?6.4平行關(guān)系北師大版（ 2019）高中數(shù)學必修第二冊
第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 設α、β是兩個平面，a、b是兩條直線，下列推理正確的是(????)
A. a//bb//α?a//α B. a?αa//βα∩β=b?a//b
C. a?αb?βα//β?a//b D. a?αb?βa//b?α//β
2. 已知直線m、n，平面α、β，給出下列命題：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；②若m//α，n//β，且m//n，則α//β
③若m⊥α，n//β，且m⊥n，則α⊥β；④若m⊥α，n//β，且m//n，則α⊥β
其中正確的命題是?????????????????????????? ?????????????????????????????(????)
A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④
3. 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運動，若PA1//面AMN，則線段PA1的長度范圍是(????)
A. [2,5]
B. [2,3]
C. [322,3]
D. [322,5]
4. 如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M，N分別在AD1，BC上移動，始終保持MN//平面DCC1D1，設BN=x，MN=y，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(????)
A.
B.
C.
D.
5. 設平面α//平面β，點A∈α，點B∈β，C是AB的中點，當A，B分別在平面α，β內(nèi)運動時，那么所有的動點C(????)
A. 不共面
B. 當且僅當A，B分別在兩條直線上移動時才共面
C. 當且僅當A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面
D. 共面
6. 已知m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，對于下列四個命題：
①m?α,n?α,m//β,n//β?α//β；②n//m,n?α?m//α；
③α//β,m?α,n?β?m//n；④m//α,n?α?m//n．
其中正確命題的個數(shù)有(????)
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
7. 已知α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列命題正確的是．(????)
A. 若α?//?β，m?α，則m?//?β
B. 若m?//?α，n?α，則m?//?n
C. 若m?//?α，n?//?β，m?//?n，則α?//?β
D. 若α?//?β，m?//?α，n?//?β，則m?//?n
8. 設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的個數(shù)是
①若m⊥n，m⊥α，n?//?β，則α⊥β；
②若平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等，則α?//?β；
③若α?//?β，m?//?n，m?//?α，則n?//?β；
④若m?//?α，m?β，α∩β=n，則m?//?n．
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）
9. 如圖所示的四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB//面MNP的圖形的是(????)
A. B. C. D.
10. 設m、n表示不同直線，α、β表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是(????)
A. 若m//α,m//n，則n//α
B. 若m?α,n?β,m//β,n//α,，則α//β
C. m、n是兩條異面直線，若m//α,m//β,n//α,n//β，則α//β．
D. 若α//β,m//α,n//m,n?β，則n//β
11. 如圖，點P在正方體ABCD?A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個結(jié)論正確的是(????)

A. 三棱錐A?D1PC的體積不變 B. A1P?//平面ACD1
C. DP⊥BC1???????????????????????????????????? D. 平面PDB1⊥平面ACD1
12. 如圖所示的四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB?//面MNP的圖形的是(????)
A. B. C. D.
第II卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 如圖所示，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件??????????時，就有MN//平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)


14. 如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為P3A，P2D，P4C，P4B的中點，在此幾何體中，給出下面五個結(jié)論：①平面EFGH?//平面ABCD；②PA?//平面BDG；③EF?//平面PBC；④FH?//平面BDG；⑤EF?//平面BDG．其中正確結(jié)論的序號是??????????．
15. 在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面四邊形BCC1B1內(nèi)(不含邊界)一點，當點P滿足??????????時，A1P//平面AEF.(填一個滿足題意的條件即可)


16. 如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD?A1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜角度的不同，有下列四個說法：

①水的部分始終呈棱柱狀；
②水面四邊形EFGH的面積不改變；
③棱A1D1始終與水面EFGH平行；
④當E∈AA1時，AE+BF是定值．
其中正確說法是__________．

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. (本小題12.0分)
如圖所示，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M,N分別為AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l．

(1)判斷BC與l的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
18. (本小題12.0分)
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，M分別為B1C1，A1B1，AB的中點．

(1)求證：平面A1C1M//平面BEF;
(2)若平面A1C1M∩BC=H，求證：H為BC的中點．
19. (本小題12.0分)
如圖所示，三棱柱ABC?A1B1C1，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2．

(1)當點M在何位置時，BM//平面AEF?
(2)若BM//平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，并求BM與EF所成的角的余弦值．
20. (本小題12.0分)
如圖，已知四棱錐P?ABCD中，AB//CD,O,M分別是CD,PC的中點，PO⊥底面ABCD，且PO=OD=DA=AB=BC.

