【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 我要進(jìn)一步理解二元一次方程和一次函數(shù)的聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)之間的普遍聯(lián)系和知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化。
2. 我要了解待定系數(shù)法，會(huì)用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式。
3. 我會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)思考實(shí)際問題，將其轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的問題來解決，體會(huì)方程思想與轉(zhuǎn)化思想。
【學(xué)習(xí)過程】
1．二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系
若k，b表示常數(shù)且k≠0，則y-kx＝b為二元一次方程，有無數(shù)個(gè)解；將其變形可得y＝kx＋b，將x，y看作自變量、因變量，則y＝kx＋b是一次函數(shù)．事實(shí)上，以方程y-kx＝b的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象相同．
例1
（1）方程x＋y＝5的解有多少個(gè)？寫出其中的幾個(gè)．
（2）在直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們?cè)谝淮魏瘮?shù)y＝5-x的圖象上嗎？
（3）在一次函數(shù)y＝5-x的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合x＋y＝5嗎？
（4）以方程x＋y＝5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)所組成的圖象與一次函數(shù)y＝5-x的圖象相同嗎？
分析：方程x＋y＝5的解有無數(shù)個(gè)，以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y＝5-x的圖象相同，二者是相同的．
解：（1）有無數(shù)個(gè)．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4；))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3；))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2；))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5.))
（2）以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，都在一次函數(shù)y＝5-x的圖象上．
（3）適合．
（4）相同．
2．用圖象法求二元一次方程組的近似解
用圖象法求二元一次方程組的近似解的一般步驟：
（1）先把方程組中兩個(gè)二元一次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象；
（3）寫出這兩條直線的交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，這兩個(gè)數(shù)的值就是二元一次方程組的解中的兩個(gè)數(shù)值，橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y.
例2 用作圖象的方法解方程組：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3， ①,x＋2y＝－3. ②))
分析：先把兩個(gè)方程化成一次函數(shù)的形式；再在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解．
由②，得y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(3,2).
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y＝x－3的圖象l1和一次函數(shù)y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(3,2)的圖象l2，如圖所示．觀察圖象，得l1和l2交點(diǎn)的坐標(biāo)為M(1，－2)．
故方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,x＋2y＝－3))的解為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2.))
3．利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式
每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．因此一次函數(shù)與二元一次方程組有密切聯(lián)系．
利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式的一般步驟如下：
（1）寫出函數(shù)表達(dá)式：一次函數(shù)y＝kx＋b；
（2）把已知條件代入，得到關(guān)于k，b的方程組；
（3）解方程組，求出k，b的值，寫出其表達(dá)式．
例3 已知一次函數(shù)y＝ax＋2與y＝kx＋b的圖象如圖所示，且方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＝－2，,kx－y＝－b))的解為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，－1)．你能確定兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式嗎？
分析：根據(jù)方程組與一次函數(shù)圖象的關(guān)系，先確定兩圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入表達(dá)式，求出字母a，k，b的值．
解：∵方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＝－2，,kx－y＝－b))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
∴交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)．
∴點(diǎn)A在函數(shù)y＝ax＋2的圖象上，2a＋2＝1．
∴a＝－eq \f(1,2).
∵點(diǎn)A(2,1)，點(diǎn)B(0，－1)在函數(shù)y＝kx＋b圖象上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k＋b＝1，,b＝－1.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－1.))
∴兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－eq \f(1,2)x＋2，y＝x－1．
分析規(guī)律
方程組的解與交點(diǎn)坐標(biāo)
方程組的解就是兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)．
基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能
4．用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式
用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式的方法可歸納為“一設(shè)，二列，三解，四還原”．
具體的說明如下：
一設(shè)：設(shè)出一次函數(shù)表達(dá)式的一般形式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0)；
二列：根據(jù)已知兩點(diǎn)或已知圖象上的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)列出關(guān)于k，b的二元一次方程組；
三解：解這個(gè)方程組，求出k，b的值；
四還原：將已求得的k，b的值再代入y＝kx＋b(k≠0)中，從而得到所要求的一次函數(shù)的表達(dá)式．
確定二元一次方程(組)中字母的取值，是一類常見的題目，解這類問題的基本方法是利用方程(組)的有關(guān)知識(shí)，得到含有字母系數(shù)的方程(組)，然后解這個(gè)方程(組)，求出待定字母．
分析規(guī)律
求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)
解答這類問題要切記，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0.
例4 某出版社出版一種適合中學(xué)生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數(shù)不少于5 000冊(cè)時(shí)，投入的成本與印數(shù)間的相應(yīng)數(shù)據(jù)如下：
（1）經(jīng)過對(duì)上表中數(shù)據(jù)的探究，發(fā)現(xiàn)這種讀物的投入成本y(元)是印數(shù)x(冊(cè))的一次函數(shù)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式(不要求寫出x的取值范圍)；
（2）如果出版社投入成本48 000元，那么能印該讀物多少冊(cè)？
解：（1）設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
由題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5 000k＋b＝28 500，,8 000k＋b＝36 000.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(5,2)，,b＝16 000.))
所以所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq \f(5,2)x＋16 000.
（2）將y＝48 000代入y＝eq \f(5,2)x＋16 000中，得
48 000＝eq \f(5,2)x＋16 000.
解得x＝12800.
所以能印該讀物12800冊(cè)．
【思維拓展】
5．利用數(shù)形結(jié)合法理解二元一次方程組解的三種情況
（1）方程組有唯一一組解：即方程組中的兩個(gè)二元一次方程有唯一公共解，如方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,x＋y＝5))有唯一一組解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))函數(shù)y＝x－3和y＝5－x的圖象是兩條相交的直線，只有一個(gè)交點(diǎn)．
（2）方程組無解：即方程組中的兩個(gè)二元一次方程沒有公共解，如方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,3x＋3y＝5))無解，這類方程組也叫做矛盾方程組．函數(shù)y＝5－x和y＝eq \f(1,3)(5－3x)的圖象是兩條平行直線，無交點(diǎn)．
（3）方程組有無數(shù)組解：即方程組中的兩個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，如方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x＋2y＝4))有無數(shù)組解．函數(shù)y＝2－x和y＝eq \f(1,2)(4－2x)的圖象是同一條直線．
例5 如圖表示兩輛汽車行駛路程與時(shí)間的關(guān)系(汽車B在汽車A后出發(fā))，試回答下列問題：
（1）圖中l(wèi)1，l2分別表示哪一輛汽車的路程與時(shí)間的關(guān)系？
（2）寫出汽車A和汽車B的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，汽車A和汽車B的速度各是多少？
（3）圖中交點(diǎn)是什么意思？
分析：圖中l(wèi)1，l2表示的是一次函數(shù)的圖象．由圖象可知，直線l1經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(3,100)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(3,100)，由待定系數(shù)法求表達(dá)式．
解：（1）l1表示A車的路程與時(shí)間的關(guān)系，l2表示B車的路程與時(shí)間的關(guān)系．
（2）汽車A的函數(shù)關(guān)系式是s＝eq \f(100,3)t，
汽車B的函數(shù)關(guān)系式是s＝100t－200；
汽車A的速度是eq \f(100,3) km/h，汽車B的速度是100 km/h.
（3）汽車A出發(fā)3 h(或汽車B出發(fā)1 h)兩車相遇，此時(shí)兩車行駛路程都是100 km.
印數(shù)x(冊(cè))
5 000
8 000
10 000
15 000
…
成本y(元)
28 500
36 000
41 000
53 500
…

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7 用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式

版本： 北師大版

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