1. 理解配套問題、工程問題的背景.2. 分清有關(guān)數(shù)量關(guān)系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關(guān)系列方程解決問題. 3. 掌握用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程.
小學(xué)我們學(xué)過工程問題，請(qǐng)回答下列問題：
1. 一項(xiàng)工作甲單獨(dú)做需要5天完成，乙單獨(dú)做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，兩人合作3天完成的工作量是_________，此時(shí)剩余的工作量是_____.
2. 一項(xiàng)工作甲單獨(dú)做需要a天完成，乙單獨(dú)做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，兩人合作3天完成的工作量是_________，此時(shí)剩余的工作量是_________.
工作量、工作時(shí)間、工作效率的關(guān)系：1. 工作量=___________ × ____________；
2. 工作時(shí)間=___________÷____________；
3. 工作效率=___________÷____________.
為簡便起見，通常設(shè)總工作量為“1”.
2. 如果工程為多方合作完成，則合作完成時(shí)的工作效率是各方的工作效率相加.
1. 如果已知工作時(shí)間，那么“時(shí)間的倒數(shù)”就是工作效率.
從前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)可以看出，方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學(xué)工具. 從本節(jié)課開始，我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)如何用一元一次方程解決實(shí)際問題. 生活中，有很多需要進(jìn)行配套的問題，如課桌和凳子、螺釘和螺母、電扇葉片和電機(jī)等，大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？
例1：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1 200個(gè)螺釘或2 000個(gè)螺母. 1個(gè)螺釘需要配 2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？
想一想：本題需要我們解決的問題是什么？題目中哪些信息能解決人員安排的問題？螺母和螺釘?shù)臄?shù)量關(guān)系如何？
螺母總產(chǎn)量是螺釘?shù)?倍
等量關(guān)系：螺母總量=螺釘總量×2
解：設(shè)應(yīng)安排 x 名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母. 依題意，得 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 所以 22－x＝12. 答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.
解：設(shè)應(yīng)安排 x 名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.依題意，得
解方程，得 x＝10. 所以2－x＝12.
生產(chǎn)調(diào)配問題通常從調(diào)配后各量之間的倍、分關(guān)系尋找相等關(guān)系，建立方程. 解決配套問題的思路：1. 利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關(guān)系作為列方程的依據(jù)；2. 利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).
1. 如圖，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，求白皮，黑皮各多少塊？
分析：由圖可得，一塊白皮（六邊形）中，有三邊與黑皮（五邊形）相連，因此白皮邊數(shù)是黑皮邊數(shù)的2倍．
等量關(guān)系：白皮邊數(shù)=黑皮邊數(shù)×2
解：設(shè)足球上黑皮有x塊，則白皮為(32-x)塊，五邊形的邊數(shù)共有5x條，六邊形邊數(shù)有6(32-x)條．依題意,得 2×5x=6（32-x）,解得x=12，則32-x=20.答：白皮20塊，黑皮12塊.
2. 一套儀器由一個(gè) A 部件和三個(gè) B 部件構(gòu)成. 用1 立方米鋼材可做 40 個(gè) A 部件或 240 個(gè) B 部件. 現(xiàn)要用 6 立方米鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做 A 部件，多少鋼材做B部件，才能恰好配成這種儀器？共配成多少套？分析：由題意知 B 部件的數(shù)量是 A 部件數(shù)量的 3 倍，可根據(jù)這一等量關(guān)系式得到方程.
解：設(shè)應(yīng)用 x 立方米鋼材做 A 部件，則應(yīng)用(6－x)立方米做 B 部件. 根據(jù)題意，列方程： 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 則 6－x = 2. 共配成儀器：4×40=160 (套).
答：應(yīng)用 4 立方米鋼材做 A 部件， 2 立方米鋼材做 B 部件，共配成儀器 160 套.
如果把總工作量設(shè)為1，則人均效率 (一個(gè)人 1 h 完成的工作量) 為 ，x人先做 4h 完成的工作量為 ，增加 2 人后再做 8h 完成的工作量為 ，這兩個(gè)工作量之和等于 .
例2： 整理一批圖書，由一個(gè)人做要 40 h 完成. 現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做 4 h，然后增加 2人與他們一起做8 h，完成這項(xiàng)工作. 假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？
分析：在工程問題中：工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；工作總量=各部分工作量之和.
如果設(shè)先安排 x人做4 h，你能列出方程嗎？
解：設(shè)先安排 x 人做4 h，根據(jù)題意得等量關(guān)系： 可列方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：應(yīng)先安排 2人做4 小時(shí).
1. 分析例2這類的“工程問題”時(shí)，要注意哪些要點(diǎn)？2. 列一元一次方程解決實(shí)際問題，其基本步驟有哪些？3. 嘗試解決如下的例2變式問題，將你的思路與同伴交流.
1. 加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)．問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？
解：設(shè)乙需工作x天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)，則甲做了（12-x）天.
解得 x=8.
答：乙需工作8天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù).
想一想：若要求二人在8天內(nèi)完成任務(wù)，乙先加工幾天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任務(wù)？
解：設(shè)甲加工x天，兩人如期完成任務(wù)，則在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天.
解得x=4，則8-x=4.