(1)證明：PA//平面OBM；
(2)若PO=2，求三棱錐M?PAB的體積．
21. (本小題12.0分)
如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的三等分點(M靠近B，N靠近C)；

(1)求證：MN//平面PAD．
(2)在PB上確定一點Q，使平面MNQ//平面PAD．
22. (本小題12.0分)
已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上．
(1)如圖，若PM:MA=BN:ND=PQ:QD，求證：平面MNQ//平面PBC．

(2)如圖，若Q滿足PQ:QD=2，則M點滿足什么條件時，BM//平面AQC．


答案和解析

1.【答案】B?
【解析】
【分析】
本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)．
根據(jù)空間線面位置關(guān)系的定義，判定定理和性質(zhì)進行判斷．
【解答】
解：由于a//b，b//α，則a?α或a//α，若a?α，顯然結(jié)論錯誤，所以A錯誤；
由于a?α,a//β,α∩β=b，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知a//b，所以B正確；
由于a?α,b?β,α//β，則a//b或a,b為異面直線，故a，b不一定平行，所以C錯誤；
由于a?α,b?β,a//b，則α//β或α,β相交，則若α，β相交，a，b均與交線平行，顯然結(jié)論不成立，所以D錯誤．
故選B．
??
2.【答案】C?
【解析】
【分析】
本題考查線面、面面平行、垂直的判定與性質(zhì)，屬基礎題，利用線面、面面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理可以證明①正確；利用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直，面面垂直的判定定理可證④正確；舉反例可以否定②③．
【解答】
解：對于①，顯然α與β不平行，否則根據(jù)面面平行和線面垂直的性質(zhì)定理易得m//n，與已知矛盾，設α∩β=l，設平面γ⊥l，γ∩l=O，γ∩α=a，γ∩β=b，
在γ內(nèi)取一點P，作PA⊥a，垂足為A，作PB⊥b，垂足為B，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥α，PB⊥β，又∵若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，∴PA⊥PB，
在平面四邊形PAOB中有三個角為直角，∴OA⊥OB，根據(jù)二面角的定義可得平面α⊥β，故①正確；
對于②，若m//α，n//β，且m//n，α，β可以相交，故②錯誤；
對于③，若m⊥α，n//β，且m⊥n，α和β不一定垂直，甚至可以平行，故錯誤；
對于④，∵n//β，∴過n作平面γ，使之與β相交與直線l，則n//l，又∵m//n，∴m//l，∵m⊥α，∴n⊥α，又∵l?β，∴α⊥β，故正確．
故選C．??
3.【答案】D?
【解析】
【分析】
本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．
取B1C1的中點E，BB1的中點F，連接A1E，A1F，EF，取EF中點O，連接A1O，證明平面AMN//平面A1EF，從而得點P的軌跡是線段EF，由此能求出線段PA1的長度范圍．
【解答】
解：取B1C1的中點E，BB1的中點F，連接A1E，A1F，EF，取EF中點O，連接A1O，如圖所示，

∵點M，N分別是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點，
∴AM//A1E，MN//EF，
∵AM?平面A1EF，A1E?平面A1EF，
∴AM//平面A1EF，同理，MN//平面A1EF，
∵AM∩MN=M，AM，MN?平面AMN，
∴平面AMN//平面A1EF，
∵動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運動，且PA1//面AMN，
∴點P的軌跡是線段EF，
∵A1E=A1F=22+12=5，EF=12+12=2，
∴A1O⊥EF，
∴當P與O重合時，PA1的長度取最小值為A1O=(5)2?(22)2=322，
當P與E(或F)重合時，PA1的長度取最大值為A1E=A1F=5．
∴線段PA1的長度范圍為[322,5].
故選D．
??
4.【答案】C?
【解析】
【分析】
本題主要考查線面平行、面面平行的判定和性質(zhì)、函數(shù)的圖象與性質(zhì).作MQ//DD1得到線面平行和面面平行，進而得到MQ，QN的長度的表達式，在直角三角形MNQ中，由勾股定理得到x，y的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的圖象得到結(jié)論．
【解答】
解：如圖，過M作MQ//DD1，交AD于點Q，連接QN，
因為MQ?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，可得MQ//平面DCC1D1，

