【期末·解答題專練】2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)-專題06《圓》期末解答題必刷訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2圓
1．如圖，⊙O的直徑BE為4，∠BAE的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F，C是BE延長線上一點(diǎn)，且FC＝AC．
（1）求BD的長．
（2）求證：AC是⊙O的切線．

【答案】（1）；（2）見解析
【分析】
（1）連接OD，根據(jù)角平分線的定義和圓周角定理可得∠BOD=2∠BAD=90°，由勾股定理求解即可；
（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角性質(zhì)可得∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，進(jìn)而可證明OA⊥AC，根據(jù)圓的切線的判定即可證得結(jié)論．
【詳解】
（1）解：連接OD，
∵⊙O的直徑BE為4，
∴∠BAE=90°，BO=OD=2，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BOD=2∠BAD=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：；
（2）證明：連接OA，
∵FC=AC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，
∵∠CFA=∠DFO，∠BOD=90°，
∴∠CAF+∠OAF=∠CFA+∠ODF=∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，
∵OA為⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．

【點(diǎn)睛】
本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理、對(duì)頂角相等、切線的判定、直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用．
2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過原點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，連接BC．
（1）求⊙P的半徑
（2）求弦BC的長

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出AO，BO的長，進(jìn)而得出AB的長，即可得出圓的半徑；
（2）連接PC交OA于點(diǎn)H，連接AC，先根據(jù)勾股定理得出PH=，AC=，最后根據(jù)勾股定理求出結(jié)果．
【詳解】
（1）解：∵⊙P過原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），
∴AB是⊙O的直徑，AO=4，BO=3，
由題意可得出：OA2+OB2=AB2，
∴AB=5，
∴⊙P的半徑為；
（2）連接PC交OA于點(diǎn)H，連接AC，
∵點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，
∴OH=AH==2，PH⊥OA，
∵PA=，
∴PH==，
∴CH=PC-PH=-=1，
∴AC=，
∵AB為⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2．

【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線．
3．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)．
（1）如圖①，若∠BAC=40°BD為⊙O的直徑，連接CD，求∠DBC和∠ACD的大?。?br /> （2）如圖②，若CD∥BA，連接AD，延長OC到E，連接DE．使得3∠BAC-∠E=90°，判斷DE與⊙O關(guān)系并證明．

【答案】（1）50°，20°；（2）DE為⊙O的切線，證明見解析．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC=70°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BCD=90°，∠D=40°，利用互余計(jì)算出∠DBC的度數(shù)，利用圓周角定理計(jì)算∠ABD的度數(shù)，從而得到∠ACD的度數(shù)；
（2）連接AO，并延長AO交BC于點(diǎn)F，證明∠OCA=∠OAC=∠BAC，連接OD，證明3∠BAC+∠COD=180?減去3∠BAC-∠E=90°即可進(jìn)一步證明結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）=×（180°-40°）=70°，
∵BD為直徑，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠BAC=40°，
∴∠DBC=90°-∠D=90°-40°=50°；
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-50°=20°；
（2）DE為⊙O的切線．
證明：如圖，連接AO，并延長AO交BC于點(diǎn)F，

∵AB=AC
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC=∠BAC
連接OD，
∵OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=∠OCA+∠ACD
∵AB//CD
∴∠ACD=∠BAC
∴∠OCD=∠ODC=
∴∠OCD+∠ODC+∠COD=3∠BAC+∠COD=180?①
∵3∠BAC-∠E=90°
∴①-②得：∠COD+∠E=90?
∴∠ODE=90°,即
∴∵DE為⊙O的切線．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的判定，圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC邊上，以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點(diǎn)E，且E是AB中點(diǎn)，連接OA．

（1）求證：OA=OB；
（2）連接AD，若⊙O的半徑為2，求AD．
【答案】（1）見解析；（2）．
【分析】
（1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得，則可判斷OE垂直平分AB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先證明AO平分，再證明，可得出AC和CD的值，最后根據(jù)勾股定理即可得出答案．
【詳解】
（1）證明：連接OE，如圖：

