?二次函數(shù)與幾何綜合題
二次函數(shù)與幾何綜合題，通常作為必考壓軸題。
1．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，且B點的坐標(biāo)為，經(jīng)過A點的直線交拋物線于點．
（1）求拋物線的解析式和直線AD的解析式；
（2）點M為直線AD上方拋物線上一點，求當(dāng)?shù)拿娣e最大時M點的坐標(biāo)及最大的面積．

【答案】（1）；；（2）的最大面積為，
【分析】
（1）根據(jù)點B和D的坐標(biāo)求出二次函數(shù)解析式，然后求出點的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法求直線AD的解析式即可；
（2）設(shè)，過點M作軸，交AD于點N，則，然后根據(jù)＝列出二次函數(shù)，求最值即可．
【詳解】
解：（1）把點B和D的坐標(biāo)代入拋物線
得：，解得：，，
∴拋物線的解析式為；
當(dāng)時，，解得：或，
∵，
∴；
設(shè)直線AD的解析式為，
把A和D的坐標(biāo)代入得：，解得：，，
∴直線AD的解析式為；
（2）設(shè)，過點M作軸，交AD于點N，則，

∴，
∴＝
，
∴的面積，
當(dāng)時，的最大面積，
此時，．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意列出關(guān)于的面積的表達式是解本題的關(guān)鍵．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點的坐標(biāo)為．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點在拋物線上且滿足．求點的坐標(biāo)；
（3）如圖2，是直線上一個動點．過點作軸交拋物線于點，是直線上一個動點當(dāng)為等腰直角三角形時．直接寫出此時點的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2），；（3），，，，，
【分析】
（1）由和，且為頂點列方程求出a、b、c，即可求得解析式；
（2）分兩種情況討論：①過點作，交拋物線于點，②在下方作交于點，交拋物線于；
（3）為等腰直角三角形，分三種情況討論：①當(dāng)；②當(dāng)；③當(dāng)．
【詳解】
（1）將和代入，
得 ，
又∵頂點的坐標(biāo)為，
∴，
∴解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）設(shè)直線的解析式為
∵和，
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵拋物線的解析式為：，拋物線與軸交于點，與軸交于點和點，
令，則，
令，則或，
C點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，
如圖所示，①過點作，交拋物線于點，
則直線的解析式為，
，
解得：（舍），，
當(dāng)，則，
故，

②過點作軸平行線，過點作軸平行線交于點，
由可知四邊形為正方形，
∵直線的解析式為，
∴與軸交于點，
在下方作交于點，交拋物線于，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由可得直線的解析式為：，
，
解得（舍），，
當(dāng)，則，
故，
綜上所述，符合條件的點坐標(biāo)為：，；
（3）∵，，
∴直線的解析式為，
設(shè)M的坐標(biāo)為，則N的坐標(biāo)為，
∴，
∵，，
∴直線的解析式為，
∵為等腰直角三角形，
∴①當(dāng)時，如下圖所示：

則Q點的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得：（舍去），，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴，，
②當(dāng)時，如下圖所示：

則Q點的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得：（舍去），，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴，，
③當(dāng)時，如圖所示：

則Q點縱坐標(biāo)為，
∴Q點的坐標(biāo)為，
∴Q點到MN的距離=，
∴（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
解得：（舍去），，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
∴，
綜上所述，點的坐標(biāo)為：，，，，，．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形，該題綜合性較強，屬于中考壓軸題．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B．
（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的表達式；
（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當(dāng)點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；

【答案】（1）y＝?x2＋4x＋5；（2）P（，），S四邊形APCD最大＝．
【分析】
（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點P坐標(biāo)（x，?x2＋4x＋5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD＝?2x2＋10x，根據(jù)二次函數(shù)表達式求出最值．
【詳解】
解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x?2）2＋9，
∵拋物線與y軸交于點A（0，5），
∴4a＋9＝5，
∴a＝?1，
∴y＝?（x?2）2＋9＝?x2＋4x＋5；
（2）連接AP，

當(dāng)y＝0時，?x2＋4x＋5＝0，
∴x1＝?1，x2＝5，
∴E（?1，0），B（5，0），
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx＋n，
∵A（0，5），B（5，0），
由點A、B的坐標(biāo)得，直線AB的解析式為y＝?x＋5；
設(shè)P（x，?x2＋4x＋5），
∴D（x，?x＋5），
∴PD＝?x2＋4x＋5＋x?5＝?x2＋5x，
∵A、C關(guān)于直線x=2對稱，
∴AC＝4，
又∵AC⊥PD，
∴S四邊形APCD＝×AC×PD＝2（?x2＋5x）＝?2x2＋10x，
∴當(dāng)x＝時，即點P（，）時，S四邊形APCD最大＝．
【點睛】
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)最值的確定方法，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求最值．
4．如圖，直線y＝x－1與拋物線y＝ax?＋x＋c交于點A、B兩點，點A在y軸上，點B的橫坐標(biāo)為6，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）若直線PQ∥y軸， 與拋物線、直線AB、x軸分別交于點P、Q、D，且點D位于線段OC之間，求線段PQ長度的最大值；
（3）連接BP、CQ，當(dāng)四邊形PQCB是平行四邊形時，求點D的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）；（3）D或
【分析】
（1）根據(jù)直線解析式求得點A、B兩點坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求解即可；
（2）設(shè)P，求得線段的長度，配方法求解即可；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)（2）中的式子，求解一元二次方程即可．
【詳解】
（1）直線y＝x－1與拋物線交于點A、B兩點，點A在y軸上，則A（0，－1），∴c＝－1，
點B的橫坐標(biāo)為6，則y＝×6－1＝2，∴B（6，2）．把x＝6，y＝2代入得：，
∴拋物線的表達式；
（2）設(shè)P、則Q，
；
∵，當(dāng)時，PQ最大＝
（3）當(dāng)PQ//BC//y軸且PQ＝BC時，四邊形PQCB是平行四邊形，
即，解得，
∴D或
【點睛】
此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．
5．如圖，拋物線與軸相交于，兩點，且經(jīng)過點，點為拋物線與軸的交點．

（1）求拋物線的解析式和點的坐標(biāo)；
（2）若點為拋物線圖象上的一點，，求點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點是線段上的動點，作軸交拋物線于點，求線段長度的最大值．
【答案】（1），（0，-3）；（2）（4，21）或（-4，5）；（3）
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再根據(jù)點C在y軸上求出點C坐標(biāo)；
（2）先由二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3，得到C點坐標(biāo)，然后設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標(biāo)；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，-x-3），則D點坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．
【詳解】
解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-3，0），B（1，0），
∴設(shè)拋物線解析式為：，
將（2，5）代入，得：，
解得：a=1，
∴拋物線解析式為：，
令x=0，則y=-3，
∴點C坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標(biāo)為（0，-3），OC=3．
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4，當(dāng)x=4時，x2+2x-3=16+8-3=21；
當(dāng)x=-4時，x2+2x-3=16-8-3=5．
∴點P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（-3，0），C（0，-3）代入，
得，
解得：，
即直線AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，-x-3）（-3≤x≤0），則D點坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），
QD=（-x-3）-（x2+2x-3）=-x2-3x=，
∴當(dāng)x=時，QD有最大值．
【點睛】
此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．
6．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，OA=1，OB=OC=3．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點D為第一象限拋物線上一動點，連接DC，DB，BC，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，點P(0，n)是線段OC上一點(不與點O、C重合)，連接PB，將線段PB以點P為中心，旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，是否存在n的值，使點Q落在拋物線上？若存在，請求出滿足條件的n的值，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，n=1或n=
【分析】
（1）通過待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；
（2）作DF⊥x軸于點F，交BC于點E，根據(jù)求得關(guān)于的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）過點P作PB的垂線，交拋物線于點和，作軸于點M，軸于點N，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：(1)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為
由題意，得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)
∴
把C(0，3)代入得，
∴
(2)作DF⊥x軸于點F，交BC于點E