又因為MN//平面DCC1D1，MN∩MQ=M，MN?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
所以平面MNQ//平面DCC1D1．
又平面ABCD與平面MNQ和平面DCC1D1分別交于QN和DC，
所以NQ//DC，
可得QN=CD=AB=1，AQ=BN=x，
因為MQAQ=DD1AD=2，所以MQ=2x．
在Rt△MQN中，MN2=MQ2+QN2，即y2=4x2+1，
所以y2?4x2=1(x≥0,y≥1)，
所以函數(shù)y=f(x)的圖象為焦點在y軸上的雙曲線上支的一部分．
故選C．??
5.【答案】D?
【解析】
【分析】本題考查平面平行的性質(zhì)，涉及線面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定與性質(zhì)，屬中檔題，
做一條與直線AB異面的直線l，使l⊥平面α，根據(jù)已知，利用面面平行的性質(zhì)可得直線l⊥平面β，設直線l分別與平面α、β交于點D，E，線段DE中點F，過F與l垂直的平面記作γ，連接AE，設線段AE中點M，可以通過線線平行證得MC//α，MF//α，進而得到平面MFC//平面α，得出CF//平面α，進一步得到CF⊥DE，證得CF在平面γ內(nèi)，再討論AB平行與l或者與l相交時，即可證明C在γ內(nèi)．
【解答】解：如圖所示，做一條與直線AB異面的直線l，使l⊥平面α，

∵平面α//平面β，∴直線l⊥平面β，
設直線l分別與平面α、β交于點D，E，線段DE中點F，
過F與l垂直的平面記作γ，
連接AE，設線段AE中點M，連接MF，MC，AD，BE，CF．
在△ADE中，F(xiàn)M//AD，∴直線FM//平面α，
在△AEB中，MC//BE，∴直線CM//β，
又∵α//β，∴CM//平面α，
又∵AB，CD是異面直線，
∴AD，BE是異面直線，
∴MC，MF是相交直線，
∴平面CFM//平面α，
∴CF//平面α，
∵DE⊥平面α，
∴DE⊥直線CF，
∴CF?平面γ，∴C∈γ．
當AB平行與l時，AB中點比在平面γ上，
當AB與了相交時，可平移為異面，點C也在平面γ內(nèi)．
故不論A，B如何運動，所有的動點C都在平面內(nèi)γ
故選D．??
6.【答案】A?
【解析】解：①由m?α，n?α，m//β，n//β，則平面α與β可能相交，故①不正確；
②n//m，n?α，可能有m?α，則m//α不成立，可得②不正確；
③α//β，m?α，n?β?m//n或m，n異面，則③不正確；
④m//α，n?α?m//n或m，n異面，則④不正確．
綜上可得，沒有正確的命題．
故選：A．
由面面平行的判定定理，即可判斷①的正誤；運用線面平行的性質(zhì)定理，即可判斷②的正誤；
由面面平行的判定定理和性質(zhì)，即可判斷③的正誤；由線面的位置關(guān)系，及線面平行的性質(zhì)即可判斷④的正誤．
本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，注意運用判定定理和性質(zhì)定理，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎題．

7.【答案】A?
【解析】
【分析】
本題考查直線與平面，平面與平面位置關(guān)系的判定，屬于基礎題．
根據(jù)線面平行，面面平行的判定和性質(zhì)逐項進行求解即可．
【解答】
解：選項A，若α?//?β，m?α，則m與β沒有公共點，m//β，故A正確；
選項B，若m?//?α，n?α，則m//n，或m，n異面，故B錯誤；
選項C，若m?//?α，n?//?β，m?//?n，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯誤；
選項D，若α?//?β，m?//?α，n?//?β，則m?//?n，或m，n異面，m，n相交，故D錯誤．
故選A．??
8.【答案】B?
【解析】
【分析】
本題考查線面平行，面面平行的性質(zhì)定理、判定定理，屬于中檔題．
依據(jù)線面平行，面面平行的性質(zhì)定理，判定定理去逐一判定，也可舉出反例．
【解答】
解：對于①，若m⊥α,n//β,m⊥n，α與β可能平行，也可能相交，故①錯誤；
對于②，若三點在平面β的兩側(cè)，則平面α與平面β相交，故②錯誤；
對于③，若α?//?β，m?//?n，m?//?α，則n?//?β或n?β，故③錯誤；
對于④，若m?//?α，m?β，α∩β=n，則m?//?n，故④正確．
故正確的只有1個．
故選B．??
9.【答案】AC?
【解析】
【分析】
本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．
利用線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，逐一判定各選項即可．
【解答】
解：對于A，如圖1，因為M，N，P分別為所在棱的中點，∴MN//AC，又MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴MN//平面ABCD，同理可得NP//平面ABCD，
又MN∩NP=N，MN?平面MNP，NP?平面MNP，
∴平面MNP//平面ABCD，又∵AB?平面ABCD，∴AB//平面MNP，故A正確；

