）依題意.
（2）與聯(lián)立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，當(dāng)k=0時(shí)，S最小，最小值為.
35．（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用求得，從而得到所求直線方程；
（2）根據(jù)過拋物線上一點(diǎn)的切線方程的形式得到，從而得到坐標(biāo)；設(shè)，代入直線方程可得到坐標(biāo)滿足的方程，即切點(diǎn)弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式可求得，進(jìn)而得到；根據(jù)的范圍可求得的范圍.
【詳解】（1）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立得：
由得：????的方程為
（2）設(shè)，
則直線，????，
設(shè)點(diǎn)，代入直線方程可得，則直線方程為
與拋物線方程聯(lián)立得：，則，
，????
在上????????
????，即的取值范圍為
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，背景為拋物線中的極點(diǎn)極線模型，也可以看作阿基米德三角形的變式，在解題過程中多次利用設(shè)而不求的思想解題.
36．（1）；（2）.
【分析】（1）先設(shè)直線并聯(lián)立拋物線由韋達(dá)定理得：，，再由余弦定理建立不等式，最后求的最小值是.
（2）先轉(zhuǎn)化條件要使，恒為銳角，只需滿足恒大于0即可，再分和兩類討論，最后求出答案即可.
【詳解】（1）解：設(shè)：，，.
與拋物線聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理：，.
，，.
由余弦定理：
.
故，即的最小值是.
（2）解：設(shè)，，.
要使，恒為銳角，只需滿足恒大于0即可，
.
①若，則.
即.
②若，顯然成立.
注意到，，故.
故.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、圓錐曲線內(nèi)的三角形問題，是中檔題.
37．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）求出以及原點(diǎn)到直線的距離，然后利用三角形的面積公式得出的面積，即可求出的值，于此得出拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，計(jì)算，列出韋達(dá)定理，可求出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意得出以及，可得出關(guān)于的關(guān)系式，然后代入可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（Ⅰ）由條件可得，點(diǎn)到距離為，，
，得，因此，拋物線的方程為；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，
又設(shè)，直線的方程為，
將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得.
，由韋達(dá)定理得，.
所以，從而.
為正三角形，，.
由，得，所以.
由，得，
即，
，，從而.
，，從而，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解，考查等邊三角形的存在性問題，在解決這個(gè)問題時(shí)，要抓住三線合一以及底邊中線與邊長之間的等量關(guān)系這兩個(gè)條件來轉(zhuǎn)化，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.
38．(1)
(2)①；②

【分析】（1）利用拋物線的定義可求得的值，即可得出拋物線的方程；
（2）①將直線、的方程分別與拋物線的方程聯(lián)立，求出、，根據(jù)條件可求得實(shí)數(shù)的值；
②求出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法可求得的取值范圍，即可得出的取值范圍.
(1)
解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線定義和已知條件可知，
解得，故所求拋物線方程為.
(2)
解：①設(shè)、，由得，
則，可得或，則，，
所以，，
由得，可得或，則，
所以，，
因此，，即，解得；
②由①得，
所以
．
令，因?yàn)榛?，所以，或?br /> 令，其中或，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，
所以，或，
因此，的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
39．（1）；（2）證明見解析；（3）4.
【解析】（1）由橢圓的方程可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程；
（2）可設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，利用判別式等于零可得結(jié)論；
（3）設(shè)，的坐標(biāo)，由（2）可得參數(shù)，的關(guān)系，代入過的切線方程與拋物線的方程中，可得，用參數(shù)，表示的坐標(biāo)，代入弦長公式中求的表達(dá)式，由參數(shù)的范圍求出的最小值．
【詳解】（1）由橢圓方程得，橢圓的右焦點(diǎn)為
拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：．
（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為．
設(shè)，
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，
與拋物線方程聯(lián)立，消去得：．
其判別式△，令△，得：．
由韋達(dá)定理知，，
故（定值）．
（3）設(shè)，，，，由，得，
故，
所以，代入拋物線方程得，
所以，，，，


因?yàn)?，?br /> 所以


，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
當(dāng)且僅時(shí)取等號．
故的最小值為4．