以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點(diǎn)E，

E是AB中點(diǎn)，
OE垂直平分AB

（2）
AO平分

由（1）知，OA=OB

在中，．

【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，也考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
5．已知的直徑，是的弦，

（1）如圖1，若，垂足為M，，求的長；
（2）如圖2，若平分，求的長．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)，求出，連接，利用勾股定理求出，再利用垂徑定理求出答案即可；
（2）連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及同弧所對(duì)的圓周角相等證得，推出，利用直徑推出，再根據(jù)勾股定理得到，由此求出答案．
【詳解】
解：（1）∵直徑，
∴，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴∠，，
∴，
∴，
解得，
∴

（2）連接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
＝．

【點(diǎn)睛】
此題考查圓的知識(shí)：垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理和角平分線的性質(zhì)，熟記圓的基礎(chǔ)知識(shí)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于點(diǎn)E，延長線交⊙O于點(diǎn)P．
（1）如圖①，若△ABC是等邊三角形，求證：OE＝PE；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上方運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括點(diǎn)B、C），作CQ⊥AB交BE于點(diǎn)H，
①求證：HE＝PE；
②若BC＝3，求點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)軌跡的長度．

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②
【分析】
（1）由圓周角定理可得∠BPC=∠BAC=60°再由OC=OP，可證△OCP是等邊三角形，再由CE⊥OP，即可得到OE=PE；
（2）①連接PC，同理可得∠BPC=∠BAC=60°，然后證明∠ACQ=30°，則可得到∠CHE=60°，可證△CPH是等邊三角形，由此即可證明；
②由①得∠CHP=60°，得到∠BHC=120°，則H是在以BC為弦，圓周角∠BHC=120°的圓上運(yùn)動(dòng)，由此利用弧長公式求解即可．
【詳解】
解：（1）如圖所示，連接OC，PC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∵圓O是△ABC的外接圓，
∴圓O是△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，
∴BE在線段AC的垂直平分線上，
∴O在線段BP上，
∴OC=OP，
∴△OPC是等邊三角形，
∵CE⊥OP，
∴OE=PE；

（2）①如圖所示，連接PC，
同理可得∠BPC=∠BAC=60°，
∵CQ⊥AB，
∴∠AQC=90°，
∴∠ACQ=30°，
又∵AC⊥BE，
∴∠CEH=90°，
∴∠CHE=60°，
∴△CPH是等邊三角形，
∴PE=HE；

②由①得∠CHP=60°，
∴∠BHC=120°，
∵BC=4，
∴H是在以BC為弦，圓周角∠BHC=120°的圓上運(yùn)動(dòng)，
如圖所示，劣弧即為H的運(yùn)動(dòng)軌跡，過點(diǎn)作于G，
∴
∵∠BHC=120°
∴，
∴，
∴∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，等邊三角形的性質(zhì)與判定，弧長公式，弧、弦與圓心角的關(guān)系，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，弧長公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定條件．
7．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD，OD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直徑．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再證明OF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)D為的中點(diǎn)；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，，連接OC，運(yùn)用勾股定理求解即可．
【詳解】
解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA=90°，
∴OF⊥AC，
∴，
即點(diǎn)D為的中點(diǎn)．
（2）連接OC，如圖，

設(shè)⊙O的半徑為R，
∵DF=7
∴OF=R-7
∵AC=24
∴CF=12
在Rt△OCF中，
∴
解得，
∴⊙O的直徑=
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理．
8．如圖，為外接圓⊙O的直徑，且與⊙O相切于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）若，，，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）5
【分析】
（1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OAB+∠BAE=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠DAO+∠OAB=90°，∠D=∠C，再推出∠DAO=∠BAE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠DAO，從而推出∠BCA=∠BAE
（2）根據(jù)垂徑定理求出BF，根據(jù)勾股定理求出AF，再根據(jù)勾股定理求出OB即可．
【詳解】
解：證明：（1）連接OA交BC于點(diǎn)F，

∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥AE，即∠OAB+∠BAE=90°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠DAB=∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠DAO=∠BAE，
∵OA=OD，
∴∠C=∠DAO，
∵由圓周角定理得：∠D=∠C，
∴∠D=∠DAO，
∴∠DAO=∠BAE，
∴∠BCA=∠BAE；
（2）解：∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴FB=BC=×8=4，
∴在Rt△ABF中，AF==2，
∵在Rt△OFB中，OB2=BF2+OF2，
∴OB2=42+（0B-2）2，
∴OB=5，
∴⊙O的半徑為5．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的外接圓與外心，切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
9．如圖，中，，，，它的內(nèi)切圓分別和，，切于點(diǎn)，，，求，和的長．

【答案】AE=4，BD=9，CF=5
【分析】
設(shè)AE=x，根據(jù)切線長定理得到AF=AE=x，BE=BD=13-x，CD=CF=9-x，則13-x+9-x=14，然后解方程求出x，從而得到AE、BD、CF的長．
【詳解】
解：設(shè)AE=x，
∵△ABC的內(nèi)切圓分別和BC，AB，AC切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴AF=AE=x，BE=BD，CD=CF，
而BE=BA-AE=13-x，CF=CA-AF=9-x，
∴BD=13-x，CD=9-x，
而BD+CD=BC，
∴13-x+9-x=14，解得x=4，
∴AE=4，BD=9，CF=5．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了切線長定理．
10．如圖，在ABC中，線段BC的中點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，交AC于點(diǎn)E，AC的延長線交⊙O于點(diǎn)F．

（1）求證：DE⊥AC．
（2）若DE+EA＝4，AF＝8．求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）5
【分析】
（1）連接OD，先根據(jù)可得，再根據(jù)直徑的性質(zhì)可得AD⊥BC，結(jié)合點(diǎn)D是BC中點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，由此可證得，最后再結(jié)合切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于是得到，推出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，．由垂徑定理得到，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：如圖，連接OD，
，
，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴，
，
，
∴，
是的切線，
，
；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
四邊形是矩形，
，，
，
設(shè)．
，
，，
∵在中，，
，解得：，
，
的半徑為5．

【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．
11．如圖，在ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D．過點(diǎn)D作EF⊥AC，垂足為E，且交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，∠A＝60°，求CD的長．

【答案】（1）見解析；（2）CD?長為5．
【分析】
（1）作輔助線，根據(jù)等腰三角形三線合一得BD=CD，根據(jù)三角形的中位線可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，從而得結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得∠BAD=∠BAC=30°，由30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得BD．
【詳解】
（1）證明：連接OD，AD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴CD=BD=AB=×10=5，即CD 長為5．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．
12．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過延長、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫出證明過程；
（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出證明過程．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析
【分析】
（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先，再證為等腰三角形，進(jìn)一步證得，從而證得結(jié)論．
（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．
【詳解】
證明：（1）如圖1，連接，，

是劣弧的中點(diǎn)，
，
，
，
，，
，
為等腰三角形，
，
；
（2）如圖2，延長、相交于點(diǎn)，再連接，

是圓內(nèi)接四邊形，
，
是劣弧的中點(diǎn)，
，
，
為等腰三角形，
，，
，
，

（3）．
連接，，，、相交于點(diǎn)，

弧弧，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理在5個(gè)條件中，1．平分弦所對(duì)的一條??；2．平分弦所對(duì)的另一條??；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經(jīng)過圓心（或者說直徑）．只要具備任意兩個(gè)條件，就可以推出其他的三個(gè)．
13．如圖，與的邊相切于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)過上一點(diǎn)且是的直徑．

（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長；
（3）在（2）的條件下，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】
（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)半徑相等，等邊對(duì)等角可得，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而證明，可得即可證明是的切線；
（2）連接，勾股定理求得,設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列出方程即可求得的長；
（3）連接,，證明，勾股定理求得，根據(jù)，在中，勾股定理即可求得的長．
【詳解】
（1）連接，如圖，

是的切線

在與中

，
是半徑
是的切線；
（2）連接，

，，

在中，

，
設(shè)，則，
在中

解得

（3）連接,,

，

中
，

是的直徑．

是直角三角形

【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
14．如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．連結(jié)AD，AC，BD．