對于B，如圖2，若AB//平面MNP，∵AB?平面ABE，平面ABE∩平面MNP=NO，則AB//NO，又∵N為AE中點，∴O為BE中點，這與正方形中M，P分別為所在邊的中點矛盾，∴AB//平面MNP不成立，故B錯誤；
對于C，如圖3，由正方體性質(zhì)可得AB//FG，∵M，P分別為所在棱的中點，∴MP//FG，∴AB//MP，又∵AB?平面MNP，MN?平面MNP，∴AB//平面MNP，故C正確；
對于D，如圖4，設Q為所在棱中點，連接PQ，∵P為所在棱中點，∴AB//PQ．
若AB//平面MNP，且PQ與平面MNP有公共點，∴PQ?平面MNP，
又∵平面MNP即為平面MNHR，顯然點Q?平面MNHR，這與PQ?平面MNP矛盾，∴AB//平面MNP不成立，故D錯誤．
故選：AC．
??
10.【答案】CD?
【解析】
【分析】
本題主要考查直線與平面平行、平面與平面平行的判定、性質(zhì)的應用，屬中檔題．
根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可．?
【解答】
解：m//α,m//n，則可能n//α，也可能n?α，A錯誤；
若α,β相交，當m，n都平行于交線時，滿足條件，故B錯誤；
若m//α,m//β,n//α,n//β，m、n是兩條異面直線，過m，n的平面分別與α相交于a，b，則a，b必相交，由線面平行的性質(zhì)定理知：a//m，b//n，
又m//β,n//β，則a//β,b//β，利用面面平行的判定定理知α//β，C正確；
由α//β,m//α，可得m?β或m//β，①若m?β，結(jié)合條件n//m,n?β，可得n//β；
②若m//β，又n//m，則n//β或n?β，而條件中n?β，則n//β．
若α//β,m//α,n//m,n?β，則n//β，可得D正確．
故選CD．
??
11.【答案】ABD?
【解析】
【分析】
本題主要考查命題真假的判斷，解題時要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．
【解答】
解：對于A，由題意知AD1//BC1，AD1?平面AD1C，BC1?平面AD1C，
從而BC1//平面AD1C，
故BC?1上任意一點到平面AD1C的距離均相等，
所以以P為頂點，平面AD1C為底面的三棱錐P?AD1C，即三棱錐A?D1PC的體積不變，
故A正確；
對于B，連接A1B，A1C1，則A1C1//AC，

又AC?平面AD1C，A1C1?平面AD1C，
∴A1C1//平面AD1C，
由A知：BC1//平面AD1C，BC1∩A1C1=C1，
∴平面BA1C1//平面ACD1，
又A1P?平面BA1C1，
∴A1P//平面ACD1．
故B正確；
對于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，則BC1⊥平面DCP，
則BC1⊥PC，則P為BC1中點，與P為動點矛盾，
故C錯誤；
對于D，連接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥平面ACD1，
又DB1?平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，
故D正確．
故選ABD．??
12.【答案】AC?
【解析】
【分析】
本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，屬中檔題．
利用線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，逐一判定各選項即可．
【解答】
解：

