重難點(diǎn)29 圓錐曲線綜合—2023年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（全國(guó)通用）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

重難點(diǎn)29 圓錐曲線綜合1、處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立。此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至易于找到。常見的變形方向如下：① 若等式的形式為整式，則考慮將含的項(xiàng)歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號(hào)內(nèi)的部分為零即可② 若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2、處理定值問題的方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù)。3、解決存在性問題的一些技巧：（1）特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。（2）核心變量的選?。阂?yàn)榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時(shí)候消去。（3）核心變量的求法：①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解②間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程（組），運(yùn)用方程思想求解。4、面積問題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長(zhǎng)度，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形圓錐曲線的綜合問題涉及的主要考點(diǎn)是：曲線與方程；定點(diǎn)與定值問題；最值與范圍問題；探索型與存在性問題。2023年高考在圓錐曲線的綜合問題方面，命題角度將主要涉及：（1）定點(diǎn)、定值問題；（2）最值、范圍問題；（3）證明、探究性問題.考查以下核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象. （建議用時(shí)：40分鐘）一、單選題1．已知是雙曲線：上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，所以==，解得，故選A.2．設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，所以，而，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故選：A．3．過拋物線(>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則等于A．2 B． C． D．【答案】C【解析】拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)過的直線方程為，，整理得．設(shè)，，，由韋達(dá)定理可知：，，，，根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，，，，的值為，故選：C．4．對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)都滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，把表示為的函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可求解．【解析】，平方可得：，因?yàn)?/span>，即，只需，即，故選：B．5．已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線．由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝＝2． 6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在該雙曲線上，則=A． B． C．0 D．4【答案】C【解析】由題知，故，∴，故選擇C． 7．橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在C上且直線斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，于是，故.∵ ∴.故選B.8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.二、填空題9．已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)Q(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則的最小值是________.【答案】32【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，由，得：，所以，，所以==，當(dāng)時(shí)，10．平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F (1，0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(－1，0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫔蠙C(jī)器人在進(jìn)行中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，所以機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的軌跡表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，即，要使得機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)且斜率為的直線，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由解得或．11．已知直線交拋物線于兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)，使得為直角，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】試題分析：可知，設(shè)C ，． ∵該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，，化為．，∴ a的取值范圍為．12．已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．【答案】【解析】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)?/span>，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即[方法三]：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為： 13．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.【答案】【解析】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.14．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，則的值為__________.【答案】【解析】由題意，，直線斜率，所以直線方程為，代入得，設(shè)，則，又，，故答案為：. 三、解答題15．平面直角坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn).，且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn).(1)寫出直線的方程；（2）求與的值；（3）求證:.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）直線過點(diǎn)，且斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程，可得，即直線的方程為.(k≠0)（2）設(shè)，又由（1）及消去代入得，則，又由得到，又由，所以.（3）證明：設(shè)的斜率分別為，則，兩式相乘得，所以.16．已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，. 又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿足所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.17．橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：，離心率為.（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k （k > 0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）當(dāng)t=4，時(shí)，求△AMN的面積；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，.由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（Ⅱ）由題意，，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當(dāng)時(shí)上式不成立，因此.等價(jià)于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.

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