（1）寫出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．
（2）判斷AE，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
【答案】（1）；（2），見解析；（3）40
【分析】
（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可求得；
（2）在線段上截取，根據(jù)是的中垂線，，可得，進(jìn)而可得，；
（3）根據(jù)即可求得．
【詳解】
（1）是的中點(diǎn)，

故答案為：
（2）
理由如下：如圖，在線段上截取，
∵

∴是的中垂線
∴ ，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，，
∴
∵
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴
即
（3）∵
∴
∴

【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理的推論，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，O為菱形 ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M．

（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的邊長為1，∠ABC=60°，求⊙O的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC是角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)菱形的邊長可以求得其對(duì)角線的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和對(duì)角線的長列方程求解．
【詳解】
解：（1）連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD于N，

∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC，
∴ON=OM，
∴CD與⊙O相切；
（2）∵ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACB=60°，AC=1，
設(shè)半徑為r．則OC=1-r，OM=r，
∵∠ACB=60°，∠OMC=90°，
∴∠COM=30°，MC=，
∴
解得r，
∴⊙O的半徑為．
【點(diǎn)睛】
此題綜合考查了菱形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)和判定．注意本題中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系證明圓的切線的方法．
16．如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的B，D兩頂點(diǎn)，分別交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．
（1）求證AE＝AH；
（2）連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，若BD是⊙O的直徑，求證：四邊形EFGH是矩形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）連接DE、BH，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明△ADE≌△ABH即可；
（2）連接DE，DF，根據(jù)圓的性質(zhì)，證明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后運(yùn)用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形完成證明．
【詳解】
（1）證明：連接DE、BH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．
∵AE＝AH．

（2）連接DE，DF．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同樣的方法可證CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可證FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四邊形EFGH是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，
∴∠FEH＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，熟練菱形的性質(zhì)，矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
17．如圖1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB為直徑畫⊙O交AC于點(diǎn)D， E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，延長DE交⊙O于F點(diǎn)，連接AF．
（1）如圖1，求∠F的度數(shù)：
（2）如圖2，當(dāng)AE＝AD時(shí)，求∠DFO的度數(shù)．

【答案】（1）40°；（2）15°
【分析】
（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)先求出∠BAC，連接DO，求出∠AOD，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)求出∠F；
（2）連接DO，同（1）先求出∠AFD，根據(jù)AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠AFO，故可得到∠DFO的度數(shù)．
【詳解】
（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°
∴∠BAC=50°，
連接DO，
∵AO=DO
∴∠ADO=∠BAC=50°，
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°
∴∠F=∠AOD=40°；

（2）連接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°
∵AE=AD
∴∠AED==65°，
∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，
又AO=FO
∴∠AFO=∠FAO=25°，
∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．

【點(diǎn)睛】
此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和外角定理的運(yùn)用．
18．如圖，PA是的切線，切點(diǎn)為A，AC是的直徑，連接OP交于D．過點(diǎn)C作，連接AB交OP于點(diǎn)E．

（1）求證：PB是的切線；
（2）若E恰好是OD的中點(diǎn)，且四邊形OAPB的面積是，求陰影部分的面積；
（3）若且，求AB的長度．
【答案】（1）見解析（2）（3）4
【分析】
（1）連接OB，再證明△AOP≌△BOP，可得結(jié)論．
（2）先證明△AOD是等邊三角形，設(shè)OE＝m，用m的代數(shù)式表示AB，OP，構(gòu)建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根據(jù)S陰＝S扇形OAB?S△AOB，求解即可．
（3）在Rt△AOE中，，可以假設(shè)OE＝x，則OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝，在Rt△ADE中，根據(jù)AD2＝AE2＋DE2，構(gòu)建方程求出x，故可求解．
【詳解】
（1）證明：連接BO，
∵PA是的切線，
∴AP⊥AO，
∴∠PAO=90°
∵，AC是直徑
∴∠AEO=∠ABC=90°
∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP
又∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO =∠PAO=90°，
∴PB是的切線

