?新疆烏魯木齊八中2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）
一、選擇題（本題共計(jì)9小題，每題5分，共計(jì)45分）
1．在下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列說法正確的是（　?。?br /> A．為保證“嫦娥五號(hào)”成功發(fā)射，對其零部件檢查采取抽樣方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5個(gè)數(shù)都是6的整數(shù)倍，從中任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是1
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中獎(jiǎng)率是70%，小明買了10張彩票，一定有7張中獎(jiǎng)
3．已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，下列結(jié)論不正確的是（　　）
A．圖象開口向上 B．圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3）
C．對稱軸是直線x＝1 D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
4．關(guān)于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m值為（　?。?br /> A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。?br />
A．125° B．130° C．135° D．140°
6．如圖，學(xué)校建一長方形自行車棚，一邊靠墻（墻長18米），另三邊用總長50米的欄桿圍成，留2米寬的門，若想建成面積為240平方米的自行車棚，則車棚垂直于墻的一邊的長為（　?。?br />
A．6米 B．20米 C．20米或6米 D．不存在
7．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，那么一次函數(shù)y＝x+b的圖象大致是（　?。?br />
A． B． C． D．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，將Rt△ABC繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積是（　?。?br />
A． B． C．1+ D．1
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過A作AG⊥CD于G，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接GE，則GE的最小值是（　?。?br />
A．2 B．1 C． D．
二、填空題（本題共計(jì)6小題，每題5分，共計(jì)30分）
10．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 　 ?。?br /> 11．現(xiàn)有四張卡片，正面分別寫有漢字“愛”“我”“中”“華”，背面是完全相同的“?”形圖案．現(xiàn)將背面朝上充分洗勻后，從中任意抽取2張，其正面上的文字恰好組成“中華”字樣的概率為 　 　．
12．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°，面積為12πcm2的扇形，則這個(gè)圓錐的高是 　 　cm．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（x﹣2，x+1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在第四象限，則x的取值范圍是 　 ?。?br /> 14．秋冬季節(jié)為流感的高發(fā)期，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為 　 　．
15．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，總有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根，為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2．寫出所有正確的結(jié)論的序號(hào)：　 ?。?br />
三、解答題（本題共計(jì)8小題）
16．（10分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br /> （1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
17．（9分）某超市經(jīng)銷一種商品，每千克成本為50元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價(jià)，銷售量的四組對應(yīng)值如下表所示：
銷售單價(jià)x（元/千克）
55
60
65
70
銷售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）為保證某天獲得600元的銷售利潤，則該天的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？
（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
18．（9分）在大課間活動(dòng)中，體育老師隨機(jī)抽取了七年級甲、乙兩班部分女學(xué)生進(jìn)行仰臥起坐的測試，并對成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪制了頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)圖表中的信息完成下列問題：
分組
頻數(shù)
頻率
第一組（0≤x＜15）
3
0.15
第二組（15≤x＜30）
6
a
第三組（30≤x＜45）
7
0.35
第四組（45≤x＜60）
b
0.20
（1）頻數(shù)分布表中a＝　 　，b＝　 　，并將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）如果該校七年級共有女生180人，估計(jì)仰臥起坐能夠一分鐘完成30或30次以上的女學(xué)生有 　 　人；
（3）已知第一組中只有一個(gè)甲班學(xué)生，第四組中只有一個(gè)乙班學(xué)生，老師隨機(jī)從這兩個(gè)組中各選一名學(xué)生談心得體會(huì)，則所選兩人正好都是甲班學(xué)生的概率是多少？

19．（8分）如圖，在10×10正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位．
（1）請作出把△ABC向下平移6個(gè)單位長度的圖形△A′B′C′；
（2）請作出把△ABC，繞著P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形△A″B″C″（不要求寫畫法）；
（3）請求出點(diǎn)C在題（2）中所經(jīng)過的路徑長．

20．（8分）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．

21．（9分）體育測試時(shí)，九年級一名男生，雙手扔實(shí)心球，已知實(shí)心球所經(jīng)過的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果球出手處A點(diǎn)距離地面的高度為2m，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為6m時(shí)，達(dá)到最大高度5m的B處（如圖），問該男生把實(shí)心球扔出多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）

22．（10分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過D作BC的垂線，垂足為E．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的長；
（3）你能發(fā)現(xiàn)線段AB、BE和CE之間的數(shù)量關(guān)系嗎，請直接寫出結(jié)論（不用說明理由）．