對于A，如圖1，因為M，N，P分別為所在棱的中點，所以MN//AC，又MN?平面ACBD，AC?平面ACBD，所以MN//平面ACBD，同理可得NP//平面ACBD，又MN∩NP=N，MN?平面MNP，NP?平面MNP，所以平面MNP//平面ACBD，又因為AB?平面ACBD，所以AB//平面MNP，故A正確；
對于B，如圖2，若AB//平面MNP，因為AB?平面ABE，平面ABE∩平面MNP=NO，則AB//NO，又因為N為AE中點，所以O為BE中點，這與正方形中M，P分別為所在邊的中點矛盾，所以AB//平面MNP不成立，故B錯誤；
對于C，如圖3，由正方體性質(zhì)可得AB//FG，因為M，P分別為所在棱的中點，所以MP//FG，所以AB//MP，又因為AB?平面MNP，MP?平面MNP，所以AB//平面MNP，故C正確；
對于D，如圖4，若AB//平面MNP，設Q為所在棱中點，連接PQ，因為P為所在棱中點，所以AB//PQ，AB//平面MNP，且PQ與平面MNP有公共點，所以PQ?平面MNP，又因為平面MNP即為平面MNRH，顯然點Q不在平面MNRH內(nèi)，這與PQ?平面MNP矛盾，所以AB//平面MNP不成立，故D錯誤．
故選：AC．
??
13.【答案】點M在線段FH上(或點M與點H重合)?
【解析】
【分析】
本題主要考查線面平行的證明，涉及到面面平行的判定，面面平行的性質(zhì)，屬于基礎題．
連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，可得平面FHN//平面B1BDD1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，即可得解．
【解答】
解：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，

則FH//DD1，HN//BD，
∴平面FHN//平面B1BDD1，只需M∈FH，
則MN?平面FHN，
∴MN//平面B1BDD1．
故M只需滿足條件點M在線段FH上時，有MN//平面B1BDD1．
??
14.【答案】①②③④?
【解析】
【分析】
本題考查平面圖形的翻折，考查線面、面面間的位置關(guān)系，屬于中檔題．
把圖形還原為一個四棱錐，然后根據(jù)線面、面面平行的判定定理逐一判斷即可．
【解答】
解：把圖形還原為一個四棱錐，如圖所示，

①因為E，F(xiàn)，G，H分別為P3A，P2D，P4C，P4B，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，
可得EH//AB，
∵EH?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EH//平面ABCD，
同理可得GH//平面ABCD，
又EH∩GH=H，EH，GH?平面EFGH，
∴平面EFGH//平面ABCD，正確；
②連接AC，BD，交于點O，則O為AC中點，連接OG，G為PC中點，
∵OG//PA，又OG?平面BDG，PA?平面BDG，
∴PA//平面BDG，正確；
③EF//AD//BC，
∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴直線EF//平面PBC，正確；
④FH//BD，BD?平面BDG，
FH?平面BDG，∴FH//平面BDG，正確；
⑤EF//GH，GH與平面BDG相交，
故EF與平面BDG相交，不正確．
故正確的有①②③④，
故答案為：①②③④．
??
15.【答案】P在線段MN上(M,N分別為棱BB1,B1C1的中點，不含端點)?
【解析】
【分析】
本題考查空間中線面平行及軌跡問題，面面平行的判定以及性質(zhì)，屬于中檔題．
分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，易證平面A1MN//平面AEF，因為P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，且A1P//平面AEF，所以P必在線段MN上(不含端點)．
【解答】
解：如下圖所示：

分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，A1M、A1N，連接BC1，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，
∴MN//BC1，EF//BC1，
∴MN//EF，
又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN//平面AEF
∵AA1//NE，AA1=NE，
∴四邊形AENA1為平行四邊形，
∴A1N//AE，
又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A1N//平面AEF，
又A1N∩MN=N，A1N、MN?平面A1MN，
∴平面A1MN//平面AEF，
∵P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，且A1P//平面AEF，
∴P必在線段MN上(不含端點)．
??
16.【答案】①③④?
【解析】
【分析】
本題是中檔題，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判斷，棱柱的體積等知識，考查計算能力，邏輯推理能力．
①由于BC固定，所以在傾斜的過程中，始終有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，由此分析可得結(jié)論正確；
②水面四邊形EFGH的面積是改變的；
③利用直線平行直線，直線平行平面的判斷定理，容易推出結(jié)論；
④當E∈AA1時，AE+BF是定值．通過水的體積判斷即可．
【解答】
解：根據(jù)面面平行性質(zhì)定理，可得BC固定時，
在傾斜的過程中，始終有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，
故水的形狀成棱柱形，故①正確；
水面四邊形EFGH的面積是改變的，因為EF是變化的，而EH是不變的，所以四邊形EFGH的面積是改變的，故②錯誤；
因為A1D1//AD//CB//EH，A1D1?水面EFGH，EH?水面EFGH，
所以A1D1//水面EFGH正確，故③正確；
由于水的體積是定值，高不變，所以底面ABFE面積不變，
即當E∈AA1時，AE+BF是定值．故④正確．
故答案為①③④．??
17.【答案】解：(1)結(jié)論：BC//l．
證明：∵AD//BC，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC//平面PAD．
又∵BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
∴BC//l．
(2)結(jié)論：MN//平面PAD．
證明：取CD的中點Q，連結(jié)NQ，MQ，
則NQ//PD，MQ//AD，
∵NQ?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NQ//平面PAD．
同理可得MQ//平面PAD．
又∵NQ∩MQ=Q，NQ，MQ?平面MNQ，
∴平面MNQ//平面PAD．
又∵MN?平面MNQ，
∴MN//平面PAD．?
【解析】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，屬基礎題．
(1)利用線面平行的判定定理可得BC//平面PAD，利用線面平行的性質(zhì)定理可得BC//l;
(2)取CD的中點Q，連結(jié)NQ，MQ，利用面面平行的判定定理可得平面MNQ//平面PAD，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得MN//平面PAD．