設(shè)直線BC關(guān)系式為y=kx＋b，
代入(3，0)，(0，3)得k=－1，b=3，
∴y=－x＋3
∵點D的橫坐標(biāo)為m，則DF=，EF=－m＋3
∴DE=

∵，∴S的最大值是
(3)過點P作PB的垂線，交拋物線于點和，作軸于點M，軸于點N

∴
∵，，
∴
又∵，
∴
∴，，∴
代入拋物線，得
解得，(舍去)
同理，，∴(－n，n－3)
代入拋物線，得
解得，(舍去)
綜上，存在n 的值，n=1或n=
【點睛】
此題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．
7．如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點，，點為軸上一動點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖2，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段．
①當(dāng)點在拋物線上時，求點的坐標(biāo)；
②點在拋物線上，連接，當(dāng)平分時，求點P的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）①或；②或
【分析】
（1）把點B（0.-2）代入函數(shù)解析式，確定a的值即可；
（2）①分點D在x軸的下方和上方兩種情形，運用全等思想求解即可；
②分PE垂直x軸和不垂直兩種情形求解即可．
【詳解】
（1）∵二次函數(shù)的圖象過點，
∴-2=,
解得a=，
∴即；
（2）①設(shè)點P（m，0）如圖，當(dāng)點在x軸下方時，過點作DF⊥x軸于點F，
∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∴∠FPD+∠OPB=90°，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠FPD=∠OBP，
∵∠BOP=∠PFD=90°，
∴△BOP≌△PFD，

∴BO=PF=2，PO=DF=m，
∴點D的坐標(biāo)為（m+2，-m）,
∵點D在拋物線上，
∴,
整理，得，
解得（舍去），
∴點D的坐標(biāo)為（3，-1）；
當(dāng)點在x軸上方時，如圖，
設(shè)點P（m，0）過點D作DE⊥x軸于點E，
∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∴∠EPD+∠OPB=90°，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠EPD=∠OBP，
∵∠BOP=∠PED=90°，
∴△BOP≌△PED，

∴BO=PE=2，PO=DE=|m|=-m，
∴點D的坐標(biāo)為（m+2，-m）,
∵點D在拋物線上，
∴,
整理，得，
解得（舍去），，
∴點D的坐標(biāo)為（-8，10），
故點D的坐標(biāo)為（3，-1）或（-8，10）；
②如圖，當(dāng)PE⊥x軸時，
∵∠BPD=90°，PE平分∠BPD，
∴∠BPE=∠BPO=∠PBO =45°，

∴PO=OB=2，
∴點P的坐標(biāo)為（2，0）；
如圖，當(dāng)PE不垂直x軸時，

過點B作BM⊥BP，交PE于點M，過點M作MH⊥y軸，垂足為H，
∵∠BPD=90°，PE平分∠BPD，
∴∠MPB=∠PMB=45°，
∴PB=BM，
∴∠OPB+∠HBM=90°，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠HBM=∠OPB，
∵∠BOP=∠MHB=90°，
∴△BOP≌△MHB，
∴BO=MH=2，PO=HB，
∵，
∴E與M重合，
∴OH=，
∴OH=，
∴PO=HB=OB-OH=2-=，
∵點P在x軸的負半軸上，
∴點P的坐標(biāo)為（，0）；
∴點P的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類思想，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運用三角形的全等和分類思想是解題的關(guān)鍵．
8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點B的坐標(biāo)為(1，0)，且OA＝OC＝4OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A，B，C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，若動點P在過A，B，C三點的拋物線上，是否存在點P，使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）若點P是直線AC上方的拋物線上的一個動點，作PD⊥AC于點D，當(dāng)0＜PD＜2時，請直接寫出點P橫坐標(biāo)的取值范圍．

【答案】（1）；（2）存在， P點坐標(biāo)為（2，-6）或（-2，6）；（3）且．
【分析】
（1）由已知可知OB=1，再由OA＝OC＝4OB，可得A， C兩點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）分、兩種情況，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出直線PC解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出交點坐標(biāo)；
（3）過點P作y軸的平行線交AC于點Q,可得，根據(jù)直線解析式和拋物線解析式求出線段PQ的函數(shù)解析式，可得當(dāng)x=-2時，P點坐標(biāo)為（-2，6），此時PQ的最大值為，由此得出點P橫坐標(biāo)的取值范圍．
【詳解】
解：（1）∵點B的坐標(biāo)為(1，0)，
∴OB=1，
又∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，即點A坐標(biāo)為（-4，0）；點C坐標(biāo)為（0，4）；
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A，B，C三點．
∴，
解得：,
∴拋物線的解析式為；
（2）以AC為直角邊的直角三角形ACP，有兩種情況，
I．過C點作PC⊥AC，交拋物線于點P，交x軸于M，此時，如解圖2-1；

∵，OA＝OC，
∴，
∴，
∴，即點M坐標(biāo)為（4，0），
∴直線PC解析式為，
聯(lián)立解析式得：
，
解得：，，
∴當(dāng)P點坐標(biāo)為（-2，6）時，ACP是以AC為直角邊的直角三角形；
II．過A點作PA⊥AC，交拋物線于點P，交y軸于N，此時，如解圖2-2，


同理可求：當(dāng)P點坐標(biāo)為（2，-6）時，ACP是以AC為直角邊的直角三角形；
綜上所述：當(dāng)P點坐標(biāo)為（2，-6）或（-2，6）時，ACP是以AC為直角邊的直角三角形．
（3）∵點A坐標(biāo)為（-4，0）點C坐標(biāo)為（0，4）
∴直線CA函數(shù)表達式為: y=x+4,
過點P作y軸的平行線交AC于點Q,