23．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．


參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共計(jì)9小題，每題5分，共計(jì)45分）
1．在下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．下列說法正確的是（　?。?br /> A．為保證“嫦娥五號(hào)”成功發(fā)射，對其零部件檢查采取抽樣方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5個(gè)數(shù)都是6的整數(shù)倍，從中任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是1
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中獎(jiǎng)率是70%，小明買了10張彩票，一定有7張中獎(jiǎng)
【分析】根據(jù)概率的意義、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、隨機(jī)事件，逐一進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．為保證“嫦娥五號(hào)”成功發(fā)射，對其零部件檢查采取普查方式，故A錯(cuò)誤；
B．“守株待兔”是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；
C．有5個(gè)數(shù)都是6的整數(shù)倍，從中任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是1，故C正確；
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中獎(jiǎng)率是70%，小明買了10張彩票，中獎(jiǎng)率是70%，不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了概率的意義、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、隨機(jī)事件，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率的意義．
3．已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．圖象開口向上 B．圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3）
C．對稱軸是直線x＝1 D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況判斷即可．
【解答】解：A、二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，a＝1＞0，
則圖象開口向上，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；
B、當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
則圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；
C、對稱軸是直線x＝﹣＝2，本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．關(guān)于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m值為（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到m﹣2≠0且|m|＝2，然后解方程和不等式即可得到滿足條件的m的值．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的定義，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。?br />
A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】連接OA，OB，OC，根據(jù)圓周角定理得出∠BOC＝100°，再根據(jù)得到∠AOC，從而得到∠ABC，最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)果．
【解答】解：連接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．

故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于畫出半徑，構(gòu)造圓心角．
6．如圖，學(xué)校建一長方形自行車棚，一邊靠墻（墻長18米），另三邊用總長50米的欄桿圍成，留2米寬的門，若想建成面積為240平方米的自行車棚，則車棚垂直于墻的一邊的長為（　?。?br />
A．6米 B．20米 C．20米或6米 D．不存在
【分析】設(shè)垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊的長為（50+2﹣2x）米，根據(jù)自行車棚的面積為240平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻長18米，即可得出垂直于墻的一邊的長為20米．
【解答】解：設(shè)垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊的長為（50+2﹣2x）米，
依題意得：x（50+2﹣2x）＝240，
整理得：x2﹣26x+120＝0，
解得：x1＝6，x2＝20．
當(dāng)x＝6時(shí)，50+2﹣2x＝50+2﹣2×6＝40＞18，不合題意，舍去；
當(dāng)x＝20時(shí)，50+2﹣2x＝50+2﹣2×20＝12＜18，符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，那么一次函數(shù)y＝x+b的圖象大致是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸判斷出a、b和c的正負(fù)情況，再由一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【解答】解：由圖象開口向下可知a＜0，
對稱軸x＝﹣＜0，得b＜0．
又知當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c＞0，
所以一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出a、b和c的正負(fù)情況，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題，此題難度不大．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，將Rt△ABC繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積是（　?。?br />
A． B． C．1+ D．1
【分析】陰影部分的面積等于扇形DAB的面積，首先利用勾股定理即可求得AB的長，然后利用扇形的面積公式即可求得扇形的面積．
【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝2．
陰影部分的面積＝S扇形DAB＝＝，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積等于扇形DAB的面積是關(guān)鍵．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過A作AG⊥CD于G，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接GE，則GE的最小值是（　?。?br />
A．2 B．1 C． D．
【分析】取AC的中點(diǎn)O，連接OG，點(diǎn)G在以AC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，連接OE，易知當(dāng)點(diǎn)G在線段OE上時(shí)，GE取得最小值，即GE的最小值為OE﹣OG的值．
【解答】解：∵AG⊥CD，
∴∠AGC＝90°．
取AC的中點(diǎn)O，連接OG，則OG＝AC，
∴點(diǎn)G在以AC為直徑的⊙O上，
連接OE，易知當(dāng)點(diǎn)G在線段OE上時(shí)，GE取得最小值，
如圖所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，