（2）解：∵E是OD的中點(diǎn)
∴OE＝DE，
∵AB⊥OD，
∴∠AEO=∠AED=90°
又AE=AE
∴△AEO≌△AED（SAS）
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD＝60°，∠OAE=30°
設(shè)OE＝m，則AO=2m，AE＝BE＝m，AB=2m，OA＝2m，
∵∠APO=90°-∠AOP=30°
∴OP＝4m，
∵四邊形OAPB的面積是16，
∴?OP?AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或?2（舍棄），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S陰＝S扇形OAB?S△AOB＝?×4×2＝．
（3）解：在Rt△AOE中，，
∴可以假設(shè)OE＝x，則OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（）2＝（x）2＋（2x）2，
∴x＝1或?1（舍棄），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝，
∴AB=2AE=4．
【點(diǎn)睛】
本題屬于圓綜合題，考查了切線長定理，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
19．如圖，在RtABC中，∠C＝90°，BD是ABC的角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半徑的長．

【答案】（1）見解析；（2）半徑的長為5．
【分析】
（1）連接，由為角平分線得到一對(duì)角相等，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出與平行，利用兩直線平行同位角相等得到為直角，由此即可得證；
（2）過作垂直于，可得出四邊形為矩形，由此可得OG＝CD＝4，設(shè)OE＝OD＝CG＝x，利用勾股定理列出方程即可求得答案．
【詳解】
（1）證明：如圖，連接，
為的平分線，
，
，
，
，
∴，
，
，
是的切線；
（2）解：過作，連接，
∵，，
∴四邊形為矩形，
∴，，
設(shè)OE＝OD＝CG＝x，則GE＝CG－CE＝x－2，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
即半徑的長為5．

【點(diǎn)睛】
此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
20．如圖，在中，直徑與弦相交于點(diǎn)，．

（1）如圖①，若，求和∠CDB的大??；
（2）如圖②，若，過點(diǎn)D作的切線DF ，與AB的延長線相交于點(diǎn) ．求∠ F 的大?。?br /> 【答案】（1）27°，32°；（2）26°
【分析】
（1）先求出∠BAD=∠C=27° ，再求出∠ADB=90°，最后計(jì)算求解即可；
（2）先求出 ∠AEC=90° ，得到∠A及∠DOB的度數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODF=90°，計(jì)算求解即可．
【詳解】
解：（1）∵，，
∴∠C=∠AEC-∠ABC=27°，
∴∠BAD=∠C=27°．
∵直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABC=∠ADC=58° ，
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=32°．
（2）∵，
∴∠AEC=90°．
又∵∠ABC=∠ADC=58°，
∴∠A=90°-∠ADC=32°．
∴∠DOB=2∠A=64°．
∵DF是的切線，
∴∠ODF=90° ．
∴∠F=90°-64°=26°．
【點(diǎn)睛】
此題考查同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，垂線的定義，切線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半徑為2的⊙O分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

【答案】（1）見解析；（1）
【分析】
（1）連接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足為M，利用面積法求出OM的長，由此得到結(jié)論；
（2）先證明OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，得到∠AOB=135o，再利用扇形面積公式計(jì)算即可得到答案．
【詳解】
（1）連接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足為M，

∵⊙O與AC，BC相切，
∴OE=OF=2，∠OEC=∠OFC=90°，
∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
由面積法S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴OE·AC＋OF·BC＋OM·AB＝AC·BC，
∴OM=2，
又∵OM⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）OM⊥AB，∠OEC=∠OFC=90o，OE=OF=OM，
∴OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，
由∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝45°，∠AOB=135o，
∴S陰影=S△AOB－S扇形=×13×2－×π×22=．
【點(diǎn)睛】
此題考查切線的判定定理和性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，正確掌握面積法計(jì)算三角形的面積，由此求線段長度是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接BC，過O點(diǎn)作OD⊥BC于D點(diǎn)，交弧BC于E點(diǎn)，連接AE交BC于F點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：∠BAC＝2∠E；
（2）如圖2，連接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的長．

