素養(yǎng)提升微專題11——幾種特定的排列組合問(wèn)題解法
1.兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理
m1+m2+…+mn
m1×m2×…×mn　
溫馨提示(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中,完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的.從集合角度看,如果完成一件事有A,B兩類方案,集合A與B的交集為空集,在A中有m1個(gè)元素(m1種方法),在B中有m2個(gè)元素(m2種方法),則完成這件事的不同方法的種數(shù)即為集合A∪B的元素個(gè)數(shù),即m1+m2.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中,必須且只需連續(xù)完成n個(gè)步驟后才能完成這件事,各個(gè)步驟之間不重復(fù)、不遺漏.
2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系
3.排列與組合的概念
溫馨提示(1)區(qū)別一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,關(guān)鍵是看它有無(wú)“順序”.(2)定義中規(guī)定m≤n,如果m2-n,整理得n2-4n+4>0,即(n-2)2>0,解得n≠2.∵n-2≥2,∴n≥4,∴原不等式的解集為{n|n≥4,n∈N*}.
考向1　在與不在問(wèn)題——特殊元素(或位置)優(yōu)先法【例3】 6人站成一排,其中甲不能站在排頭,乙不能站在排尾的不同排法共有　　　　種.?
解題心得解此類問(wèn)題常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法——即以元素為主,優(yōu)先考慮特殊元素的要求,再考慮其他元素;位置分析法——即以位置為主,優(yōu)先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置.
變式發(fā)散6人站成一排,則甲既不站排頭又不站排尾的站法有　　　　　種.?
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 6個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有(　　)A.192種B.216種C.240種D.288種
考向2　相鄰問(wèn)題——捆綁法【例4】 3名男生、3名女生排成一排,男生必須相鄰,女生也必須相鄰的排法種數(shù)為(　　)A.2B.9C.72D.36
解題心得在實(shí)際排列問(wèn)題中,某些元素要求必須相鄰時(shí),可以先將這些元素看成一個(gè)整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序,這種方法稱為“捆綁法”.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位,現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需要停放,如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起,那么不同的停放方法的種數(shù)為(　　)A.16B.18C.24D.32
答案 C解析 將4個(gè)車位捆綁在一起,看成一個(gè)元素,先排3輛不同型號(hào)的車,在3個(gè)車位上任意排列,有 =6(種)方法,再將捆綁在一起的4個(gè)車位插入4個(gè)空位中,有4種方法,故共有4×6=24(種)方法.
考向3　不相鄰問(wèn)題——插空法【例5】 某校高三要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序,要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是(　　)A.1 800 B.3 600C.4 320D.5 040
解題心得某些元素要求不相鄰時(shí),可以先安排其他元素,再將這些不相鄰元素插入已排好的元素的空隙或兩端位置,這種方法稱為“插空法”.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目,2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　)A.72B.120 C.144D.168
考向4　定序問(wèn)題——等幾率法【例6】 有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,將7名學(xué)生排成一行,要求從左到右,女生從矮到高排列(不一定相鄰),不同的排法共有　　　　　種.?
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6 7個(gè)人排成一隊(duì)參觀某項(xiàng)目,其中A,B,C三人進(jìn)入展廳的次序必須是先B再A后C,則不同的列隊(duì)方式種數(shù)為(　　)A.120B.240 C.420D.840
【例7】 某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查,已知其中有15種不合格商品.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種不合格商品必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種不合格商品不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?
解題心得組合問(wèn)題的兩類題型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外的元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;(3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加;(4)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員.
【例8】 按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本.
解題心得分組、分配問(wèn)題的一般解題思路是先分組再分配.(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題.①對(duì)于整體均分,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以組數(shù)的階乘;②對(duì)于部分均分,即若有m組元素個(gè)數(shù)相同,則分組時(shí)應(yīng)除以m!;③對(duì)于不等分組,只需先分組,后排列.(2)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題.①相同元素的“分配”問(wèn)題,常用的方法是采用“隔板法”;②不同元素的“分配”問(wèn)題,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,分兩步完成,第一步是分組,第二步是發(fā)放;③限制條件的分配問(wèn)題常采用分類法求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8(1)某科研單位準(zhǔn)備把7名大學(xué)生分配到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)實(shí)驗(yàn)室實(shí)習(xí),若要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室分配到的大學(xué)生人數(shù)不小于該實(shí)驗(yàn)室的編號(hào),則不同的分配方案的種數(shù)為(　　)A.280B.455C.355D.350(2)學(xué)校將5位同學(xué)分別推薦到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)參加自主招生考試,則每所大學(xué)至少推薦一人的不同推薦方法種數(shù)為(　　)A.240B.180C.150D.540
答案 (1)B　(2)C
素養(yǎng)提升微專題11　——幾種特定的排列組合問(wèn)題解法
類型一　圓形排列問(wèn)題【例1】 小明及朋友小張去參加一個(gè)聚會(huì),8個(gè)人圍著圓桌隨機(jī)坐下,每個(gè)人坐在任何一個(gè)位置的概率相等.在這種情況下小明同其朋友小張坐在一起所有可能情況有　　　　　種.?答案1 440解析小明及其朋友小張坐在一起時(shí)總的坐法可以這樣考慮,第一步:將除去小明及其朋友小張外6個(gè)人排好,有(6-1)!種坐法;第二步,把小明及其朋友小張作為一個(gè)整體插到6個(gè)人形成的空隙中,6個(gè)人圍在一起時(shí),會(huì)形成6個(gè)空隙,故有6種情況;第三步,小明及其朋友小張內(nèi)部可以全排列.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,小明及其朋友坐在一起的坐法有(6-1)!×6× =1 440(種).