∴AB＝＝4，OG＝AC＝×2＝．
∵O是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE＝AB＝×4＝2，
∴GE＝OE﹣OG＝2﹣，
即GE的最小值為2﹣．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題是線段的最值問題，考查勾股定理、三角形中位線的性質(zhì)等，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．
二、填空題（本題共計(jì)6小題，每題5分，共計(jì)30分）
10．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 　x1＝3，x2＝1　．
【分析】先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移項(xiàng)得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
故答案為：x1＝3，x2＝1．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
11．現(xiàn)有四張卡片，正面分別寫有漢字“愛”“我”“中”“華”，背面是完全相同的“?”形圖案．現(xiàn)將背面朝上充分洗勻后，從中任意抽取2張，其正面上的文字恰好組成“中華”字樣的概率為 　?。?br /> 【分析】分別記“愛”“我”“中”“華”為A，B，C，D，利用樹狀圖的方法可得所有等可能結(jié)果；再找到正面文字恰好組成“中華”字樣的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：分別記“愛”“我”“中”“華”，為A，B，C，D，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中正面上的文字恰好組成“中華”字樣的結(jié)果數(shù)有2種結(jié)果，
所以其正面上的文字恰好組成“中華”字樣的概率為＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
12．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°，面積為12πcm2的扇形，則這個(gè)圓錐的高是 　4　cm．
【分析】首先利用扇形面積公式求出扇形的半徑，進(jìn)而求出底面圓的半徑，再利用勾股定理求出圓錐的高即可．
【解答】解：設(shè)母線長為rcm，底面圓的半徑為Rcm，
S扇形＝＝12π，
解得：r＝6，
底面圓的周長為：＝2πR，
解得：R＝2，
∴這個(gè)圓錐的高是：＝4（cm）．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查圓錐的計(jì)算，弧長公式，圓的周長等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的底面圓的周長＝側(cè)面展開圖扇形的弧長．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（x﹣2，x+1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在第四象限，則x的取值范圍是 　﹣1＜x＜2　．
【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)P在第二象限，再利用第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得關(guān)于x的不等式組，然后解不等式組即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（x﹣2，x+1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在第四象限，
∴點(diǎn)P在第二象限，
∴，
解得：﹣1＜x＜2，
故答案為：﹣1＜x＜2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)．
14．秋冬季節(jié)為流感的高發(fā)期，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為 　10人?。?br /> 【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，根據(jù)“有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，
依題意得：（1+x）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合題意，舍去）．
故答案為：10人．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，總有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根，為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2．寫出所有正確的結(jié)論的序號(hào)：?、佗邰荨。?br />
【分析】用對稱軸方程得到﹣＝2，則b＝﹣4a，于是可對①進(jìn)行判斷；利用x＝﹣3時(shí)，y＜0可對②進(jìn)行判斷；利用圖象過點(diǎn)（﹣1，0）得到a﹣b+c＝0，把b＝﹣4a代入得到c＝﹣5a，則8a+7b+2c＝﹣30a，然后利用a＜0可對③進(jìn)行判斷；把x＝2和x＝m分別代入函數(shù)解析式，得到am2+bm+c＜4a+2b+c，于是得到m（am+b）≤4a+2b，故④錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），則拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣5），所以方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根x1和x2為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是結(jié)合函數(shù)圖象可對⑤進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正確；
∵x＝﹣3時(shí)，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，則c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正確；
∵當(dāng)x＝2時(shí)，y最大＝4a+2b+c，
當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴m（am+b）≤4a+2b，故④錯(cuò)誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
∴拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣5），
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根x1和x2為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴x1＜﹣1＜5＜x2；所以⑤正確；
故答案為：①③⑤．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
三、解答題（本題共計(jì)8小題）
16．（10分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br /> （1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，得到兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）把方程整理成一般形式，再十字相乘法分解因式，得到兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7，
整理得x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
17．（9分）某超市經(jīng)銷一種商品，每千克成本為50元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價(jià)，銷售量的四組對應(yīng)值如下表所示：
銷售單價(jià)x（元/千克）
55
60
65
70
銷售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）為保證某天獲得600元的銷售利潤，則該天的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？
（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【分析】（1）利用待定系數(shù)法來求一次函數(shù)的解析式即可；
（2）依題意可列出關(guān)于銷售單價(jià)x的方程，然后解一元二次方程組即可；
（3）利用每件的利潤乘以銷售量可得總利潤，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），將表中數(shù)據(jù)（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+180．
（2）由題意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：為保證某天獲得600元的銷售利潤，則該天的銷售單價(jià)應(yīng)定為60元/千克或80元/千克．
（3）設(shè)當(dāng)天的銷售利潤為w元，則：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝70時(shí)，w最大值＝800．
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為70元/千克時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大，最大利潤是800元．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程和二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．（9分）在大課間活動(dòng)中，體育老師隨機(jī)抽取了七年級甲、乙兩班部分女學(xué)生進(jìn)行仰臥起坐的測試，并對成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪制了頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)圖表中的信息完成下列問題：
分組
頻數(shù)
頻率
第一組（0≤x＜15）
3
0.15
第二組（15≤x＜30）
6
a
第三組（30≤x＜45）
7
0.35
第四組（45≤x＜60）
b
0.20
（1）頻數(shù)分布表中a＝　0.3　，b＝　4　，并將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）如果該校七年級共有女生180人，估計(jì)仰臥起坐能夠一分鐘完成30或30次以上的女學(xué)生有 　99　人；
（3）已知第一組中只有一個(gè)甲班學(xué)生，第四組中只有一個(gè)乙班學(xué)生，老師隨機(jī)從這兩個(gè)組中各選一名學(xué)生談心得體會(huì)，則所選兩人正好都是甲班學(xué)生的概率是多少？