設(shè)點P坐標(biāo)為，其中，則點Q坐標(biāo)為，
∵點P是直線AC上方的拋物線上的一個動點，
∴，
∴，即當(dāng)x=-2時，P點坐標(biāo)為（-2，6），此時PQ的最大值為
又∵，軸，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵0＜PD＜2，
∴0＜PQ＜4，即：，
∴當(dāng)x=-2時， PQ的最大值為，此時,
∴當(dāng)0＜PD＜2時，P橫坐標(biāo)的取值范圍為：且．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形性質(zhì)等，其中（3）得出，并用函數(shù)關(guān)系表示PQ是本題解題的關(guān)鍵．
9．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（-3，0），B（1，0），與y軸交于點C（0，3），點D為拋物線的頂點．
（1）直接寫出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得△BCF周長最小，若存在求點F坐標(biāo)，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，拋物線在第二象限的部分上是否存在一點M，使得四邊形AOCM面積最大，若存在求點M坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

【答案】（1）y=-x2-2x+3；
（2）存在，F(xiàn)（-1，2）周長最小值；
（3）存在，M（，）；
【分析】
(1) 將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，計算即可；
(2) 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)先找出C的對稱點C1，然后連接BC即可找到F點，最后根據(jù)B、C1的坐標(biāo)求得直線BC1的解析式，即可求得F的坐標(biāo)；利用兩點間的距離公式求出BC、BF、FC的長度相加即可；
（3）根據(jù)即可求得解析式，根據(jù)解析式即可求得求出點M的坐標(biāo)及的面積最大值；
【詳解】
解:(1)將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c
得:,
解得:
所以拋物線的函數(shù)表達式: y=-x2-2x+3
(2)存在；∵拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3，
∴拋物線的對稱軸x=-1,C(0,3)，
∴ C1 (-2,3)，
設(shè)直線BC1的解析式為：y=kx+b，
∵B（1，0），
∴ 解得 ，
∴ 直線BC1的解析式為：y=-x+1 ，
把x=-1代入直線BC1的解析式y(tǒng)=-x+1，得y=2，
∴F (-1,2)；
∴


∴

（3）存在；
過點M作MN⊥AO于點N
設(shè)M（m，-m2-2m+3）則N（m，0）
∴AN=m-（-3）=m+3，MN=-m2-2m+3，NO=0-m=-m
∵
∴

∴當(dāng)m=時，面積最大
把m=代入-m2-2m+3中得：-m2-2m+3=
∴M（，）

【點睛】
本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平面圖形的面積的計算，拋物線的頂點式的運用等多個知識點，難度比較大．
10．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝OC＝6．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接OD交BC于點E，求的最大值，并求出此時點D的坐標(biāo)；
（3）如圖②，點P是拋物線對稱軸l上一點，是否存在點P的位置，使△BCP是直角三角形？若存在，請直接寫出相應(yīng)點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）△BCD面積的最大值是，此時點D的坐標(biāo)為（3，）；（3）存在，點P的坐標(biāo)分別為（2，8），（2，－4），（2，），（2，）
【分析】
（1）運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點D向x軸作垂線，交BC于點E．求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=－x＋6，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點E橫坐標(biāo)為m，得出，，從而DE＝，由三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）設(shè)點P（1，a），然后分類討論利用勾股定理列出關(guān)于a的方程求解．
【詳解】
解：（1）由題意點A、B、C的坐標(biāo)分別為（－2，0）、（6，0）、（0，6）
分別代入得

解得，a＝，b＝2，c=6
∴拋物線的解析式為
（2）存在．
過點D向x軸作垂線，交BC于點E．

設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n（k≠0）
代入點B（6，0）、C（0，6）得

解得k=－1，n＝6．
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=－x＋6
設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點E橫坐標(biāo)為m
由題意，
∴DE＝





當(dāng)m＝3時，
∵＜0
∴△BCD面積的最大值是，此時點D的坐標(biāo)為（3，）
（3）存在，
∵
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
設(shè)P（2，a），
∵B（6，0），C（0，6），
①當(dāng)∠PCB=90°時，CP2+CB2=BP2，
∴22+（a-6）2+62+62=（6-2）2+a2，
解得：a=8，
∴P1（2，8），
②當(dāng)∠PBC=90°時，BP2+CB2=CP2，
∴（6-2）2+a2+62+62=22+（a-6）2，
解得：a=-4，
∴P2（2，-4），
③當(dāng)∠CPB=90°時，BQP2+CP2=CB2，
∴（6-2）2+a2+22+（a-2）2=62+62，
解得：a=或a=，
∴P3（1，），P4（1，），
綜上所述：點P的坐標(biāo)分別為（2，8），（2，－4），（2，），（2，）．
【點睛】
本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是用含有未知數(shù)的代數(shù)式表達點的坐標(biāo)和線段的長度．
11．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，1）、B（4，3）兩點，頂點為點P，連接PA，PB．
（1）求拋物線及直線AB的解析式；
（2）請你直接寫出△PAB的面積；
（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，平行于y軸的直線交直線AB于點N，交拋物線于點M，否存在點M，使以點B、點C、點M、點N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）拋物線解析式為，直線AB的解析式為；（2）；（3）或或或
【分析】
（1）設(shè)直線AB的解析式為，然后把A、B兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式和直線AB的解析式進行求解即可；
（2）過點P作軸交AB于D，先求出，則，從而得到，再由進行求解即可；
（3）由直線MN與y軸平行，BC⊥x軸，得到，則MN和BC是這個平行四邊形的一組對邊，則MN=BC=3，設(shè)，則，則，由此進行求解即可．
【詳解】
解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，1）、B（4，3）兩點，
∴，
解得，
∴拋物線解析式為；
設(shè)直線AB的解析式，
則，
解得，
∴直線AB的解析式為；
（2）過點P作軸交AB于D，
∵P是拋物線的頂點，
∴，
∴D點的橫坐標(biāo)為，
∴D點的縱坐標(biāo)，
∴
∴，
∴；

（3）∵直線MN與y軸平行，BC⊥x軸，
∴，
∵以點B、點C、點M、點N為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴MN和BC是這個平行四邊形的一組對邊，
∴MN=BC，
∵B（4，3），
∴MN=BC=3，
設(shè)，則，
∴，
∴，
當(dāng)時，即
解得或，
∴此時M的坐標(biāo)為或；
當(dāng)時，即，
∴
解得或，
∴此時M的坐標(biāo)為或，
綜上所述，存在M的坐標(biāo)為或或或，使得以點B、點C、點M、點N為頂點的四邊形為平行四邊形．
【點睛】
本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握待定系數(shù)法．
12．如圖，拋物線經(jīng)過點，，．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為拋物線對稱軸上一點，求周長取得最小值時點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的頂點為，軸于點，在軸上是否存在點使得是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1） ；（2）；（3）存在，，，，
【分析】
（1）待定系數(shù)法求拋物線解析式：已知點的坐標(biāo)，利用兩點式設(shè)二次函數(shù)不等式，再把剩余的點代入整理即可得出拋物線解析式；
（2）這是一個最短距離問題，利用點、關(guān)于拋物線對稱軸的對稱性，即可得出本題答案；
（3）分三種情況進行討論，利用勾股定理代入數(shù)據(jù)計算即可．
【詳解】
解：（1）∵拋物線經(jīng)過點，
∴可設(shè)拋物線的解析式為：，
將代入得：