解題心得n個(gè)不同的事物圍成一個(gè)圓時(shí)總的圍成方法有(n-1)!種.解決圓形排列問(wèn)題時(shí)最關(guān)鍵的就是插空思想,即將某個(gè)部分插入另外幾個(gè)部分形成的空隙中.
類型二　“隔板法”解一類分組與分配問(wèn)題【例2】 將組成籃球隊(duì)的10個(gè)名額分配給7所學(xué)校,每校至少1名,問(wèn)名額的分配方式共有多少種?
解題指導(dǎo)“名額”是不加區(qū)分的,相當(dāng)于將10個(gè)相同的元素分配到7個(gè)不同的單位,每個(gè)單位至少一個(gè),求分配的種數(shù),因此可考慮分類(不均勻分配)處理或用“隔板法”.
【例3】 求方程x1+x2+x3+x4=10的正整數(shù)解的組數(shù).解將10個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成的9個(gè)空中任選3個(gè)插入3塊隔板,把球分為四組(如圖).
每一種分法所得球的數(shù)目依次為x1,x2,x3,x4.顯然x1+x2+x3+x4=10,故(x1,x2,x3,x4)是方程的一組解.
反之,方程的任何一組解(y1,y2,y3,y4),對(duì)應(yīng)著唯一的一種在10個(gè)球之間插入隔板的方式(如圖).
故方程的正整數(shù)解和插入隔板的方法一一對(duì)應(yīng),即方程的正整數(shù)解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù) ,即84組.
解題心得“隔板法”是解決相同元素的分配問(wèn)題與不定方程整數(shù)解的組數(shù)問(wèn)題的常用方法.(1)凡“相同小球放入不同盒中”的問(wèn)題,即為“n個(gè)相同元素有序分成m組(每組的任務(wù)不同)”的問(wèn)題,一般可用“隔板法”解:①當(dāng)每組至少含一個(gè)元素時(shí),其不同分組方式有 種,即在n個(gè)元素中間的n-1個(gè)空中加入m-1個(gè)“隔板”.②任意分組,可出現(xiàn)某些組含元素為0個(gè)的情況,其不同分組方式有 種,即將n個(gè)相同元素與m-1個(gè)相同“隔板”進(jìn)行排序,在n+m-1個(gè)位置中選m-1個(gè)安排“隔板”.(2)不定方程就是未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù),像方程x1+x2+…+xn=m就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的不定方程.求這類不定方程的整數(shù)解的組數(shù)的常用方法也是“隔板法”.
類型三　幾何圖形中的組合問(wèn)題【例4】 (1)四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A,從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn),使它們和點(diǎn)A在同一平面上,有多少種不同的取法?(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn),在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn),有多少種不同取法?
解題指導(dǎo)對(duì)(1)可用直接法,對(duì)(2)先求出從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的取法,然后剔除不合題意的:①在四面體的同一平面內(nèi);②其中三點(diǎn)在一條棱上,另一點(diǎn)是其所對(duì)棱的中點(diǎn);③都是對(duì)棱的中點(diǎn).
解(1)(直接法)如圖,含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上,除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn),從中取出3個(gè)點(diǎn)必與點(diǎn)A共面,共有 種取法;含頂點(diǎn)A的三條棱上,除點(diǎn)A外都有2個(gè)點(diǎn),它們與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面,共有3種取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,與頂點(diǎn)A共面的3個(gè)點(diǎn)的取法有 +3=33(種).
解題心得利用組合知識(shí)解決與幾何有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)注意:(1)將已知條件中的元素特征搞清楚,確定采用直接法還是間接法.(2)使用分類方法時(shí),確定分類的標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)難點(diǎn),具體問(wèn)題應(yīng)具體分析.(3)常采用間接法解決該類問(wèn)題.

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