18.【答案】證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，
∴EF//A1C1，
∵A1C1??平面A1C1M，EF?平面A1C1M，∴EF//平面A1C1M.
∵F，M分別為A1B1，AB的中點，
∴A1F=BM，又∵A1F//BM，
∴四邊形A1MBF為平行四邊形，則BF//A1M，
∵A1M?平面A1C1M，BF?平面A1C1M，
∴BF//平面A1C1M.
又EF∩BF=F，BF，EF?平面BEF，
∴平面A1C1M//平面BEF．
(2)∵平面A1C1M與平面ABC有公共點M，平面A1C1M∩BC=H，
∴平面A1C1M∩平面ABC=MH．
∵平面ABC//平面A1B1C1，平面A1C1M∩平面A1B1C1=A1C1，
∴A1C1//MH，
又A1C1//AC，
∴MH//AC，
∵M為AB的中點，
∴H為BC的中點．
?
【解析】本題考查平面與平面平行的判定，考查面面平行的性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．
(1)由已知可得EF//A1C1，得到EF//平面A1C1M，同理得到BF//平面A1C1M，再由面面平行的判定可得平面A1C1M//平面BEF；?
(2)由平面與平面平行的性質(zhì)得A1C1?//?MH，則MH//AC，由M為AB的中點，可得H為BC的中點．

19.【答案】解：(1)方法一：如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M．

因為EC⊥AC，OM，EC?平面ACC1A1，
所以OM?//?EC．
又因為EC=2FB=2，EC?//?FB，O為AE的中點，
所以OM?//?FB且OM=12EC=FB，
所以四邊形OMBF為平行四邊形，
所以BM?//?OF，
因為OF?平面AEF，BM?平面AEF，
故BM?//平面AEF，
此時點M為AC的中點．

方法二：如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ．

因為EC=2FB=2，
所以PE?//?BF且PE=BF，
所以四邊形PEFB為平行四邊形，
所以PB?//EF，
又因為P，Q分別為EC，AC的中點，
所以PQ?//AE，
又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
所以PQ?//平面AEF，PB?//平面AEF，
因為PB∩PQ=P，PB，PQ?平面PBQ，
所以平面PBQ?//平面AEF．
又因為BQ?平面PBQ，
所以BQ?//平面AEF．
故點Q即為所求的點M，此時點M為AC的中點．

(2)由(1)知，BM與EF異面，∠OFE(或∠MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補角，
易求AF=EF=5，MB=OF=3，OF⊥AE，
所以cos∠OFE=OFEF=35=155，
所以BM與EF所成的角的余弦值為155．
?
【解析】本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的相關(guān)知識．
(1)方法一：取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M，證明BM?//?OF，進而可得答案；
方法二：取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ，證明平面PBQ?//平面AEF，即可得到答案；
(2)根據(jù)(1)得出BM與EF異面，∠OFE(或∠MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補角，求解即可．

20.【答案】解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，O是CD中點，M是PC的中點，
∴OM是△CPD的中位線，即OM//PD，
又PD?平面PAD，OM?平面PAD，∴OM//平面PAD，
∵AB//CD且AB=DO，
∴四邊形ABOD是平行四邊形，有OB//AD，
∵AD?平面PAD，OB?平面PAD，∴OB//平面PAD，
又OM?OB=O，OM，OB?平面OBM
∴平面OBM//平面PAD，
又PA?平面PAD，
∴PA//平面OBM．
(2)連結(jié)MA，AC，由AB=BC=CO=OB=2，