解得：，
則，
∴拋物線的解析式為；
（2）如下圖，連接交對稱軸于，

∵，
∴，
∴此時最短，周長取得最小值，
設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則
，
解得，
∴直線的解析式為
∵拋物線的對稱軸為，
∴點的坐標(biāo)為（-1，-2）；
（3）在軸上存在點使得是直角三角形，理由如下：
∵
∴頂點的坐標(biāo)為（-1，- 4），
∵
∴,
設(shè)點的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進行討論
①當(dāng)為直角頂點時，如下圖

由勾股定理，得
即，
解得，
所以點的坐標(biāo)為；
②當(dāng)為直角頂點時，如下圖

由勾股定理，得
即，
解得，
所以點的坐標(biāo)為；
③當(dāng)為直角頂點時，如下圖

由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以點的坐標(biāo)為或；
綜上所述，點的坐標(biāo)為，，，．
【點睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合，以及利用勾股定理確定直角三角形的知識熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
13．如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D
（1）點A的坐標(biāo)為　 　，點B的坐標(biāo)為　 　．
（2）①求拋物線的解析式；
②直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，在x軸上是否存在點M，使得ME+MB最小，求出點M的坐標(biāo)；
（3）點P從點D出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

【答案】（1）（﹣3，0），（0，3）；（2）①y＝﹣x2﹣2x+3；②存在點M，；（3）t為3，4±，4秒．
【分析】
（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，即可求解；
（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），故c＝3，將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：b＝﹣2，即可求解；②函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣1，點E（﹣1，2），點B（0，3），作點B關(guān)于x軸的對稱點B′（0，﹣3），連接EB′交x軸于點M，則點M為所求，即可求解；
（3）分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三種情況，分別求解即可．
【詳解】
解：（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝－3，
故點A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0），（0，3）；
故答案為：（﹣3，0），（0，3）；
（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），
將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：，解得：b＝﹣2，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
②函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣1，點E（﹣1，2），點B（0，3），
作點B關(guān)于x軸的對稱點B′（0，﹣3），連接E B′交x軸于點M，則點M為所求，

則直線B′E的表達式為：y＝﹣5x﹣3，
當(dāng)y＝0時，x＝﹣ ，故點；
（3）令y＝﹣x2﹣2x+3中y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴C（1，0）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D（﹣1，4），．
∵B（0，3），，
∴PC2＝（﹣1﹣1）2+（4﹣t）2＝t2﹣8t+20，PB2＝（﹣1）2+（4﹣t﹣3）2＝t2﹣2t+2，BC2＝12+32＝10．
①當(dāng)PC＝PB時，
即t2﹣8t+20＝t2﹣2t+2解得：t＝3；
②當(dāng)BC＝PC時，
同理可得：t＝4±；
③當(dāng)BC＝PB時，
同理可得：t＝4或﹣2（舍去負值）
綜上可知：當(dāng)t為3或4±或4秒時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形．
【點睛】
本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點間的距離公式以及勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點間的距離公式以及勾股定理．
14．如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為D，連接，．

（1）求拋物線的表達式；
（2）點E是拋物線的對稱軸上一點，使得最短，求點E的坐標(biāo)；
（3）點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接，．當(dāng)最大時，求點P的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先求出拋物線的對稱軸和點的坐標(biāo)，再求出點關(guān)于對稱軸的對稱點，連接，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，最后求出與對稱軸的交點即可得；
（3）過點作軸的垂線，交于點，設(shè)，再根據(jù)求出與點橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】
解：（1）由題意，將點代入得：，
解得，
則拋物線的表達式為；
（2）將二次函數(shù)化成頂點式為，
則拋物線的對稱軸為直線，
當(dāng)時，，即，
如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，交對稱軸于點，連接，

由對稱性可知，，，
則，
由兩點之間線段最短可知，點即為所求，
設(shè)直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則直線的解析式為，
當(dāng)時，，
故使得最短時，點的坐標(biāo)為；
（3）設(shè)直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則直線的解析式為，
如圖，過點作軸的垂線，交于點，

設(shè)點的坐標(biāo)為，
則點的坐標(biāo)為，，
因此，
，
，
整理得：，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小，
則當(dāng)時，取得最大值，
此時，
故當(dāng)最大時，點的坐標(biāo)為．
【點睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，求出線段EF的最大值及此時E點的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2），E（2，1）；（3）存在，（-1，0）；（4，0）；（）
【分析】
（1）由、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）由、的坐標(biāo)可求得直線的解析式，可設(shè)出點坐標(biāo)，則可表示出點的坐標(biāo)，從而可表示出的長，可表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值及此時點的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出點坐標(biāo)，則可表示出、和的長，分、兩種情況分別得到關(guān)于點坐標(biāo)的方程，可求得點坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1），在拋物線上，則，解得，
拋物線解析式為；
（2）當(dāng)時，即，解得或，
，，

設(shè)直線解析式為，由題意可得，解得，
直線解析式為，
點是線段上的一個動點，
可設(shè)，則，
，
當(dāng)時，有最大值，最大值為2，
此時，
，即為的中點，
綜上所述，當(dāng)運動到的中點時，，此時點坐標(biāo)為．
（3）存在，理由：
，
拋物線對稱軸為直線，
，，且，
，
點在軸上，
可設(shè)，，
，
當(dāng)時，則有點和點關(guān)于軸對稱，此時點坐標(biāo)為 ，；
當(dāng)時，
則有，
∴
∴或
此時點坐標(biāo)為，或（4，0）；
綜上可知存在滿足條件的點，其坐標(biāo)為，；（4，0）；，；
【點睛】
本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識，能熟練應(yīng)用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，拋物線與軸，軸分別交于點，點，三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，點的對應(yīng)點為點，點是否落在拋物線上？說明理由．
（3）為拋物線上直線BC上方的一點，當(dāng)四邊形PCOB面積最大時，求點的坐標(biāo)；
（4）點在拋物線上，連接BC，BD．在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點，滿足？如果存在，請求出點點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）點落在拋物線上，理由見解析；（3）P(,)；（4）(，)．
【分析】
（1）用待定系數(shù)法將點A(?1，0)， C(0，3)代入解析式即可解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點（3，0），代入函數(shù)解析式驗證即可；
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，?x2+2x+3），連接OP， 用x表示出四邊形PCOB面積，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出當(dāng)四邊形PCOB面積最大時，x的值；
（4）先求出點D坐標(biāo)，根據(jù)OB=OC可知∠DCB=∠OCB=45°，由此得出，從而得出直線BP解析式，進而由直線BP與拋物線交點求出點P坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）將點， 代入拋物線得，
，
解得： ，
∴拋物線的解析式為，
（2）將繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，點（3，0）的對應(yīng)點為點，則點（3，0），
當(dāng)x=3時，，
∴點落在拋物線上；
（3）連接OP，設(shè)點的坐標(biāo)為(x， )，

