3.4 實際問題與一元一次方程（第1課時） 教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第三章“一元一次方程”3.4實際問題與一元一次方程第1課時，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決配套、工程等問題.2.內(nèi)容解析配套問題、工程問題等是實際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.這類問題的背景和表達都更貼近實際，其中的有些數(shù)量關系也比較隱蔽．對這些問題的探究可以使學生進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點為：配套問題、工程問題的探究過程．二、目標和目標解析1.目標（1）理解配套問題、工程問題的背景，分清有關數(shù)量關系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關系列方程解決問題. （2）掌握用一元一次方程解決實際問題的基本過程.2.目標解析（1）理解問題相關的概念，能夠找出解決問題所需的關鍵量，并利用一元一次方程將之求出．（2）經(jīng)歷配套問題、工程問題的探究過程，掌握用一元一次方程解決實際問題的基本過程．三、教學問題診斷分析學生在小學階段及前面學習對列方程解決實際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實際問題的背景和表達都更加貼近實際，數(shù)量關系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復雜，需要學生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實際問題的基本過程，進而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學活動經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化化歸和方程模型思想，增強數(shù)學應用意識和能力．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：在探究過程中準確找到題目中隱含的相等關系．四、教學過程設計（一）回顧舊知小學我們學過工程問題，請回答下列問題：1. 一項工作甲單獨做需要5天完成，乙單獨做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是       ，乙每天的工作效率是       ，兩人合作3天完成的工作量是       ，此時剩余的工作量是       .；；；．2. 一項工作甲單獨做需要a天完成，乙單獨做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，兩人合作3天完成的工作量是_________，此時剩余的工作量是_________.；；；．工作量、工作時間、工作效率的關系：1. 工作量=___________ × ____________；工作時間；工作效率．2. 工作時間=___________÷____________；工作量；工作效率．3. 工作效率=___________÷____________. 工作量；工作時間．（二）新課導入從前面幾節(jié)課的學習中已經(jīng)可以看出，方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學工具. 從本節(jié)課開始，我們將重點學習如何用一元一次方程解決實際問題. 生活中，有很多需要進行配套的問題，如課桌和凳子、螺釘和螺母、電扇葉片和電機等，大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？（三）典例分析例1：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1 200個螺釘或2 000個螺母. 1個螺釘需要配 2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？解：設應安排 x 名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.依題意，得 2000(22－x)＝2×1200x .解方程，得 x＝10.所以 22－x＝12.答：應安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.師生活動：學生思考，教師適時引導：本題需要我們解決的問題是什么？題目中哪些信息能解決人員安排的問題？螺母和螺釘?shù)臄?shù)量關系如何？學生確有困難，教師可提示學生列出表格．師生歸納：生產(chǎn)調(diào)配問題通常從調(diào)配后各量之間的倍、分關系尋找相等關系，建立方程. 解決配套問題的思路：1. 利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關系作為列方程的依據(jù)；2. 利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).【設計意圖】使學生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學問題——實際問題”的過程，有助于提高學生的分析問題和解決問題的能力．針對訓練：1.如圖，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，求白皮，黑皮各多少塊？解：設足球上黑皮有x塊，則白皮為(32－x)塊，五邊形的邊數(shù)共有5x條，六邊形邊數(shù)有6(32－x)條．依題意，得 2×5x=6（32－x）,解得x=12，則32－x=20.答：白皮20塊，黑皮12塊.2. 一套儀器由一個 A 部件和三個 B 部件構(gòu)成. 用1 立方米鋼材可做 40 個 A 部件或 240 個 B 部件. 現(xiàn)要用 6 立方米鋼材制作這種儀器，應用多少鋼材做 A 部件，多少鋼材做B部件，才能恰好配成這種儀器？共配成多少套？解：設應用 x 立方米鋼材做 A 部件，則應用(6－x)立方米做 B 部件.根據(jù)題意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.解得 x = 4.則 6－x = 2.共配成儀器：4×40=160 （套）.例2：整理一批圖書，由一個人做要 40 h 完成.  現(xiàn)計劃由一部分人先做 4 h，然后增加 2人與他們一起做8 h，完成這項工作.  假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？解：設先安排 x 人做4 h，根據(jù)題意得等量關系：前部分工作總量+后部分工作總量=總工作量1可列方程，解方程，得4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.答：應先安排 2人做4小時.師生活動：師生共同思考，教師適時點撥，幫助學生分析：在工程問題中：工作量=人均效率×人數(shù)×時間；工作總量=各部分工作量之和.【設計意圖】使學生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學問題——實際問題”的過程，有助于提高學生的分析問題和解決問題的能力．針對訓練：1. 加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務．問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務？解：設乙需工作x天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務，則甲做了（12－x）天.依題意，得.解得 x=8.答：乙需工作8天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務.2. 有一批零件加工任務，甲單獨做需要40h完成，乙單獨做需要30h完成.  甲做了幾小時后，因另有緊急任務離開，剩下的任務由乙單獨完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了幾小時？解：設甲做了x h.  依題意，得.解方程，得 x＝16.答：甲做了16小時.【設計意圖】在教師引領完成例題之后，依次給出練習，使學生獲得的解題經(jīng)驗得以鞏固，并通過應用練習轉(zhuǎn)化為能力．（四）當堂鞏固1. 一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天. 如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？