【分析】（1）由頻率之和為1得出a的值，再求出總?cè)藬?shù)，繼而可得b的值，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（2）用該校七年級共有的女生人數(shù)乘以仰臥起坐能夠一分鐘完成30或30次以上的女學(xué)生所占的百分比即可；
（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與所選兩人正好都是甲班學(xué)生的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.15﹣0.35﹣0.20＝0.3；
∵總?cè)藬?shù)為：3÷0.15＝20（人），
∴b＝20×0.20＝4（人）；
補(bǔ)統(tǒng)計(jì)圖如下：

故答案為：0.3，4；

（2）估計(jì)仰臥起坐能夠一分鐘完成30或30次以上的女學(xué)生有：
180×（0.35+0.20）＝99（人）；
故答案為：99；

（3）畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結(jié)果，所選兩人正好都是甲班學(xué)生的有3種情況，
∴所選兩人正好都是甲班學(xué)生的概率是＝．
【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（8分）如圖，在10×10正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位．
（1）請作出把△ABC向下平移6個(gè)單位長度的圖形△A′B′C′；
（2）請作出把△ABC，繞著P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形△A″B″C″（不要求寫畫法）；
（3）請求出點(diǎn)C在題（2）中所經(jīng)過的路徑長．

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A″，B″，C″即可；
（3）利用弧長公式求解即可．
【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；

（2）如圖所示，△A′′B′′C′′即為所求．

（3）連接PC．
∵PC＝＝，
∴C所經(jīng)過的路徑長＝．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，記住弧長公式l＝．
20．（8分）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，由角的數(shù)量關(guān)系可求∠OCD＝60°，可得結(jié)論；
（2）分別求出∠ADO＝90°，∠AOD＝45°，即可求解．
【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可得△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝∠OCA+∠BCO＝60°，
又∵OC＝CD，
∴△OCD是等邊三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，
∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°，
由（1）得△COD是等邊三角形，
∵∠ADO＝∠ADC?∠ODC＝90°，
∴∠AOD＝360°?∠AOB?∠BOC?∠DOC＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
21．（9分）體育測試時(shí)，九年級一名男生，雙手扔實(shí)心球，已知實(shí)心球所經(jīng)過的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果球出手處A點(diǎn)距離地面的高度為2m，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為6m時(shí)，達(dá)到最大高度5m的B處（如圖），問該男生把實(shí)心球扔出多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】以地面所在直線為x軸，過點(diǎn)A與地面的垂線作為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：以地面所在直線為x軸，過點(diǎn)A與地面的垂線作為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
則A（0，2），B（6，5）．
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+5（a≠0），
∵A（0，2）在拋物線上，
∴代入得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣6）2+5．
∵令y＝0，即﹣（x﹣6）2+5＝0，解得x1＝6﹣2（舍去），x2＝6+2
∴OC＝6+2．
答：該同學(xué)把實(shí)心球扔出（6+2）m．

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，熟知利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過D作BC的垂線，垂足為E．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的長；
（3）你能發(fā)現(xiàn)線段AB、BE和CE之間的數(shù)量關(guān)系嗎，請直接寫出結(jié)論（不用說明理由）．

【分析】（1）連接OD，先證OD∥BE，再根據(jù)BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得證結(jié)論．
（2）證△ABD∽△DBE，根據(jù)線段比例關(guān)系即可求出BD的長度；
（3）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，根據(jù)HL證Rt△BED≌Rt△BHD，再根據(jù)AAS證△ADH≌△CDE，再利用等量代換即可得出CE＝AB﹣BE．
【解答】解：（1）連接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴；
（3）CE＝AB﹣BE，理由如下：
過D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED與Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DGA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．

【點(diǎn)評】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝4，OB＝，確定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；即可求解；
（2）拋物線的對稱軸為x＝﹣，當(dāng)PC∥AB時(shí)，點(diǎn)P、C的縱坐標(biāo)相同，即可求解；
（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．
【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，則OA＝4，OB＝，
故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
則y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣2；

（2）拋物線的對稱軸為x＝﹣，
當(dāng)PC∥AB時(shí)，點(diǎn)P、C的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)函數(shù)的對稱性得點(diǎn)P（﹣，﹣2）；

（3）過點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，
設(shè)P（x，x2+﹣2），

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣2，
則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P（﹣2，﹣5）．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，有一定的綜合性，但較為容易．


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