∵
∴，
當(dāng)，，即點的坐標(biāo)為(，)，
（4）如圖：

∵點在拋物線上，
∴，
∵點，
∴，
又∵點B坐標(biāo)為（0，3），點，
∴
∴，
∴
設(shè)PB與y軸交于點，
在和中，
，
∴（ASA）
∴，
∴
即點
所以直線解析式為，
聯(lián)立拋物線與直線解析式得：
，
解得： ，（不合題意舍去）
故點P坐標(biāo)為（，）
【點睛】
本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)以及函數(shù)圖像交點的求法，解第（3）問時需函數(shù)的思想表示出四邊形面積，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解，解第（4）問時需要運用全等三角形構(gòu)造相等的角解決問題．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標(biāo)為，該拋物線與BE交于另一點F，連接BC．

（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；
（2）動點M從點D出發(fā)，沿拋物線對稱軸方向向下以每秒1個單位的速度運動，運動時間為t，連接OM，BM，當(dāng)t為何值時，為等腰三角形?
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在點P，使得被BA平分?若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）點A（1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）當(dāng)t=或t=時，為等腰三角形；（3）存在點P，使得被BA平分；點P（，）．
【分析】
（1）令x=0，求得y值，得到點C的坐標(biāo)；令y=0，得到一元二次方程，求得A，B坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即可；
（2）分MO=MB，OM=OB，OB=BM三種情形，運用勾股定理，計算即可；
（3）運用等腰三角形三線合一性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可．
【詳解】
（1）∵拋物線，
令y=0，得，
解得，
∴點A（1，0），B（3，0）；
令x=0，得，
∴點C（0，3）；
（2）∵拋物線，
∴點D（2，-1），
∵B（3，0），
∴OB=3；
∵△OBM是等腰三角形，
當(dāng)MO=MB時，∴點M在線段OB的垂直平分線上，
∵點M在拋物線的對稱軸上即在線段AB的垂直平分線上，矛盾，
此情形不成立；
當(dāng)MO=OB=3時，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點G，則點G（2，0），
∴OG=2；
在Rt△MOG中，MG==,
∴點M（2，），
∵點D（2，-1），
∴DM=-1-（）=，
∴t==；
當(dāng)BM=OB=3時，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點G，則點G（2，0），
∴BG=3-2=1；
在Rt△MBG中，MG==，
∴點M（2，），

∵點D（2，-1），
∴DM=-1-（）=，
∴t==；
∴當(dāng)t=或t=時，為等腰三角形；
（3）存在點P，使得被BA平分；理由如下：

在y軸的負半軸上取一點N，使得OE=ON，連接BN，
∵OB=OB，∠BOE=∠BON=90°，
∴△BOE≌△BON
∴∠OBE=∠OBN，
∵點E的坐標(biāo)為，
∴點N的坐標(biāo)為，
設(shè)直線BN的解析式為y=kx，
把B（3，0）代入解析式，得0=3k，
解得k=，
∴直線BN的解析式為y=x，
∴x=，
解得，
∴存在點P，使得被BA平分，
此時點P（，）．
【點睛】
本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的全等，一次函數(shù)解析式的確定，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活準(zhǔn)確解一元二次方程，分類思想是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、在拋物線上，點為該拋物線上一點，其橫坐標(biāo)為．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱時，求的面積；
（3）當(dāng)該拋物線在點與點之間部分（含點和點）的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為3時，求的值；
（4）點為該拋物線的對稱軸上任意一點，當(dāng)以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）15；（3）或；（4）或或．
【分析】
（1）把、代入中，解出b、c即可得出拋物線解析式；
（2）由（1）求出的拋物線解析式可得出對稱軸，點P與點A關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱即可知AP長度為點A到對稱軸距離的兩倍，從而得出三角形的底，點B到AP的距離為高，即可求出；
（3）將拋物線化為頂點式，分類討論P在對稱軸右邊和左邊的情況，根據(jù)最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為3，確定P的縱坐標(biāo)，代入拋物線方程即可得出P點坐標(biāo)；
（4）如圖所示，分別根據(jù)為對角線分類討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及中點公式即可求得m的值，進而求得P點的坐標(biāo)．
【詳解】
（1）由題意，得
解得
∴該拋物線的解析式為．
（2）∵拋物線的對稱軸為直線，
，
．
（3）將配方，得，
當(dāng)點在對稱軸的右側(cè)時，
當(dāng)時，，
，
解得，（舍去）；
當(dāng)點在對稱軸左側(cè)時，
當(dāng)時，，
，解得（舍去），．
綜上所述，或．
（4）①當(dāng)為對角線時，如圖，

四邊形是平行四邊形
交于同一點，

則
解得：，
在拋物線上

點的坐標(biāo)為．
②當(dāng)為對角線時，如圖，



解得
在拋物線上


③當(dāng)為對角線時，如圖



解得
在拋物線上


綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．
19．如圖1，拋物線與軸交于A，B（3，0）兩點，與軸交于C（0，-2），直線AD交軸于點E，與拋物線交于A，D兩點，點P是直線AD下方拋物線上一點（不與A，D重合）.

（1）求拋物線的解析式與直線AD的解析式；
（2）如圖1，過點P作PN∥軸交直線AD于點N，求線段PN的最大值；
（3）如圖2，連接AP，DP，是否存在點P，使得三角形APD的面積等于2，若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），；（2）PN有最大值為；（3）存在，,．
【分析】
（1）把B（3，0），C（0，-2）分別代入中，解方程組可得解，求出點A坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式為，把A(-1，0)，E(0，)分別代入中求解即可；
（2）設(shè)（），得到N（），由兩點間的距離公式得到關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）聯(lián)立方程組求出點D坐標(biāo)，依據(jù)三角形面積公式得出方程，求解方程即可．
【詳解】
解：（1）把B（3，0），C（0，-2）分別代入中

解得：
∴拋物線的解析式為
令，則
解得：
∴A(-1，0)
設(shè)直線AD的解析式為
把A(-1，0)，E(0，)分別代入中，得

解得：
∴直線AD的解析式為
（2）設(shè)P（）
∴N（）
∴PN=-=
∵
∴PN有最大值
PN有最大值==
（3）存在
聯(lián)立方程組得， 解得：，
∴D（2，-2）
由（2）可知：PN=
∴
=
=
=
=
∵
∴ 解得：
∴，．
【點睛】
考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，兩點間的距離公式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)最值的求法等知識點，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
20．如圖1，拋物線，頂點為P（1，4），與x軸的負半軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點N是拋物線上一點，若∠ABN＝45°，求點N的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿對稱軸向下平移m個單位長度后得到新的拋物線，C，D是新拋物線在第一象限內(nèi)互不重合的兩點，CE⊥x軸，DF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，若存在這樣的點C，D，滿足△CEO≌△OFD，求m的取值范圍．