【點(diǎn)睛】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
40．（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.
【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【詳解】（1），
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
（2）有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時(shí)，時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).
由（2）可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時(shí)為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時(shí)為正，
從而題中的不等式得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
41．（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）；（3）答案見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，令即可求得的值；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解.
【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋郑?br /> 令，得；
令，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由有唯一的零點(diǎn)得，
即，解得.
（3）①當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)的零點(diǎn)有0個(gè)；
②當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)的零點(diǎn)為1個(gè)；
③當(dāng)時(shí)，，，
又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一的1個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由得，即.
又，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一的1個(gè)零點(diǎn).
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
42．（1）或；（2）答案見解析；（3）的最小值為0.
【分析】（1）代入化簡方程得，再根據(jù)二次方程和指對關(guān)系解方程；
（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)并明確函數(shù)定義域：，；再討論導(dǎo)函數(shù)不變號情況：分和，以及三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.
（3）存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：，利用導(dǎo)數(shù)先求函數(shù)最小值，利用導(dǎo)數(shù)，以及結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求的最小值，即可求得的取值范圍.
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，去分母，得
，解得或，
故所求方程的根為或.
（2）因?yàn)椋?br /> 所以
①當(dāng)時(shí)，由，解得；
②當(dāng)時(shí)，由，解得；
③當(dāng)時(shí)，由，解得；
④當(dāng)時(shí)，由，解得；
⑤當(dāng)時(shí)，由，解得.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為.
（3）當(dāng)時(shí)，，，
所以，，，
所以存在唯一，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以.
記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，
所以，即，由，且為整數(shù)，得，
所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.
43．（1）答案見解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由解析式知：定義域?yàn)椋?，討論參?shù)a，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可知的單調(diào)性；
（2）由已知，在遞減，即有在上恒成立，用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，找到最小值，僅需即可求范圍；
（3）由題意知：在上有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求出a的范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確認(rèn)零點(diǎn)的存在性.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br /> ∴，
當(dāng)時(shí)，，在遞減；
當(dāng)時(shí)，若，則，在遞增，若，則，在遞減；
綜上，知：當(dāng)時(shí)，在遞減；當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減.
（2）設(shè)，則，
若，，即在遞減.
∴，，設(shè)，，則，
設(shè)，則，在遞增，
∴，
∴，在遞減，
∴，即的取值范圍是.
（3），，令，
方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)零點(diǎn).
，.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，最多有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.
∴，解得.
下證：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).
∵，，
∴在有唯一零點(diǎn)；
令，即，當(dāng)時(shí)，則遞增；當(dāng)時(shí)，則遞減；故，可知：，
∴，即，
∴，取，即，.
∴在上有唯一零點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）由原函數(shù)解析式求導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合分類討論的方法，研究其單調(diào)性；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在遞減，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求參數(shù)范圍；
（3）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定參數(shù)范圍，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確認(rèn)零點(diǎn)的存在性.
44．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析.
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由的正負(fù)確定的單調(diào)區(qū)間；
（2）（?。┰O(shè)，，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，由，證得；（ⅱ）當(dāng)時(shí)由（?。┛傻茫?dāng)時(shí)，由則有．進(jìn)而證明得．
【詳解】（Ⅰ）首先，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，，遞增，
所以，所以恒成立．
當(dāng)時(shí)，，．
，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（Ⅱ）（?。┰O(shè)，．由則有．
．
所以，在上單調(diào)遞增．
先證明：
設(shè)，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即，因此．
因?yàn)椋?br /> 所以，因此．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)由（ⅰ）可得．
當(dāng)時(shí)，由則有．
進(jìn)而


．
其中．
所以，因此．
綜上，．
【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式．證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，，確定其單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為證明，從而證明結(jié)論．這也是難點(diǎn)，一是構(gòu)造函數(shù)是個(gè)難點(diǎn)，二是在用函數(shù)單調(diào)性證明時(shí)，不等式的變形是另一個(gè)難點(diǎn)，本題屬于困難題．
45．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析

【分析】（1）利用參變量分離法得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明出，即可證得結(jié)論成立；
（3）分析可得，證得，利用基本不等式可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析看可知函數(shù)在上為增函數(shù)，分析得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
(1)
解：由可得，可得，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，；
(2)
解：要證，即證，
由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；
(3)
解：由題知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨設(shè)，記.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，
所以.
因?yàn)?br /> ，
所以，即.
令，，則在上單調(diào)遞增.
又，
所以，即，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
46．(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析.

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分析易知時(shí)，不符合要求；時(shí)，令，要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)變號零點(diǎn)，
只需，求解即可得答案；
（2）當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）得，存在唯一的，使得，即．此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；，函數(shù)單調(diào)遞減，從而有.
（i）只需證，即證，即證．
（ii）由，可得，令，
要證：，只需證，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.
(1)
解：，
當(dāng)時(shí)，，顯然不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，；時(shí)，，；．
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)變號零點(diǎn)，
故，解得，即；
(2)
解：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故不符合題意；
當(dāng)時(shí)，
由（1）得，；時(shí)由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，存在唯一的，使得，即．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．故為函數(shù)的最大值，滿足．
（i）由題意，可得，要證明，只需證，
即證，即證，
當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故，命題得證；
（ii）因?yàn)?，所以，令，由題意可得，
要證：，只需證，即證，
令，
則，，；
，；
因?yàn)?，，所以恒成立?br /> 所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br /> 故恒成立，結(jié)合，
所以恒成立，故命題得證．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（i）利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式對原不等式等價(jià)變形，從而即證是解題的關(guān)鍵；
（ii）令，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)處理是解題的關(guān)鍵.
47．（Ⅰ）答案見解析（Ⅱ）（?。┳C明見解析（ⅱ）證明見解析
【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)后，求出的兩根，再討論兩根的大小可得的單調(diào)性；
（Ⅱ）（?。└鶕?jù)的單調(diào)性以及可證結(jié)論成立；
（ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明，轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立.
【詳解】（Ⅰ），
令，得或，
當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）（?。┊?dāng)時(shí)，，
與的單調(diào)性相同，
由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）設(shè)，則，
由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以要證明當(dāng)時(shí)，，即證，
只要證明，
即證，即證，
因?yàn)?，即?br /> 所以只要證明，即證，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證明，
因?yàn)?，所以只需證明，
因?yàn)椋?br /> 設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，
所以原不等式得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明，轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立是解題關(guān)鍵.

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