【答案】（1）見解析；（2）6
【分析】
（1）根據(jù)垂徑定理可知，，進(jìn)而可得，由可得，進(jìn)而即可證明；
（2）由是直徑，可得，根據(jù)，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得，進(jìn)而求得的長．
【詳解】
（1）

，
，

（2）是直徑

又

在中，

【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理，等弧所對(duì)的圓周角相等，垂直平分線的定理，等邊對(duì)等角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，求得是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，BD=DC，過C作CG⊥BD于E，交AB于F，交DA的延長線于點(diǎn)G，
（1）求證：AG=FG；
（2）若DH⊥AC于H，AH=，AB=6，求HC的長度．

【答案】（1）證明見祥解；（2）HC= 6+．
【分析】
（1）由BD=DC，可得∠DBC=∠DCB，由四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，可得∠DCB=∠GAF，根據(jù)AC為直徑， CG⊥BD，可得∠EFB=∠EBC，進(jìn)而可得∠GFA∠GAF即可；
（2）過D作DJ⊥BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)BD=DC，DJ⊥BC，BJ=CJ，根據(jù)垂徑定理可得DJ過圓心O，可證OJ為△ABC的中位線，OJ=AB=，再證△DOH≌△COJ（AAS），OH=OJ=3即可．
【詳解】
（1）證明：∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠DCB+∠DAB=180°，∠GAF+∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠GAF，
∵AC為直徑， CG⊥BD，
∴∠ABC=90°，∠FEB=90°
∴∠EFB+∠EBF=∠EBF+∠EBC=90°，
∴∠EFB=∠EBC，
∴∠GFA=∠EFB=∠EBC=∠DCB=∠GAF，
∴AG=FG；
（2）解：過D作DJ⊥BC，
∵BD=DC，DJ⊥BC，
∴BJ=CJ，DJ過圓心O，
∵OA=OC，AB=6，
∴OJ為△ABC的中位線，
∴OJ=AB
∵DH⊥AC，DJ⊥BC，
∴∠DHO=∠CJO=90°，
,在△DOH和△COJ中，
，
△DOH≌△COJ（AAS），
∴OH=OJ=3
∵AH=，
∴AO=AH+HO=+3，
∴HC=HO+OC=HO+OA=3++3=6+，

【點(diǎn)睛】
本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同角的余角性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，本題綜合較強(qiáng)，難度較大，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
24．如圖，從外一點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接．若，
（1）求的度數(shù)．
（2）若，求的長.

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)，得∠OBA=90°，又∠A=30°，所以∠AOB=60°，再用三角形的外角性質(zhì)可以求出∠ACB的度數(shù)．
（2）設(shè)OB=x，則OA=2x，根據(jù)勾股定理得出求解即可．
【詳解】
解：如圖：連接OB，
∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠ACB，
∴∠ACB=30°．

（2）由（1）得∠OBA=90°，∵∠A=30°，，
設(shè)OB=x，則OA=2x，
∴即，解得(舍去)，
∴OB=OC=1，OA=2，
∴AC=OA+OC=2+1=3．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和求出角的度數(shù)．
25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線分別交AB，AC的延長線于E，F(xiàn)，連接BD．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）若，CF=2，求⊙O的半徑．

【答案】（1）見解析；（2）5
【分析】
（1）連接，由切線的性質(zhì)和已知條件可證得，則可證得結(jié)論；
（2）過作于點(diǎn)，連接，則可證得、，則可求得的長，可求得圓的半徑．
【詳解】
（1）證明：如圖1，連接，

是的切線，且點(diǎn)在上，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如圖2，過作于點(diǎn)，連接，

，，，
，，
在和中

，
同理可得，
，，
，
的半徑．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直，注意全等三角形的應(yīng)用．
26．如圖，AB為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線BD交OC的延長線于點(diǎn)D．
（1）求證：；
（2）若，．求CD的長．