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）N(4，－5)；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可得答案；
（2）如圖，過點A作GA⊥AB交BN于點G，過點G作GH⊥x軸，垂足為點H，可得△ABG是等腰直角三角形，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠ABO＝∠HAG，利用AAS可證明△ABO≌△GAH(AAS)，GH＝AO，AH＝BO，根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A、B兩點坐標(biāo)，可得GH、AH的長，即可得出點C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BN的解析式，聯(lián)立拋物線與直線BN的解析式，解方程組即可得點N坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平移規(guī)律可得平移后的拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3－m，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE＝DF，OF＝CE，設(shè)點C（p，q），則點D的坐標(biāo)為（q，p），把C、D坐標(biāo)代入新解析式，整理可得q＝3－p，由p＞0，q＞0，p≠q可得0＜p＜3且，由配方可得m，求出0＜p＜3時的最大值及最小值即可得答案．
【詳解】
（1）∵拋物線頂點為P（1，4），
∴
∵a≠0，
∴a＝－1，b＝2，
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．
（2）如圖，過點A作GA⊥AB交BN于點G，過點G作GH⊥x軸，垂足為點H，
∵GA⊥AB，GH⊥x軸，
∴∠BAG＝90°，∠GHA＝90°，
∵∠ABN＝45°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AB＝AG，
∵∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠HAG＝90°，
∴∠ABO＝∠HAG，
∴在△ABO和△GAH中，，
∴△ABO≌△GAH(AAS)，
∴GH＝AO，AH＝BO
令y＝0時，即－x2＋2x＋3＝0，
解得：，，
∴A（－1，0），
當(dāng)x=0時，y=3，
∴B(0，3)，
∴GH＝AO＝1，AH＝BO＝3，
∴G(2，－1)，
設(shè)直線BN的解析式為y＝kx＋n，圖象經(jīng)過B（0，3），G（2，－1），
∴，解得：，
∴直線BN的解析式為，
聯(lián)立拋物線與直線BN的解析式得：，
解得：或

∴N(4，－5)．
（3）∵將原拋物線沿對稱軸向下平移m個單位長度后得到新的拋物線，
∴設(shè)新拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3－m，
∵△CEO≌△DOF，
∴OE＝DF，OF＝CE，
∴設(shè)點C（p，q），則點D的坐標(biāo)為（q，p），
將點C，D的坐標(biāo)代入拋物線表達式得

由①－②并整理得：(p－q)(p＋q－3)＝0，
由題意得：p≠q，
∴p＋q－3＝0
即q＝3－p，
∵p≠q，
∴，
∵p＞0，q＞0，
∴q＝3－p＞0，
∴0＜p＜3且，
由①得：，得

∵－1＜0，
∴該拋物線開口向下，
當(dāng)時，m最大值為，
當(dāng)p＝3或0時，m最小值為0，
∵0＜p＜3且，
∴．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移、二次函數(shù)的最值及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
21．如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（2，0），B（4，0），D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，若H為射線DA與y軸的交點，N為射線AB上一點，設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，△DHN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若N與B重合，G為線段DH上一點，過G作y軸的平行線交拋物線于F，連接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F點的坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝?x2＋6x?8；（2）S＝x?3；（3）F（1，-3）
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖1中，連接OD，根據(jù)S＝S△OND＋S△ONH?S△OHD計算即可．
（3）如圖2中，延長FG交OB于M，只要證明△MAF≌△MGB，得FM＝BM．設(shè)M（m，0），列出方程即可解決問題．
【詳解】
解：（1）拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（2，0），B（4，0），
代入得，解得，
∴拋物線解析式為y＝?x2＋6x?8；
（2）如圖1中，連接OD．
∵y＝?x2＋6x?8=?（x-3）2＋1
∴頂點D坐標(biāo)（3，1），
∵A（2，0）
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得 解得
∴直線AD的解析式為y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，?2）．

∵設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，
∴△DHN的面積S＝S△OND＋S△ONH?S△OHD＝×t×1＋×t×2?×2×3＝t?3．
∴S＝x?3；
（3）如圖2中，延長FG交OB于M．

∵H（0，?2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FMOH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵，∴△MAF≌△MGB，
∴FM＝BM．設(shè)M（m，0），
∴?（?m2＋6m?8）＝4?m，
解得m＝1或4（舍棄），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，
∴F（1，-3）．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求面積．學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
22．已知：拋物線l1：y=—x2+bx+3交x軸于點A、B，（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，其對稱軸為直線x=1，拋物線l2經(jīng)過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，）
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）為直線上一動點，連接，，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；
（3）為拋物線上一動點，過點作直線軸，交拋物線于點，求點自點運動至點的過程中，線段長度的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）12
【分析】
（1）由對稱軸可求得，可求得的解析式，令可求得點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得的表達式；
（2）設(shè)點坐標(biāo)為，由勾股定理可表示出和，由條件可得到關(guān)于的方程可求得，可求得點坐標(biāo)；
（3）可分別設(shè)出、的坐標(biāo)，可表示出，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值．
【詳解】
解：（1）拋物線的對稱軸為，
，解得，
拋物線的解析式為，
令，可得，解得或，
點坐標(biāo)為，
拋物線經(jīng)過點、兩點，
可設(shè)拋物線解析式為，
又拋物線交軸于點，
，解得，
，
拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）設(shè)點坐標(biāo)為，由（1）可得點坐標(biāo)為，
，，
，
，解得，
點坐標(biāo)為；
（3）由題意可設(shè)，
軸，
，
令，可解得或，
①當(dāng)時，，
顯然，當(dāng)時，有最大值；
②當(dāng)時，，
顯然當(dāng)時，隨的增大而增大，
當(dāng)時，有最大值，；
綜上可知在點自點運動至點的過程中，線段長度的最大值為12．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識點，在（1）中求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用點的坐標(biāo)分別表示出、是解題的關(guān)鍵，在（3）中用、的坐標(biāo)分別表示出的長是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AB的函數(shù)解析式為　 　，點M的坐標(biāo)為　 　，連接OC，若過點O的直線交線段AC于點P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點P的坐標(biāo)為　 ??；
（3）在y軸上找一點Q，使得△AMQ的周長最小，則點Q的坐標(biāo)為 ；
（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）yx2+2x；（2）y＝x+4，（﹣2，﹣2），（﹣2，2）或（0，4）；（3）Q（0，）；（4）存在，點N的坐標(biāo)為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
【分析】
（1）將點、點的坐標(biāo)代入拋物線表達式即可求解；
（2）由點A（-4，0），，得出點（0，4），即可求出直線的表達式，點為拋物線的頂點，由拋物線的頂點坐標(biāo)即可求出點的坐標(biāo)，因為將的面積分成1：2的兩部分，所以APAC或AC，即可求出點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)將軍飲馬問題即可求出點的坐標(biāo)；
（4）分是邊、是對角線兩種情況分別求解即可．
【詳解】
解：（1）將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達式
，解得，
故直線AB的表達式為：yx2+2x；
（2）點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4），
由點A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達式為：y＝x+4；
對于yx2+2x，函數(shù)的對稱軸為x＝﹣2，故點M（﹣2，﹣2）；
OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則APAC或AC，
則，即，解得：yP＝2或4，
故點P（﹣2，2）或（0，4）；
（3）如圖所示，作點關(guān)于軸的對稱點，連接與軸交于點，連接、、