解：設要 x 天可以鋪好這條管線，由題意得：.解方程，得 x = 8.答：要8天可以鋪好這條管線.2. 收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機，工作效率提高到原來的倍，因此比預計時間提早1小時完成. 求這塊水稻田的面積．解：設這塊水稻田的面積為x畝. 依題意，得.解方程，得 x＝36.答：這塊水稻田的面積為36畝.【設計意圖】考查學生對建立方程模型解決這些問題的一般方法的掌握．（五）能力提升1. 某人一天能加工甲種零件 50個或加工乙種零件20個，1 個甲種零件與 2 個乙種零件配成一套，30天制 作最多的成套產(chǎn)品，若設 x 天制作甲種零件，則可列方程為                            . 2×50x = 20(30－x)2. 一項工作，甲獨做需18天，乙獨做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨做x天完成，那么所列方程為                   . 3. 某家具廠生產(chǎn)一種方桌，1立方米的木材可做50個桌面或300條桌腿，現(xiàn)有10立方米的木材，怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿剛好配套，共可生產(chǎn)多少張方桌？（一張方桌有1個桌面，4條桌腿）解：設用 x 立方米的木材做桌面，則用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.根據(jù)題意，得 4×50x = 300(10－x)，解得 x =6，所以 10－x = 4，可做方桌為50×6=300（張）.答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300張方桌.4. 一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成，現(xiàn)在先由甲單獨做4小時，剩下的部分由甲、乙合做.  剩下的部分需要幾小時完成？解：設剩下的部分需要x小時完成，根據(jù)題意得：.解得x = 6.答：剩下的部分需要6小時完成.5. 一個道路工程，甲隊單獨施工9天完成，乙隊單獨做24天完成．現(xiàn)在甲乙兩隊共同施工3天，因甲另有任務，剩下的工程由乙隊完成，問乙隊還需幾天才能完成？解：設乙隊還需x天才能完成，由題意得：.解得 x = 13.答：乙隊還需13天才能完成．【設計意圖】進一步考查學生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（六）感受中考1．（2022?南充）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設雞有x只，可列方程為（     ）A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94 C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94【解答】解：因為上有三十五頭，且雞有x只，所以兔有(35－x)只．依題意得：2x＋4(35－x)=94．故選：D．2.（2分）（2021?北京16/28）某企業(yè)有A，B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工a噸原材料，加工時間為（4a+1）小時；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工b噸原材料，加工時間為（2b+3）小時．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到A，B兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為 　      ．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了m噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了n噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為         ．【解答】解：設分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5－x）噸，4x+1＝2（5－x）+3，解得：x＝2，所以分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5－2＝3（噸），所以分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；所以第二天開工時，給A生產(chǎn)線分配了（2+m）噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了（3+n）噸原材料，因為加工時間相同，所以4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，解得：m=n，所以， 故答案為：2：3；．3.（8分）（2019?安徽省17/23）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？【解答】解：設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x－2）米，由題意，得2x+（x+x－2）＝26，解得x＝7，所以乙工程隊每天掘進5米，（天）答：甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天．【設計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓練，使學生提前感受中考考什么，進一步了解考點． （七）課堂小結(jié)1. 本節(jié)課學習的主要內(nèi)容是什么？2. 分析實際問題中的數(shù)量關系，常用的方法是什么？需要注意哪些問題？3. 通過本節(jié)課的學習，嘗試用自己的語言描述，如何建立方程模型來解決實際問題？【設計意圖】通過問題引領學生梳理探究過程，歸納用一元一次方程解決實際問題的方法．（八）布置作業(yè)P106：習題3.4：第4、5題.P107：習題3.4：第9題.五、教學反思本節(jié)內(nèi)容是學生進入中學后代數(shù)知識學習的又一次重要跨越．在前面，學生已經(jīng)學習了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認識已經(jīng)由非負數(shù)有理數(shù)擴展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學生對代數(shù)知識的學習正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學內(nèi)容的綜合運用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實際問題是本節(jié)教學的重點，也是難點，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時，也是先給出實際問題，然后通過設未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實際問題．這樣設計教材，既揭示了學習解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實際生活中廣泛的應用價值，也有利于學生帶著問題（如何解一元一次方程）來學習和探究，使得他們的學習方向更明確，階段目標更具體，也利于分散難點，便于學生有層次、有梯度地學習．列方程就是通過讀題審題理清和尋找題目中相等的數(shù)量關系，通過設未知數(shù)將這些相等的數(shù)量關系表示出來．解一元一次方程就是，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟，將方程向ax=b（a≠0）的方向轉(zhuǎn)化，其中體現(xiàn)了化歸和程序化思想．解方程得到的未知數(shù)的值，是否符合具體問題的實際意義，是我們學習列方程解應用題需要關注的．這既是實際問題與數(shù)學問題相互轉(zhuǎn)化過程中需要注意的問題，也有利于培養(yǎng)學生良好的思維習慣和品質(zhì)，讓他們能夠從中進一步體會方程的應用價值．
 

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3.4 實際問題與一元一次方程

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