【答案】（1）見解析；（2）CD＝
【分析】
（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代換得到結(jié)論；
（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CB＝，然后證明∠D＝∠CBD＝30°得到CD＝CB即可．
【詳解】
（1）證明：∵DB是⊙O的切線，
∴BD⊥AB，
∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠DBC＝∠OCA；
（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，
設(shè)，則，
∴，
解得：，
則，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°?∠COB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠DBC＝∠OCA＝30°，
∴∠D＝∠DBC．
∴CB＝CD．
∴CD＝．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．
27．如圖，⊙O是ABC的外接圓，∠ABC＝45°，OCAD，AD交BC的延長線于D，AB交OC于E．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半徑和線段BE的長．

【答案】（1）見解析；（2）半徑為4，
【分析】
（1）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出R=4；作OH⊥AB于H，根據(jù)垂徑定理得AH=BH，再利用面積法計(jì)算出然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=，則HE=AE-AH=，再利用BE=BH-HE進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】
解：（1）證明：連接OA，如圖，

∵AD是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AD是⊙O的切線
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，
在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R-2）2=（2）2，解得R=4，
作OH⊥AB于H，如圖，OE=OC-CE=4-2=2，

則AH=BH，
∵OH?AE=?OE?OA，
∴
在Rt△AOH中，，
∴
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了圓周角定理、垂徑定理和勾股定理．
28．已知：點(diǎn)P在⊙O外，點(diǎn)A在⊙O上，AB⊥PO于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B，連接PA、PB．

（1）如圖1，求證：PA＝PB；
（2）如圖2，連接OB，設(shè)線段PO交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D在線段PE上，連接AD，交⊙O于點(diǎn)F，若∠ADO＝2∠ABO，求證：AD＝OD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若PB為⊙O的切線，CO＝2DF，AB＝4，求⊙O的半徑．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）⊙O的半徑為．
【分析】
（1）根據(jù)垂徑定理可得AC=BC，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理即可證明PA=PB；
（2）連接AO，作∠ADO的平分線交OA于G，可證△AGD≌△OGD即可證明結(jié)論；
（3）連接OF,OA，作OH⊥AD，交AD于H，可證△AHO≌△OCA，即可用OF表示AD,DC，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，求得OF，繼而求得OC，在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，求得AO即為半徑．
【詳解】
解：（1）證明：∵AB⊥PO于點(diǎn)C，
∴AC=BC，
∴PA=PB；
（2）如下圖，連接AO，作∠ADO的平分線交OA于G，

∵AB⊥PO，
∴∠ACO=90°，
∵AO=OB，
∴∠OAB＝∠ABO，
∵∠ADO＝2∠ABO，DG為角平分線，
∴∠ADG＝∠GDO＝∠OAB，
∵∠AOC=∠DOG，
∴∠DGA=∠DGO=∠ACO=90°，
在△AGD和△OGD中
∵∠DGA=∠DGO，DG=DG，∠ADG＝∠GDO，
∴△AGD≌△OGD（ASA），
∴AD=OD；
（3）連接OF,OA，作OH⊥AD，交AD于H，

∵OH⊥AD，
∴AH=FH，∠AHO=90°，
∵AD=OD，
∴∠HAO=∠AOC，
在△AHO和△OCA中
∵∠AHO=∠ACO=90°，∠HAO=∠AOC，OA=AO，
∴△AHO≌△OCA，
∴AH=FH=OC，
∵CO＝2DF，
∴AD=5DF，DC=DO-OC=AD-OC=3DF，
∵AB＝4，
∴AC=BC=2，
在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，
,即,解得,
∴,
在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，
,即，解得,即⊙O的半徑為．
【點(diǎn)睛】
本題為圓的綜合題，主要考查垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的性質(zhì)定理等．（1）中理解垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等是解題關(guān)鍵；（2）中正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵；（3）中能正確表示直角三角形的三邊是解題關(guān)鍵．
29．如圖，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CG，過點(diǎn)B作CG的垂線，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接CB．
（1）求證：CB平分∠ABD；
（2）若BC=5，BD=3，求AB長．