△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
點A′（4，0），
設(shè)直線A′M的表達式為：y＝kx+b，則，解得，
故直線A′M的表達式為：yx，
令x＝0，則y，故點Q（0，）；
（4）存在，理由：
設(shè)點N（m，n），而點A、C、O的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①當(dāng)AC是邊時，
點A向右平移6個單位向上平移6個單位得到點C，同樣點O（N）右平移6個單位向上平移6個單位得到點N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故點N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②當(dāng)AC是對角線時，
由中點公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故點N（﹣2，6）；
綜上，點N的坐標(biāo)為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用，涉及一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、以及面積的相關(guān)計算，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
24．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點(2，﹣3)和(1，﹣)，與x軸從左至右分別交于點A，B，點M為拋物線的頂點．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點P，使得PAC的周長最??？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（3）連接BM，若點Q為線段OB上的一動點（Q不與點B、點O重合），過點Q作x軸的垂線交線段BM于點N，當(dāng)點Q以1個單位/s的速度從點B向點O運動時，設(shè)運動時間為t，四邊形OCNQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量t的取值范圍，并求出S的最值．
（4）若點R在拋物線上，且以點R、C、B為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點R的坐標(biāo)（不需要計算過程）．

【答案】（1）；（2）存在，；（3）；；（4），
【分析】
（1）用待定系數(shù)法，將代入中，解方程組即可；
（2）過點C作關(guān)于對稱軸的對稱點,連接交對稱軸于點P，此時的周長最小，求出直線的解析式，因為點P在對稱軸上，可以知道點P橫坐標(biāo)，代入直線的解析式中即可求得縱坐標(biāo)；
（3）用t表示出線段QN、OQ的長度，由面積公式代入計算即可知道S和t的函數(shù)關(guān)系式，將關(guān)系式配成頂點式，判斷即可求得S的最值；
（4）分和兩種情況，畫出相關(guān)圖形，設(shè)出點R的坐標(biāo)，利用兩點之間距離公式列式計算即可，
【詳解】
解：（1）將代入中，得： 解得：
∴二次函數(shù)的解析式為：
（2）存在點P使得的周長最小,此時，理由如下：
∵點A、點B是拋物線與x軸的交點
∴當(dāng)時，
即： 解得：
∵A在B的左邊
∴
∵點C是拋物線與y軸的交點
∴當(dāng)時，
∴
又∵
∴拋物線的對稱軸為：
過點C作關(guān)于對稱軸的對稱點,連接交對稱軸于點P，此時的周長最小，如圖1：

∵點C與點關(guān)于對稱軸對稱
∴
設(shè)直線的解析式為，將代入得：
解得：
∴直線的解析式為：
∵點P在上
∴
∴
∴
（3）如圖2：

∵點M是拋物線的頂點，且
∴
設(shè)直線BM的解析式為：，將，代入得：，解得：
∴直線BM的解析式為：
∵有題意知：，且軸
∴
∴
∴
又∵
∴
∴


∵點Q為線段OB上的一動點（Q不與點B、點O重合）
∴
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系為：
∵
∴S有最大值
又∵
∴當(dāng)時，S取得最大值
（4）據(jù)題意，作圖如下：

設(shè)點
在中，
當(dāng)時，在中，由勾股定理知：
即：
化簡得：

解得：（舍），
∴
當(dāng)時，
化簡得：

解得：（舍），
∴
綜上所述，滿足題意的R點有兩個，分別是和
【點睛】
本題考查二次函數(shù)圖象上點的存在性問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)一般式化成頂點式，判斷開口方向求最值等知識點，能夠數(shù)形結(jié)合解題是本題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是線段上的點（不與，重合），過作軸交拋物線于點，若點的橫坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示的長；
（3）在（2）的條件下，連接，，當(dāng)為何值時，的面積最大．

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，的面積最大，最大值為
【分析】
（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，已知點的橫坐標(biāo)，代入直線、拋物線的解析式中，可得到、點的坐標(biāo)，、縱坐標(biāo)的差即為的長；
（3）設(shè)交軸于，那么的面積可表示為，的表達式在（2）中已求得，的長易知，由此列出關(guān)于、的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵拋物線經(jīng)過點，，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點，
∴，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得，
解得，
故直線的解析式為，
∵點的橫坐標(biāo)為，軸，
∴、，

即：；
（3）如圖，由（2）知，．


，

，
當(dāng)時，的面積最大，最大值為．

【點睛】
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及圖形面積的解法，確定出的函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．
26．如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)（1，-4）交軸于A、B兩點，與軸交于C（0，-3），若拋物線上有一點D，．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸上一點P，連結(jié)PA、PC、AC，△PAC周長最短時，點P的坐標(biāo)；
（3）求點D的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)題意列出二次函數(shù)的頂點式解析式，再代入C（0，-3）解得，據(jù)此解題；
（2）由拋物線的對稱性解得△PAC周長最短時，就是PB+PC最短，由此解得直線BC的解析式，求得直線BC與對稱軸的交點即可求解；
（3）設(shè)CD交x軸于點E，過點E作EF，由題意可知是等腰直角三角形，繼而證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例解得EF、AE的長，可得點E的坐標(biāo)，進一步解得直線CE的解析式，再聯(lián)立解得交點D的坐標(biāo)即可．
【詳解】
解：（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)解析式為，把C（0，-3）代入得，

；
（2）△PAC周長最短時，即PA+PC最短，根據(jù)拋物線的對稱性，
PA+PC=PB+PC，即當(dāng)PB+PC最短時，△PAC周長最短，此時點B、P、C三點共線，
連接BC交拋物線對稱軸于點P，
令，



設(shè)直線BC的解析式為，代入得，

當(dāng)時，


（3）如圖，

設(shè)CD交x軸于點E，過點E作EF，

是等腰直角三角形，








設(shè)直線CE的解析式為：，代入點C、E得，



聯(lián)立得
整理得


當(dāng)時，
．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，有難度，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵．
27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，與軸交于點與軸交于點、．且點，，點為拋物線上的一動點．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，過點作平行于軸，交拋物線于點，若點在的上方，作平行于軸交于點，連接，，當(dāng)時，求點坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與交于點，點在直線上，當(dāng)以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2），；（3），，，
【分析】
（1）直接將，代入，求解即可；
（2）先求出AB的解析式，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，，用t表示出PD，最后利用求出結(jié)果；
（3）分三種情況討論解答：①當(dāng)EM為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)EP為對角線時；③當(dāng)EQ為對角線時．
【詳解】
（1）將點，分別代入得
，，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）軸，點，
當(dāng)時，，
，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，將，分別代入得
，解得：，
直線的解析式為；
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，
，
，

函數(shù)，當(dāng)時，有，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得：，，
點，；
（3）∵，
∴當(dāng)x=2時，y=-2+5=3，
∴M(2,3),
設(shè)P(m，，，而E(-1，0)，
①當(dāng)EM為平行四邊形的對角線時，(平行四邊形的對角線互相平分)得：
，解得 (舍)，
∴點Q的坐標(biāo)為（-5,10）；
②當(dāng)EP為對角線時，
，解得，
∴點Q的坐標(biāo)為（-1,6）或（0,5）；
③當(dāng)EQ為對角線時，
，解得（舍），
點Q的坐標(biāo)為（9,-4），
綜上所得：，，，．

