那就是去尋找解決計數(shù)問題的普遍規(guī)律，今天先講兩個規(guī)律。
思考：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？
首先這里要完成的事情是“給一個座位編號”其次是“或”字的出現(xiàn):每個座位可以用一個英文字母或一個阿拉伯數(shù)字編號.由于英文字母、阿拉伯數(shù)字各不相同,因此用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數(shù)字編出的號碼也是各不相同的.
因為英文字母共有26個,阿拉伯數(shù)字0~9共有10個,所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.
探究：你能說說這個問題的特征嗎?
你能舉一些生活中類似的例子嗎?
上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類； (2)分別計算各類號碼的個數(shù)；(3)各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).
一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m+n種不同的方法.
注意：兩類不同方案中方法互不相同
探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？
問題2. 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4 班, 汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?
解析: 從甲地到乙地有3類方法, 第一類方法, 乘火車, 有4種方法;第二類方法, 乘汽車, 有2種方法;第三類方法, 乘輪船, 有3種方法; 所以 從甲地到乙地共有4+2+3= 9種方法。
完成一件事情，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+???+m?種不同的方法.
2）首先要根據(jù)具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數(shù).
1）各類方案之間相互獨立,都能獨立的完成這件事，要計算方法種數(shù),只需將各類方案方法數(shù)相加,因此分類計數(shù)原理又稱加法原理
其特點是各類中的每一個方法都可以完成要做的事情，它強調(diào)的是每一類中的一個方法就可以完成要做的事情．
思考:用前6個大寫英文字母和1~9九個阿拉伯數(shù)字?,以A1, A2,???,B1,B2,???的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個不同的號碼?
分析：這里要完成的事情仍然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同，在前一問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯數(shù)字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼.而在這個問題中,號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數(shù)字組成,得到一個號碼必須經(jīng)過先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯數(shù)字這兩個步驟.用右圖的方法可以列出所有可能的號碼.
右圖是解決計數(shù)間題常用的"樹形圖".請你用樹形圖列出所有可能號碼.
我們還可以這樣來思考: 由于前6個英文字母的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼,而且它們各不相同,因此共有6×9=54個不同的號碼.
上述問題完成的一件事情仍然是“給一個座位編號”,其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn): 一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯數(shù)字構(gòu)成,因此得到一個號碼必須經(jīng)過先確定一個英文字母,后確定一個阿拉伯數(shù)字這兩個步驟.每個英文字母與不同的數(shù)字組成的號碼是互不相同的.
一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.
注意：無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù)。
例2.某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？
分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”， 可以分兩個步驟：第1步，選男住；第2步，選女生.
解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N=30×24=720
第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法，
探究 如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？
如果完成一件事情需要n個步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當如何計數(shù)呢？
完成一件事情，需要分成n個步驟:做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1× m2× …× mn種不同的方法.
2）首先要根據(jù)具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數(shù).
1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理
分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題?. 區(qū)別在于: 分類加法計數(shù)原理: 針對的是"分類"問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事; 分步乘法計數(shù)原理: 針對的是"分步"問題,各個步驟中的方法互相依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事.
解答計數(shù)問題的一般思維過程：
完成一件什么事（第一步：做什么事）
例7. 五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？
1、某教學樓有四個不同的樓梯，3名學生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？
2、有4名同學要爭奪3個比賽的冠軍，冠軍獲得者共有多少可能？
3、四封信投入三個信箱，有多少種投法？
4、某公共汽車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有多少種？
完成一件事要n個不同的步驟；
每一個步驟都不能直接完成該事件，只有完成每個步驟，才能完成這件事。
都是有關(guān)“完成一件事情”的所有不同方法的種數(shù)問題。
分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
思路：第一步：做什么事；第二步：怎么做？
描述分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的詩：
兩大原理妙無窮，解題應(yīng)用各不同；多思慎密最重要，茫茫數(shù)理此中求。
總結(jié)：解決計數(shù)問題第一步做什么事很好知道，就是第二步這件事怎么做很難知道。為了知道這件事怎么做，你可以先列出一種結(jié)果分析出這件事怎么做。
課堂總結(jié) 同學們，怎么做千奇百態(tài)；做什么簡單明白。我們要慢慢積累如何做的經(jīng)驗，在以后的學習中靈活運用，把考題解出。 其實一個人的人生意義也是知道自己做什么事，然后通過怎么做來實現(xiàn)人生理想。但一個人要知道自己這一生該做什么，卻是很不簡單的。有人說：“教育的本質(zhì)，是找到一個人內(nèi)心想成為的樣子，然后幫助他成長為那個樣子。” 所以不管是當官還是當校長還是普通老師，只要他是幸福的完整的人，那他就知道自己這一生該做什么事，也在努力的尋找此事該如何做，且也努力的完成此事。 比如我就覺得教書很有意思。我的人生使命就是認真教書再寫寫書，然后開創(chuàng)一個教學流派。

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6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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