【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，得，從而得；根據(jù)平行線性質(zhì)，得；根據(jù)圓和等腰三角形性質(zhì)，得，從而完成證明；
（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)矩形性質(zhì)，推導(dǎo)得，；根據(jù)勾股定理，計(jì)算得；設(shè)，通過列方程并求解，即可得，從而得到答案．
【詳解】
（1）連接，如下圖：

∵CG是⊙O的切線
∴
根據(jù)題意，
∴
∴
∵AB是⊙O直徑
∴
∴
∴
∴CB平分∠ABD；
（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：

∴
∵
∴，
∵，
∴四邊形為矩形
∴，
∵，BC=5，BD=3
∴
∴
設(shè)，則
∵
∴
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓、角平分線、平行線、等腰三角形、矩形、勾股定理、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、切線、勾股定理、矩形的性質(zhì)，從而完成求解．
30．如圖，在⊙O中，B是⊙O上的一點(diǎn)，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，連結(jié)MA，MC．

（1）求證：AMC是正三角形；
（2）若AC＝，求⊙O半徑的長．
【答案】（1）見解析；（2）2
【分析】
（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABM＝∠MBC＝60°，再根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得∠MAC＝∠ACM＝60°，由此即可證得結(jié)論；
（2）連接、，過作于點(diǎn)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，再求得，最后根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得答案．
【詳解】
（1）證明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝60°，
∵∠ABM與∠ACM都是弧AM所對(duì)的圓周角，
∴∠ACM＝∠ABM＝60°，
∵∠MAC與∠MBC都是弧MC所對(duì)的圓周角，
∴∠MAC＝∠MBC＝60°，
∴∠MAC＝∠ACM＝60°，
∴MA＝CM，
又∵∠ACM＝60°，
∴AMC是正三角形；
（2）解：連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1，

，
，
，
∵＝，
，
∵，，
，
∵，，
，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：（舍負(fù)），
，
∴的半徑為2．
【點(diǎn)睛】
本題是主要考查圓周角定理，垂徑定理，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等相關(guān)知識(shí)，內(nèi)容較多，有一定難度，能夠靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．
31．在菱形ABCD中，BD=12，∠DBC=30°，點(diǎn)P在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)BP=x，⊙O為△ABP的外接圓．

（1）如圖1，當(dāng)x=　，圓心O落在AB上？
（2）如圖2，當(dāng)PA=PB時(shí)，
①判斷此時(shí)⊙O與BC的位置關(guān)系，并說明理由．
②求出x的值．
【答案】（1）6；（2）①⊙O與BC的位置關(guān)系相切，理由見解析；②x的值為4；
【分析】
（1）連接AP，當(dāng)點(diǎn)O在AB上時(shí)，AB為圓O直徑，∠APB=90°，P為BD中點(diǎn)，x=6．
(2)①連接AP、OP、OB，通過AP=BP得到AB⊥OP推出∠OBP=∠OPB=60°，即可得到∠OBC=∠OBP+∠DBC=90°，得出⊙O與BC的位置關(guān)系相切；
②連接AC，得AC⊥BD，BM==6，利用三角比先后求出AM =，AP=4即可得出BP=AP=4
【詳解】
（1）連接AP
當(dāng)點(diǎn)O在AB上時(shí)，AB為圓O直徑
∴∠APB=90°
∵菱形ABCD中，AB=AD
∴BP=PD= =6
即x=6

（2）①連接AP、OP、OB,
∵AP=BP
∴弧AP=弧BP
∴AB⊥OP
∴∠ABP+∠OPB=90°，
∵菱形ABCD中， ∠ABP=∠DBC=30°
∴∠OPB=60°
又OP=OB
∴∠OBP=∠OPB=60°
∴∠OBC=∠OBP+∠DBC=90°
∴⊙O與BC的位置關(guān)系相切

②連接AC，交BD于M，
則AC⊥BD，BM==6
∵tan∠ABP=
∴AM= tan∠ABP×BM=
∵∠APM=∠ABP+∠PAB=60°，sin∠APM=
∴AP==4
∴BP=AP=4
∴x=4

【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角、切線的判定以及菱形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合能靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

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