第五章 二元一次方程組
第五章 二元一次方程組
5.7 用二元一次方程組確定 一次函數(shù)表達(dá)式
北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)
回顧與思考
1.二元一次方程組與一次函數(shù)有何聯(lián)系?
二元一次方程組的解是它們對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；反之，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)也是它們所對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解．
2.二元一次方程組有哪些解法？
消元法
圖象法
是一種代數(shù)方法
議一議：A，B 兩地相距 100 千米，甲、乙兩人騎車同時(shí)分別從 A，B 兩地相向而行．假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到 A 地的距離 s(千米)都是騎車時(shí)間 t (時(shí))的一次函數(shù).1 小時(shí)后乙距 A 地 80 千米；2 小時(shí)后甲距 A 地30 千米. 問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇? 說(shuō)出你的方法，并與同學(xué)們交流.
用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式
可以分別作出兩人 s 與 t 之間的關(guān)系圖象，找出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了.
小明
乙
甲
對(duì)于乙，s 是 t 的一次函數(shù)，可設(shè) s = kt+b.當(dāng)t = 0時(shí)，s = 100；當(dāng)t = 1時(shí) s = 80.將它們分別代入 s = kt+b 中，可以求出 k，b 的值，即可以求出乙 中 s 與 t 之間的函數(shù)表達(dá)式.你能求出甲的表達(dá)式嗎？
1 時(shí)后乙距 A 地 80 千米，即乙的速度是 20 千米/時(shí)
2 時(shí)后甲距 A 地 30千米，故甲的速度是 15 千米/時(shí)
設(shè)同時(shí)出發(fā)后 t 小時(shí)相遇，則15t + 20t = 100
交流學(xué)習(xí)
用一元一次方程的方法可以解決問(wèn)題
用圖象法可以解決問(wèn)題
用方程組的方法可以解決問(wèn)題
用作圖象的方法可以直觀地獲得問(wèn)題的結(jié)果，但有時(shí)卻難以準(zhǔn)確，為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，我們一般用代數(shù)方法.
在以上的解題過(guò)程中你受到什么啟發(fā)？
典例精析
例1 某長(zhǎng)途汽車客運(yùn)站規(guī)定，乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，但超過(guò)該質(zhì)量則需購(gòu)買行李票，且行李費(fèi) y（元）是行李質(zhì)量 x（kg）的一次函數(shù)．已知小明帶了 60 kg 的行李，交了行李費(fèi) 5 元；小華帶了 90 kg 的行李，交了行李費(fèi) 10 元． （1）寫出 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式； （2）旅客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李？
解：（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為：y = kx + b（k ≠ 0) . 根據(jù)題意，可得方程組
解得
（2）當(dāng) x = 30 時(shí)，y = 0.
所以旅客最多可免費(fèi)攜帶 30 千克的行李．
像這樣，先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給條件確定表達(dá)式中未知的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.
利用二元一次方程組求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：1.用含字母的系數(shù)設(shè)出一次函數(shù)的表達(dá)式：y = kx + b.2.將已知條件代入上述表達(dá)式中得 k，b 的二元一次方程組.3.解這個(gè)二元一次方程組得 k，b.4.進(jìn)而求出一次函數(shù)的表達(dá)式.
總結(jié)歸納
解方程組得 b = -1.
例2 已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．
解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為 y = kx + b.
3k + b = 5， -4k + b = -9，
∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為


把點(diǎn)（3，5）與（-4，-9）分別代入，得：
k = 2，
y = 2x - 1.

1.已知一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，4)，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式是 ________.2.已知一次函數(shù) y = kx + 5 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，2)，則 k =______.3.已知函數(shù) y = 2x + b 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，7)和(－2，a)，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為____________.
y = －2x
3
y = 2x + 5
練一練
例3 已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式.
解：設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為 y = kx + b (k ≠ 0) ∵一次函數(shù) y = kx + b 的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2）， ∴b = 2 ∵一次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)是( ，0)，則 解得 k = 1或 -1.故此一次函數(shù)的表達(dá)式為y = x + 2 或 y = -x + 2.
1. 如圖，直線 l 是一次函數(shù) y = kx + b 的圖象，填空:　(1)b =______，k =______； (2)當(dāng) x = 30 時(shí)，y =______； (3)當(dāng) y = 30 時(shí)，x =______.
2
-18
-42
l
2.判斷三點(diǎn) A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上．
解：設(shè)過(guò) A，B 兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為 y = kx + b，由題意可知，
∴過(guò) A，B 兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為 y = x - 2．∵當(dāng) x = 4 時(shí)，y = 4 - 2 = 2．∴點(diǎn) C（4，2）在直線 y = x - 2上．∴三點(diǎn) A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上．
3.甲、乙兩工程隊(duì)同時(shí)修筑水渠，且兩隊(duì)所修水渠總長(zhǎng)度相等．右圖是兩隊(duì)所修水渠長(zhǎng)度 y (m)與修筑時(shí)間 x (h)的函數(shù)圖象的一部分．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)直接寫出甲隊(duì)在 0≤x≤5 的時(shí)間段內(nèi)，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 ；(2)直接寫出乙隊(duì)在 2≤x≤5 的時(shí)間段內(nèi)，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 .
y = 10x
y = 20x - 30
4.溫度的度量有兩種：攝氏溫度和華氏溫度.水的沸點(diǎn)溫度是 100℃，用華氏溫度度量為 212℉；水的冰點(diǎn)溫度是 0℃，用華氏溫度度量為 32 ℉.已知攝氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)系，你能不能想出一個(gè)辦法方便地把華氏溫度換算成攝氏溫度？
解：用 C，F(xiàn) 分別表示攝氏溫度與華氏溫度，由于攝氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)系，因此可以設(shè) C = kF + b，
因此攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式為
5.在某個(gè)范圍內(nèi),某產(chǎn)品的購(gòu)買量y(單位:kg)與單價(jià)x(單位:元)之間滿足一次函數(shù),若購(gòu)買1000kg,單價(jià)為800元;若購(gòu)買2000kg,單價(jià)為700元.若一客戶購(gòu)買400kg,單價(jià)是多少?
解:設(shè)購(gòu)買量 y 與單價(jià) x 的函數(shù)表達(dá)式為 y = kx + b，
∵當(dāng) x = 1000 時(shí) y = 800；當(dāng) x = 2000 時(shí) y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
因此，購(gòu)買量 y 與單價(jià) x 的函數(shù)表達(dá)式為 y = -10x + 9000
當(dāng) y = 400 時(shí)，-10x + 9000 = 400，
∴ x = 860.
答:當(dāng)客戶購(gòu)買 400 kg，單價(jià)是 860 元.
｛
利用二元一次方程確定一次函數(shù)表達(dá)式
用含字母的系數(shù)設(shè)出一次函數(shù)的表達(dá)式： y = kx + b
將已知條件代入上述表達(dá)式中得關(guān)于 k，b的二元一次方程組
解這個(gè)二元一次方程組得 k，b

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版本： 北師大版

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