答：乙需加工4天后，甲加入合作加工才可正好按期完成任務(wù).
2. 有一批零件加工任務(wù)，甲單獨(dú)做需要40h完成，乙單獨(dú)做需要30h完成. 甲做了幾小時(shí)后，因另有緊急任務(wù)離開，剩下的任務(wù)由乙單獨(dú)完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了幾小時(shí)？
依題意，得 . 解方程，得 x＝16. 答：甲做了16小時(shí).
解：設(shè)甲做了x h.
解決工程問題的基本思路：1. 三個(gè)基本量：工作量、工作效率、工作時(shí)間. 它們之間的關(guān)系是：工作量=工作效率×工作時(shí)間.2. 相等關(guān)系：工作總量=各部分工作量之和. (1) 按工作時(shí)間，工作總量=各時(shí)間段的工作量之和； (2) 按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.3. 通常在沒有具體數(shù)值的情況下，把工作總量看作1.
1. 一條地下管線由甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要12天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要24天. 如果由這兩個(gè)工程隊(duì)從兩端同時(shí)施工，要多少天可以鋪好這條管線？
解方程，得 x = 8.
答：要8天可以鋪好這條管線.
解：設(shè)要 x 天可以鋪好這條管線，由題意得：
2. 收割一塊水稻田，若每小時(shí)收割4畝，預(yù)計(jì)若干小時(shí)完成，收割 后，改用新式農(nóng)機(jī)，工作效率提高到原來的 倍，因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提早1小時(shí)完成. 求這塊水稻田的面積．
解：設(shè)這塊水稻田的面積為x畝. 依題意，得 . 解方程，得 x＝36.答：這塊水稻田的面積為36畝.
1. 某人一天能加工甲種零件 50個(gè)或加工乙種零件20個(gè)，1 個(gè)甲種零件與 2 個(gè)乙種零件配成一套，30天制 作最多的成套產(chǎn)品，若設(shè) x 天制作甲種零件，則可列方程為 .
2×50x = 20(30－x)
2. 一項(xiàng)工作，甲獨(dú)做需18天，乙獨(dú)做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨(dú)做x天完成，那么所列方程為 .
3. 某家具廠生產(chǎn)一種方桌，1立方米的木材可做50個(gè)桌面或300條桌腿，現(xiàn)有10立方米的木材，怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿剛好配套，共可生產(chǎn)多少張方桌？(一張方桌有1個(gè)桌面，4條桌腿)
解：設(shè)用 x 立方米的木材做桌面，則用 (10－x) 立方米的木材做桌腿. 根據(jù)題意，得 4×50x = 300(10－x)， 解得 x =6，所以 10－x = 4， 可做方桌為50×6=300(張).答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300張方桌.
4. 一件工作，甲單獨(dú)做20小時(shí)完成，乙單獨(dú)做12小時(shí)完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做4小時(shí)，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要幾小時(shí)完成？
解：設(shè)剩下的部分需要x小時(shí)完成，根據(jù)題意得： 解得x = 6.答：剩下的部分需要6小時(shí)完成.
5. 一個(gè)道路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工9天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做24天完成．現(xiàn)在甲乙兩隊(duì)共同施工3天，因甲另有任務(wù)，剩下的工程由乙隊(duì)完成，問乙隊(duì)還需幾天才能完成？
解：設(shè)乙隊(duì)還需x天才能完成，由題意得： 解得 x = 13.答：乙隊(duì)還需13天才能完成．
1.（2022?南充）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設(shè)雞有x只，可列方程為（ ） A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94 C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94
【解答】解：因?yàn)樯嫌腥孱^，且雞有x只，所以兔有(35－x)只．依題意得：2x＋4(35－x)=94．故選：D．
2.（2分）（2021?北京16/28）某企業(yè)有A，B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工a噸原材料，加工時(shí)間為（4a+1）小時(shí)；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工b噸原材料，加工時(shí)間為（2b+3）小時(shí)．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到A，B兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為 　 ．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了m噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了n噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則 的值為 ．
【解答】解：設(shè)分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5﹣x）噸，4x+1＝2（5﹣x）+3，解得：x＝2，∴分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5﹣2＝3（噸），∴分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；∴第二天開工時(shí)，給A生產(chǎn)線分配了（2+m）噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了（3+n）噸原材料，
3.（8分）（2019·安徽省17/23）為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工．甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多掘進(jìn)2米，按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天？
用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程有幾個(gè)步驟？分別是什么？
一元一次方程的解(x = a)
列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：
3. 設(shè)：設(shè)合適的量為未知數(shù)
2. 找：分析題意找出等量關(guān)系
4. 列：根據(jù)等量關(guān)系列方程
6. 驗(yàn)：不僅檢驗(yàn)方程解得是否正確，還要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際意義.
1. 審：認(rèn)真仔細(xì)審題
1. 本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2. 分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，常用的方法是什么？需要注意哪些問題？3. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，嘗試用自己的語言描述，如何建立方程模型來解決實(shí)際問題？
P106：習(xí)題3.4：第4、5題.P107：習(xí)題3.4：第9題.

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3.4 實(shí)際問題與一元一次方程

版本： 人教版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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