重難點26  雙曲線1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.2.離心率e＝＝＝.3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.4.若漸近線方程為y＝±x，則雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0).5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.6.若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F1，F2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為.命題角度：（1）雙曲線的定義及應(yīng)用；（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）雙曲線的幾何性質(zhì)．核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運算（建議用時：40分鐘）一、單選題1．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.2．若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則 等于A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B．3．已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】D【解析】所以雙曲線的漸近線方程為所以點（4，0）到漸近線的距離故選D4．雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A． B． C．  D．【答案】A【解析】由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，，故選A．5．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A6．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，，，過點作軸，垂足為，在中，，，故點的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，即，所以，故選D．考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)． 7．若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B8．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.9．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知在中，在中,故選B.10．已知雙曲線 的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且 則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的右焦點坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇A選項.11．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．12．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B. 二、填空題13．已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．14．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．【答案】4【解析】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.15．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．【答案】2.【解析】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．16．已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為       ．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，，∴△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，由于是定值，要使△APF的周長最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，∵，∴直線的方程為，即代入整理得，解得或 (舍)，所以P點的縱坐標(biāo)為，∴=.故答案為：. 三、解答題17．已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）記O為坐標(biāo)原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程【答案】(1) 雙曲線方程為(2) 滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【解析】（1）由已知及點在雙曲線上得解得；所以，雙曲線的方程為．（2）由題意直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為由  得    設(shè)直線與雙曲線交于、，則、是上方程的兩不等實根，且即且      ①這時 ，又即        所以  即 又      適合①式所以，直線的方程為與．18．已知雙曲線C：（a>0,b>0）的左、右焦點分別為、，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為.（Ⅰ）求a,b；（Ⅱ）設(shè)過的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點，且，證明：、、成等比數(shù)列.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知，即，故.所以C的方程為.將y=2代入上式，求得.由題設(shè)知，，解得.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程為. ①由題意可設(shè)的方程為，，代入①并化簡得.設(shè)，，則，，，.于是，由得，即.故，解得，從而.由于，.故，.因而，所以、、成等比數(shù)列.

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