?一輪大題專練11—導(dǎo)數(shù)（有解問題1）
1．已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；
（2）若存在唯一整數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，且為定義在，，上的偶函數(shù)，
令，解得，且當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，
（1），無最大值；
（2）即，
令，，作出函數(shù)與的大致圖象如下，

易知恒過點(diǎn)，且，
由圖象可知，要使存在唯一整數(shù)，使得，則，即，解得．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
2．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：方程在區(qū)間上有唯一解．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)．
（2）方程，即為方程，
即為方程，
令，，
則，
又，所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?），
時(shí)，，
令，可得，
所以，
所以存在，，使，
即方程在區(qū)間上有唯一解．
3．記，為的導(dǎo)函數(shù)．若對，，則稱函數(shù)為上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．．
（1）若函數(shù)為，上的凸函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若方程在，上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．
解：（1），，
若為，上的凸函數(shù)，則對恒成立，
即對恒成立，而在，單調(diào)遞增，
，，解得：，故的取值范圍是．
（2）由得，令，（1），
，
當(dāng)時(shí)，對恒成立，在，上單調(diào)遞增，
又（1），在，上有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意，
當(dāng)時(shí)，令得，，
若即時(shí)，對恒成立，在，單調(diào)遞減，
在，上有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意，
若即時(shí)，在，遞增，在，遞減，
，，，
故存在，，即在，上有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上，的取值范圍是，，．
4．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（Ⅰ），，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是．
（Ⅱ），是函數(shù)的極值點(diǎn)，
（1），解得：，
，
方程即，
設(shè)，則，
故在遞增，在遞減，
故（1），
，，
設(shè)，則，
，
故函數(shù)在遞減，在遞增，
故（1），
又當(dāng)無限增大或無限接近0時(shí)，都趨近于0，
故，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
5．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．
解：（1）時(shí)，，，
，（1），（1），
故切線方程是，即；
（2），當(dāng)時(shí)，由可得，
由得，由，得，
①若時(shí)，在上單調(diào)遞增，至多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
②若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
（1），故若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則，
令，，則，在遞減，
又（2），（3），（4），
故存在使得，則的解集是，，
綜上，的取值范圍是，，，
故正整數(shù)的最小值是4．
6．已知函數(shù)．
（1）設(shè)曲線在處的切線方程為，求證：；
（2）若方程有兩個(gè)根，，求證：．
證明：（1），則，
故，，
故切線方程是：，即，
令，則，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在，遞增，
故，即；
（2）不妨設(shè)，直線與相交于點(diǎn)，
又由（1）知：，則，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，
下面證明：，
由于，故，即證，
令，則，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增，
故（e），即成立，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，
由于等號成立的條件不同時(shí)滿足，
故．
7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
解：，
（1）證明：當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又由于，故，由于，
故，即；
（2）注意到（1），
①若，，
故在上單調(diào)遞減，取，
則，
故存在使得（a），即在上只有1個(gè)零點(diǎn)，
②若，當(dāng)時(shí)，，而，故，
當(dāng)時(shí)，，
故，即在上無零點(diǎn)，
③當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
設(shè)且，當(dāng)時(shí)，，
故存在使得（b），即在上只有1個(gè)零點(diǎn)，
綜上：若只有1個(gè)零點(diǎn)，，，．



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