【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是分類思想的運用．
28．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，頂點的坐標(biāo)為．

求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；
點是直線上的一個動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點，當(dāng)點在第一象限時，求線段長度的最大值；
在拋物線上是否存在異于、的點，使中邊上的高為？若存在求出點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．
【答案】； 有最大值； 存在滿足條件的點，其坐標(biāo)為或
【分析】
可設(shè)拋物線解析式為頂點式，由點坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；
設(shè)出點坐標(biāo)，從而可表示出的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
過作軸，交于點，過和于，可設(shè)出點坐標(biāo)，表示出的長度，由條件可證得為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于點坐標(biāo)的方程，可求得點坐標(biāo)．
【詳解】
解：拋物線的頂點的坐標(biāo)為，
可設(shè)拋物線解析式為，
點在該拋物線的圖象上，
，解得，
拋物線解析式為，即，
點在軸上，令可得，
點坐標(biāo)為，
可設(shè)直線解析式為，
把點坐標(biāo)代入可得，解得，
直線解析式為；
設(shè)點橫坐標(biāo)為，則，，
，
當(dāng)時，有最大值；
如圖，過作軸交于點，交軸于點，作于，

設(shè)，則，
，
是等腰直角三角形，
，
，
當(dāng)中邊上的高為時，即，
，
，
當(dāng)時，，方程無實數(shù)根，
當(dāng)時，解得或，
或，
綜上可知存在滿足條件的點，其坐標(biāo)為或．
【點睛】
本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識．在中主要是待定系數(shù)法的考查，注意拋物線頂點式的應(yīng)用，在中用點坐標(biāo)表示出的長是解題的關(guān)鍵，在中構(gòu)造等腰直角三角形求得的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
29．如圖，拋物線的頂點為E（﹣1，4），且過點A（﹣3，0），與y軸交于點C，點D是這條拋物線上一點，它的橫坐標(biāo)為m，且﹣3＜m＜﹣1，過點D作DK⊥x軸，垂足為K，DK分別交線段AE，AC于點G，H．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：GH＝HK；
（3）當(dāng)△CGH是等腰三角形時，直接寫出m的值．

【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）m的值為或．
【分析】
（1）設(shè)拋物線的解析式為，將點A的坐標(biāo)代入求得a的值即可確定拋物線的解析式；
（2）先求得直線AE、AC的解析式，由點D的橫坐標(biāo)為m，求得KG、KH的長，即可證明；
（3）根據(jù)題意可分為三種情況，依據(jù)兩點間的距離公式列方程求解即可．
【詳解】
解：（1）∵拋物線的頂點為（-1，4），
∴設(shè)拋物線的解析式為：
，
∵拋物線過點（-3，0），將其代入解析式為：
，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）設(shè)直線AE的解析式為：，
將點（-3，0），點（-1，4）代入解析式：
，
解得：，
直線AE的解析式為：，
設(shè)直線AC的解析式為：，
拋物線的解析式為：化簡得：，
當(dāng)時，，
∴點C的坐標(biāo)為：，
將點（-3，0），點C（0，3）代入解析式：
，
解得：，
直線AC的解析式為：，
∵D的橫坐標(biāo)為m，DK⊥x軸，
代入AE的解析式為：，
代入AC的解析式為：，
∴，，
∴，
∴；
（3）由（2）可知：C（0，3），，，
①若，則
，
整理得：，化簡為：，
解得：，，
∵，
∴這種情況不存在；
②若，則
，
整理得：，
解得：（舍去），；
③若，則
，
整理得：，
解得：，（舍去）；
綜上可得：當(dāng)為等腰三角形時，m的值為或．
【點睛】
題目主要考查二次函數(shù)的綜合運用，包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定、兩點間的距離公式的應(yīng)用，依據(jù)兩點間的距離公式列出方程是解題關(guān)鍵．
30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），交y軸于點C．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）若點M是該二次函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)一點，且S△BCM＝3，求點M的坐標(biāo)；
（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在一點P使△BCP是以BC為底邊的等腰三角形，若不存在，請說明理由，若存在，請求出點P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（1，4）或（2，3）；（3）存在，或．
【分析】
（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）如圖，連接OM，設(shè)點M（m，﹣m2+2m+3），利用S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC，可得S△BCM＝3，建立方程求解即可；
（3）根據(jù)△BCP是以BC為底邊的等腰三角形，可得點P在BC的垂直平分線上，求出BC的中點D（，），利用待定系數(shù)法求得直線OD的解析式為y＝x，聯(lián)立方程組求解即可．
【詳解】
解：（1）把點A（﹣1，0），B（3，0）分別代入y＝﹣x2+bx+c，
得：．
解得：，
∴此二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖，連接OM，設(shè)點M（m，﹣m2+2m+3），

在y＝﹣x2+2x+3中，當(dāng)x＝0時，
∴點C的坐標(biāo)為（0，3），
∴S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，
∵S△BCM＝3，

解得：m1＝1，m2＝2，
∴點m的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；
（3）如圖，作BC的垂直平分線，交拋物線于點，與交于點,則是以為底的等腰三角形，

∵B（3，0），，
∴OB＝OC＝3，
∴BC的中點D，
則直線OD垂直平分BC，
設(shè)直線OD的解析式為y＝kx，將代入
得：
∴k＝1，
∴直線OD的解析式為y＝x，
聯(lián)立方程組，得：，
解得：，；
∴點P的坐標(biāo)為或．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合-面積問題，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
31．如圖，點是y軸正半軸上的點，點A的坐標(biāo)為，以AC為邊作等腰直角三角形ABC，其中，，，以點B為頂點的拋物線經(jīng)過點A且和x軸交于另一點D，交y軸于點E．

（1）點B的坐標(biāo)為_____________；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式；
（3）在第一象限的拋物線上是否存在點P，使得？若存在求點P的坐標(biāo)，不存在則說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，點P的坐標(biāo)為或．設(shè)，根據(jù)列出方程，即可求解．
【分析】
（1）作垂足為F，先證明，進而即可求解；
（2）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把代入求出a的值，進而即可求解；
（3）先求出，再求出直線AC的表達式為：，
【詳解】
（1）作垂足為F，
∵，
∴∠ACO+∠BCF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCF=∠OAC，
又∵∠AOC=∠CBF=90°，，
∴，
∴，，
∴，所以點B的坐標(biāo)為；

（2）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，
由題意得：，解得：。
所以拋物線的函數(shù)表達式為即；
（3）由對稱性得，易知，
所以，
設(shè)直線AC的表達式為：，
由題意得：，解得，，
所以直線AC的表達式為：；
如圖，假設(shè)存在點P，設(shè)．作軸交AC于Q，則．

所以，，
所以，，
所以，，整理得：，
解得：，
當(dāng)時，，
此時點P坐標(biāo)為
當(dāng)時，，此時點P坐標(biāo)為
綜上所述，AC上方拋物線上存在點P，使得，點P的坐標(biāo)為或．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法以及函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．


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