2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如東縣部分學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）下面由北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個(gè)圖形中，可看作軸對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 分式有意義的條件是(    )A.  B.  C.  D. 下列因式分解正確的是(    )A.  B.
C.  D. 下列運(yùn)算中，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 已知等腰三角形兩邊的長分別為和，則此等腰三角形的周長為(    )A.  B.  C. 或 D. 或已知多項(xiàng)式與的乘積中不含項(xiàng)，則常數(shù)的值是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知在中，，，為上一點(diǎn)，，，那么等于(    )A.
B.
C.
D. 如圖：等腰的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 在等腰三角形中，，過點(diǎn)作的高若，則這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為(    )A. ：或： B. ： C. ： D. ：或：已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共8小題，共32.0分）因式分解：______．若分式的值為零，則的值是______．已知，，則 ______ ．從汽車的后視鏡中看見某車牌的位號(hào)碼是，該號(hào)碼實(shí)際是______．已知，，則的值為______．等腰三角形的頂角是，底邊上的高是，則腰長為______．如圖，中，，為上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，，若，則的長是______．
 中，最小內(nèi)角，若被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，如圖為其中一種分割法，此時(shí)中的最大內(nèi)角為，那么其它分割法中，中的最大內(nèi)角度數(shù)為______． 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共10.0分）計(jì)算：； 
計(jì)算：． 四、解答題（本大題共7小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
分解因式：
；
．本小題分
如圖是由邊長為的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．點(diǎn)，，都是格點(diǎn)．請(qǐng)用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中畫圖：
畫線段，使，且；
畫，使．
本小題分
已知，．
求和的值；
已知，求的值．本小題分
如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的延長線交于點(diǎn)，且求證：．
本小題分
下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程
解：設(shè)
原式第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列問題
該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了
A.提取公因式
B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式
D.兩數(shù)差的完全平方公式
該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底______填“徹底”或者“不徹底”若不徹底．請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果．
請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足．
填空：______，______．
如圖，作等腰，，，求點(diǎn)坐標(biāo)；
如圖，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，分別以、為腰；點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，在第一、第二象限作等腰，等腰，連接交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)用含的式子表示．
 本小題分
【了解概念】
如圖，已知，為直線同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線的一點(diǎn)，連接，，若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”．

【理解運(yùn)用】
如圖，在中，為上一點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，連接并延長至點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否為點(diǎn)，關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，并說明理由；
【拓展提升】
如圖，在的條件下，若，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且點(diǎn)，關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”為點(diǎn)，請(qǐng)利用尺規(guī)在圖中確定點(diǎn)的位置，并求出的度數(shù)；
如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，直線垂直平分邊，點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于直線“等角點(diǎn)”，連接，，當(dāng)時(shí)，的值為______．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A、、不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．
選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選：．
根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：由題意得：
，
，
故選：．
根據(jù)分式有意義的條件：分母不為，可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)符合題意；
選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，與沒有公因式，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)因式分解的定義和因式分解常用的兩種方法：提公因式法和公式法判斷即可．
本題考查了因式分解的意義，掌握是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B.和不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C.，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
D.，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，完全平方公式分析選項(xiàng)即可知道答案．
本題考查同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時(shí)注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．等腰三角形兩邊的長為和，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
【解答】
解：當(dāng)腰長是，底邊是時(shí)，三邊為，，，由于，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．
當(dāng)?shù)走吺?/span>，腰長是時(shí)，三邊為，，，能構(gòu)成三角形，則其周長為：．
故選：．  6.【答案】 【解析】解：
令，
故選：．
先計(jì)算，然后將含的項(xiàng)進(jìn)行合并，最后令其系數(shù)為即可求出的值．
本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 7.【答案】 【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故選：．
由“”可證≌，可得，由外角的性質(zhì)可求解．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
連接，，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故AD，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，推出，
故AD的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【解答】
解：連接，．
是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，解得，
是線段的垂直平分線，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，
，
的長為的最小值，
的周長的最小值為
．
故選：．  9.【答案】 【解析】解：如圖，是銳角三角形時(shí)，

，，
，
這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為：：：；
如圖，是鈍角三角形時(shí)，

，
，
，
，
這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為：：：；
故選：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況討論求解即可．
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：，