∴△ABC的面積S△ABC=3，又PO=2，
∴三棱錐P?ABC的體積為VP?ABC=13×S△ABC×2=13×3×2=233，
VM?ABC=12×VP?ABC=33．
故三棱錐M?PAB的體積為：
VM?PAB=VP?MAB=VP?ABC?VM?ABC=233?33=33．
?
【解析】本題考查兩大點：①應用線面平行、平行四邊形的判定及性質(zhì)證線面平行，再由面面平行的判定和性質(zhì)證線面平行，②“分割法”求體積，將三棱錐分割為兩個棱錐，再由棱錐的組合關(guān)系結(jié)合棱錐的體積公式求體積，屬于中檔題．
(1)由中位線性質(zhì)、線面平行的判定有OM//平面PAD，由平行四邊形的判定及性質(zhì)有OB//AD，結(jié)合線面平行的判定有OB//平面PAD，根據(jù)面面平行的判定和性質(zhì)可證PA//平面OBM．
(2)由幾何體的組合關(guān)系有VM?PAB=VP?MAB=VP?ABC?VM?ABC，結(jié)合三棱錐體積的求法求三棱錐M?PAB的體積．


21.【答案】解：(1)取PD的三等分點(靠近D點)E，如圖，連接EN，AE，

∵N是PC的三等分點，E是PD的三等分點，
∴EN//DC，EN=23DC
∵M是AB的三等分點，
∴AM=23DC．
又AM//DC，
∴NE//AM，NE=AM，
∴四邊形AMNE為平行四邊形，
∴MN//AE，
∵MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN//平面PAD．
(2)方法一：如圖，連接MQ，NQ．
若平面MNQ//平面PAD，
且平面MNQ∩平面PAB=MQ，平面PAD∩平面PAB=PA，
則MQ//PA，
∵M是AB的三等分點，
∴Q是PB的三等分點，
即當Q為PB的三等分點時，平面MNQ//平面PAD．
方法二：當Q為PB的三等分點(靠近B點)時，平面MNQ//平面PAD．
證明如下：如圖，連接MQ，NQ．
∵N是PC的三等分點，Q是PB的三等分點，
∴QN//BC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD//BC，∴QN//AD，
∵QN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴QN//平面PAD，
∵M是AB的三等分點，Q是PB的三等分點，
∴QM//PA，
∵QM?平面PAD，PA?平面PAD，
∴QM//平面PAD，
∵QM?平面MNQ，QN?平面MNQ，QM∩QN=Q，
∴平面MNQ//平面PAD．
?
【解析】本題主要考查線面平行，面面平行的判定，是高考中常見的題型，屬于中等題．
(1)取PD的三等分點(靠近D點)E，然后證明NE//AM,NE=AM，得到AE//MN，即證；
(2)由平面MNQ//平面PAD，得到MQ//PA，所以Q也是PB的三等分點．


22.【答案】證明：(1)∵PM:MA=PQ:QD，∴MQ//AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，∴MQ//BC，
∵MQ?平面PBC，BC?平面PBC，∴MQ//平面PBC，
又BN:ND=PQ:QD，∴QN//PB，
∵QN?平面PBC，PB?平面PBC，∴QN//平面PBC，
∵MQ∩QN=Q，MQ、QN?平面MNQ，∴平面MNQ//平面PBC；
(2)設BD、AC于點O，連接OQ，取PQ中點E，連結(jié)ME、BE，

∵PQ:QD=2且E為PQ的中點，∴PE=EQ=QD，∴Q為DE的中點，
又∵點O為BD的中點，∴BE//OQ，
∵BE?平面AQC，OQ?平面AQC，∴BE//平面AQC，
同理，ME//平面AQC．
∵BE∩ME=E，BE、ME?平面BME，∴平面BME//平面AQC，
∵BM?平面BME，∴BM//平面AQC．
?
【解析】本題考查線面平行的判定，面面平行的判定，考查推理能力，屬于中檔題．
(1)由面面平行的判定定理進行證明即可；
(2)設BD、AC于點O，連接OQ，取PQ中點E，連結(jié)ME、BE，再由線面平行的判定定理及面面平行的性質(zhì)進行證明即可．

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