，
，
當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
，
當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
，
，
，
，
即的最小值為，
故選：．
先化簡(jiǎn)，再判斷出，即可求出答案．
此題主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化簡(jiǎn)是解本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案為：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：由題意可得且，
解得．
故答案為．
本題考查分式的值為零的條件．
分式的值為的條件是：分子為；分母不為兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．
 13.【答案】 【解析】解：，，
．
故答案為：．
逆運(yùn)用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相乘進(jìn)行計(jì)算即可得解．
本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟記運(yùn)算法則并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧，難度一般．
根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．
【解答】
解：關(guān)于鏡面對(duì)稱，也可以看成是關(guān)于某條直線對(duì)稱，
故關(guān)于某條直線對(duì)稱的數(shù)字依次是．
故答案為：．  15.【答案】 【解析】解：，
，
，

．
故答案為：．
直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案．
此題主要考查了完全平方公式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，
，于點(diǎn)，，，
，，
，
，
．
故填：．
畫出圖形，可求得底角為度，結(jié)合已知，由含的直角三角形的性質(zhì)可求得腰的長．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)；求得的角是正確解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作，垂足為，

，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
故答案為：．
過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，再利用平角定義可得，然后利用同角的余角相等可得，從而利用證明≌，進(jìn)而可得，最后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】或或 【解析】解：，，如圖所示：

；
，，如圖所示：

，
；
，，如圖所示：

，；
其它分割法中，中的最大內(nèi)角度數(shù)為或或，
故答案為：或或．
分三種情況
，時(shí)，；
，時(shí)，，；
，時(shí)，，．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：
；
． 【解析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式可以解答本題；
根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和積的乘方可以解答本題．
本題考查整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
 20.【答案】解：原式
；

原式

． 【解析】直接提取公因式，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式即可；
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
 21.【答案】解：如圖，取格點(diǎn)、、，連接、，則交點(diǎn)即為點(diǎn)，
由圖可知：≌，
則線段即為所求．

如圖，構(gòu)造等腰直角三角形，則即為所求點(diǎn)不唯一．
 【解析】取格點(diǎn)、、，連接、，則交點(diǎn)即為點(diǎn)，線段即為所求；
利用數(shù)形結(jié)合的思想構(gòu)造等腰直角三角形即可．
本題主要考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格作平行線的方法是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：，，
，，
，；
，
，
，
，
聯(lián)立得，
解得，
． 【解析】根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的除法即可得出答案；
根據(jù)平方差公式展開得到，聯(lián)立方程組求出，的值，代入代數(shù)式即可得出答案．
本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，掌握是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
垂直平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 【解析】判斷出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，從而得證．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】不徹底 【解析】解：該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了；
，
該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底；
設(shè)
原式



；
故答案為：不徹底．
根據(jù)因式分解的步驟進(jìn)行解答即可；
根據(jù)因式分解的步驟進(jìn)行解答即可；
設(shè)，再根據(jù)完全平方公式把原式進(jìn)行分解即可．
本題考查的是因式分解，在解答此類題目時(shí)要注意完全平方公式的應(yīng)用．
 25.【答案】   【解析】解：，
又，，
，，
故答案為：，．

如圖中，過作軸于．

，
，
．
又，，
≌．
，
．
又點(diǎn)在第三象限，
；

如圖中，在軸上取點(diǎn)，使，連接，如下圖．

，
，，

，，
≌，
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
．
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．
如圖中，過作軸于證明≌推出，，可得結(jié)論．
如圖中，在軸上取點(diǎn)，使，連接，證明≌，推出，可得結(jié)論．
本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
 26.【答案】 【解析】解：如圖，

點(diǎn)是點(diǎn)，關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，理由如下：
、關(guān)于對(duì)稱，
，，
，
，
，
點(diǎn)是點(diǎn)，關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”；
如圖，

，，
．
點(diǎn)，關(guān)于直線，的“等角點(diǎn)”分別為點(diǎn)和點(diǎn)，
，
，
；
如圖，

連接，
直線垂直平分，
，
，
點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于直線“等角點(diǎn)”，
，
，
、、共線，
，
作于，
平分，平分，
，
，
．
根據(jù)對(duì)稱可得，有，推出，從而得證；
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作射線交于，先求出，于是，進(jìn)而求得結(jié)果；
可推出，，故，從而、、共線，進(jìn)而求得結(jié)果．
本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確理解題意，掌握基礎(chǔ)知識(shí)．
 

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